NEWS - METALLICA: UN RACCONTO - NUOVA DIDATTICA PER LA MATE-MATICA - SUPERFICI NON ORIENTABILI - TEORIA DEI GIOCHI - ZODIACO - ESAME DI STATO ...
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Rivista di matematica
per curiosi e appassionati
distribuita gratuitamente sul sito
www.matematicamente.it
Registraz. n. 953 Trib. Lecce
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Anno 1 – Numero 2 Aprile 2007
http://www.cosmos2001.info
NEWS - METALLICA: UN RACCONTO – NUOVA DIDATTICA PER LA MATE-
MATICA - SUPERFICI NON ORIENTABILI - TEORIA DEI GIOCHI - ZODIACO -
ESAME DI STATO - DISQUISIZIONI SULL'ARITMETICA - INTEGRALI FRATTI -
CALCOLO DELLE VARIAZIONI NEL TRATTAMENTO DELLE IMMAGINI -
TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE - ASTEROIDI
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Anno 1 Numero 2
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Sommario Editoriale
Pag. 3
News
di Andrea Vitiello
Metallica. Oggi cosa mi metto?
di Anna Cerasoli
Pag. 7
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Per una nuova didattica della mate- Pag. 10 In questo numero, pubblichiamo il primo di sei
matica racconti matematici di Anna Cerasoli, scrittrice e
di T. Bindo, M. Cerasoli, C. Costabile divulgatrice di successo.
Le superfici non orientabili Pag. 19 Andrea ci ricorda che il 14 marzo è stato il gior-
di Luca Lussardi no della festa della matematica, il "Pi day".
Il teorema di May Pag. 23 Luca ci parla delle superfici non orientabili e tra
di Fioravante Patrone gli aspetti di frontiera della ricerca matematica ci
Alla scoperta dello zodiaco Pag. 27 spiega cosa centra il calcolo delle variazioni con
di Michele T. Mazzucato la correzione delle immagini digitali.
Verso l'esame di stato Pag. 31 Fioravante ci descrive un importante risultato
di Luigi Lecci della teoria dei giochi: come prendere decisioni
di gruppo rispettando le preferenze dei singoli.
Disquisizioni euleriane sull'aritmetica Pag. 41
di Andrea Ossicini Michele ci parla dello zodiaco … ma non da a-
strologo mentre Domenico ci presenta i nostri vi-
Risoluzione di integrali fratti Pag. 54 cini scomodi dello spazio.
di Alexander Pigazzini
Luigi ricorda a studenti e docenti che è tempo di
Matematica d'oggi Pag. 57 esami. Bindo, Cerasoli e Costabile invitano a
di Luca Lussardi rinnovare l'insegnamento della matematica.
Il teorema fondamentale del calcolo Pag. 60 Flavio ci fa riflettere, anche in questo numero, su
integrale una coincidenza matematica: derivata e integrale
di Flavio Cimolin provengono da strade diverse e si incontrano nel
Spicchi di cielo Pag. 65 teorema fondamentale del calcolo.
di Domenico Licchelli Carlo ci spiega come funziona Mathcad.
Lo scaffale dei libri Pag. 68 E per finire vi segnaliamo qualche libro da legge-
di Antonio Bernardo re e qualche giochino, speriamo simpatico.
Recen…siti Pag. 76
di Antonio Bernardo Che dire del numero precedente? Il server segna
Recen...soft Pag. 77 20.307 download in tre mesi. Non tutti quelli che
di Carlo Elce l'hanno scaricato l'hanno letta, d'altra parte nem-
Giochi matematici Pag. 86 meno tutti quelli che comprano le riviste cartacee
di Luca Barletta poi trovano il tempo di leggerle. Direi che 20.000
lettori non sono pochi per una rivista di matema-
Crucinumero Pag. 89 tica. Andiamo avanti così!
di Luciano Sarra
Antonio Bernardo
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Anno 1 Numero 2
News
di Andrea Vitiello
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Il π day
Scommetto che la maggior parte dei lettori di nel 1767 Johann Heinrich Lambert ha dimostrato
l’irrazionalità di π.
questa rivista ha recentemente perso una grande
occasione… Dite la verità: quanti di voi il 14 Un’altra importante caratteristica di questo
marzo hanno festeggiato il Pi Day? numero fu provata nel 1882 da Ferdinand von
Lindemann, il quale dimostrò che π è trascenden-
Per chi non lo sapesse, il Pi Day è una festa,
te, cioè non può essere soluzione di nessuna e-
non ufficialmente riconosciuta, in onore del cele-
quazione polinomiale a coefficienti interi non tut-
bre numero π, una delle più note, forse la più ce-
ti nulli. Agli studenti delle scuole elementari tut-
lebre, tra le costanti matematiche. Effettivamente
tavia, per semplicità, π viene presentato sempli-
questo numero è presente un po’ dappertutto in
cemente come 3,14 ed è proprio su questa sem-
quasi ogni ramo della matematica e della fisica
plice e nota approssimazione che si basa gran
ed è lecito dunque chiedersi da dove sia saltato
parte delle usanze relative al Pi Day.
fuori.
La storia di π ebbe inizio molto tempo fa,
quando qualcuno si accorse che il rapporto tra la
misura della circonferenza e quella del diametro
π
di un cerchio è costante. Ecco dunque uno dei
possibili modi per definire π: rapporto tra circon-
π
ferenza e diametro. Stabilito che tale rapporto si
mantiene costante, il problema successivo fu
quello di quantificarlo esattamente. π
Credo sia bene precisare che in origine non si
utilizzava certo la lettera greca π per indicare il
numero in questione, anche perché si sta parlan- L’idea di istituire una festa che celebrasse il
do di un’epoca precedente al fiorire della civiltà numero π è da attribuire all’Exploratorium, im-
ellenica; la convenzione di adoperare il simbolo portante Museo della Scienza con sede a San
π si è diffusa soltanto a partire dal 1706, per ope- Francisco, in California. La scelta della data, 14
ra dell’inglese William Jones. marzo, non è affatto casuale, anzi può risultare
Già i Babilonesi e gli Egizi trovarono modi ovvia se ci si presta attenzione: nei paesi anglo-
ingegnosi per approssimare il valore di π e via sassoni le date si indicano scrivendo prima il
via col passare dei secoli si è riusciti a raggiunge- numero del mese e poi quello relativo al giorno
re una precisione sempre maggiore; addirittura ed ecco che la scrittura “3-14” indica appunto il
con i computer moderni si è arrivati a calcolarne 14 marzo. L’istituzione del Pi Day è piuttosto re-
centinaia di miliardi di cifre decimali. Un valore cente: i primi festeggiamenti risalgono infatti al
numerico esatto non lo si troverà mai, visto che 1987. Purtroppo la cultura del Pi Day non si è
ancora diffusa in Italia, a differenza degli Stati
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Anno 1 Numero 2
Uniti, dove invece è molto presente, soprattutto ogni anno ed è ormai una ricorrenza molto senti-
negli ambienti universitari. ta. Addirittura ad Harvard, ormai da diversi anni,
L’Exploratorium, da cui è partita l’idea momenti cardine come la degustazione di torte e
dell’omaggio a π, il 14 marzo scorso ha dato il la declamazione delle cifre decimali hanno as-
via alla festa, come di consueto, esattamente un sunto un carattere competitivo.
minuto prima delle due del pomeriggio. Perché Si svolge infatti una vera e propria gara di
proprio quell’ora? Semplici virtuosismi da ma- degustazione, nella quale i concorrenti devono
tematici: difatti quell’orario secondo la conven- cercare di mangiare il maggior quantitativo pos-
zione americana si scrive come “1.59 p.m.”… sibile di torte nel tempo previsto, che ovviamente
guardando le prime cifre decimali di π è di 3 minuti e 14 secondi. L’altra sfida impor-
(3,14159...), sarà immediatamente chiaro come tante è quella di declamazione, in cui i parteci-
non ci sia momento più adatto per cominciare i panti devono recitare a memoria tutta la sequenza
festeggiamenti! di cifre decimali di π che conoscono ed ovvia-
Molte delle attività che si svolgono solita- mente vince chi riesce a ricordarne di più;
mente durante la festa, non solo presso quest’anno la campionessa in carica Serena
l’Exploratorium, sono legate a doppi sensi e gio- Rezny, vincitrice anche delle due edizioni prece-
chi di parole. Innanzitutto è interessante notare denti, si è aggiudicata nuovamente la gara bat-
che gli anglosassoni pronunciano “π” allo stesso tendo ogni record e superando la soglia delle
modo in cui pronunciano la parola “pie”, che in 1000 cifre (per la precisione è riuscita a recitare
italiano vuol dire “torta”. In tutti i luoghi in cui si correttamente i primi 1058 decimali di π).
festeggia il Pi Day non possono dunque mancare
torte dalle forme e dalle decorazioni a tema con
ciò che si celebra; alcune torte ad esempio sono
quadrate, per via della famosa formula per il cal-
colo dell’area di un cerchio “πr²”, che letta in
inglese suona come “pie are squared” (traduzione
italiana: “le torte sono quadrate”!?). Oltre alle
torte, un altro cibo molto in voga è la pizza, men-
tre tra le bevande la più diffusa è la piña colada
(un cocktail a base di rum).
Oltre ad essere un momento goliardico, il Pi
Day costituisce un’occasione importante per le
scuole per realizzare progetti di diffusione delle
conoscenze circa la storia, i metodi di calcolo
approssimato, le proprietà più importanti e origi- Dolci per un Pi Day svoltosi negli Usa.
nali del numero π. Alcune associazioni tengono
conferenze in cui si mette in risalto il ruolo che π
ha avuto nella storia dell’umanità e si prova a Una curiosità: il 14 marzo è una data che non
immaginare come sarebbe il mondo senza π. Non passava inosservata agli occhi dei matematici già
mancano i momenti di declamazione: qualcuno molto tempo prima dell’istituzione del Pi Day,
particolarmente volenteroso declama a tutti i par- difatti si dà il caso che il 14 marzo 1879 sia nato
tecipanti il maggior numero di cifre decimali di π Albert Einstein.
che è riuscito ad imparare a memoria. Sulla scia dell’entusiasmo, alcuni europei
hanno deciso di fare festa anche il 22 luglio di
Il fenomeno del Pi Day è in rapida ascesa: basti ogni anno. Cosa festeggiano? Il Pi Approxima-
pensare che presso università importanti come
tion Day. Secondo il format europeo, quella data
Harvard e il MIT viene celebrato regolarmente
si indica come “22/7”… e il numero razionale
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Anno 1 Numero 2
22 7 è una delle più conosciute approssimazioni ospitato, nell’ambito del progetto Polymath, delle
(per eccesso) di π, già nota nel III secolo a.C. ad lezioni sul numero irrazionale più famoso della
Archimede. Una buona notizia per tutti coloro storia e anche una gara tra studenti a chi ricor-
che il 14 marzo non hanno festeggiato; potranno dasse il maggior numero di cifre decimali di π.
rifarsi il 22 luglio. Ma festeggiare il 22 luglio sa- Noi di Matematicamente.it non potevamo la-
rà lo stesso che festeggiare il Pi Day? Beh… ap- sciar passare il Pi day senza alcuna iniziativa e
prossimativamente direi di sì! quest'anno abbiamo fatto partire una gara di ma-
E in Italia?? In verità, la cultura del Pi Day non tematica per le scuole medie, la "MatematiCup".
Una grande gara on line in collaborazione con
si è ancora radicata appieno nel nostro paese. Un
l'Università del Salento e il Gruppo Editoriale
buon segnale, tuttavia, è arrivato quest’anno dal
L'Espresso.
Politecnico di Torino, che lo scorso 14 marzo ha
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Anno 1 Numero 2
Alunni delle scuole medie di tutta Italia, preparatevi!
Siete bravi in matematica? E’ arrivato il vostro momento!
Matematicamente.it, Kataweb e il DIDA-lab dell’Università del Salento, in collaborazione
con Repubblica Scuola&Giovani, L'Espresso online, Le Scienze, DEEJAY e ALLMUSIC,
organizzano "MatematiCup", prima gara nazionale di matematica a squadre completamente
on line, patrocinata dai Dipartimenti di Ingegneria dell'Innovazione, Matematica, Scienze
Economiche e Matematico-statistiche dell'Università del Salento, dall'associazione Ma-
thesis, Società italiana di scienze matematiche e fisiche.
Iscrizioni dal 14 marzo, al 5 maggio, allenamenti fino al 7 maggio, finale l’8 maggio.
Aperta agli studenti di tutte le classi della scuola secondaria di primo grado (media inferiore),
MatematiCup punta a stimolare l'interesse dei giovani nei confronti della matematica, svilup-
pare la collaborazione in gruppo attraverso la rete Internet e incentivare l'uso consapevole e
formativo delle tecnologie informatiche.
14 8
14 marzo 8 maggio
apertura i- il giorno della
scrizioni finale
12 3
I computer col-
Gli alunni legati
per classe ad internet per
giocare
50
I quesiti da
risolvere per iscriversi
nella gara http://www.matematicamente.it
finale
Partner editoriali
Partner scientifici
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Anno 1 Numero 2
Metallica
1. Oggi cosa mi metto?
di Anna Cerasoli
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Metallica è il soprannome della mia amica Lucia, che a chiamarla col nome della santa va su tutte le
furie: "perché è una ingiustizia che uno il proprio nome non se lo possa scegliere da sé!" E' una ribelle
in tutto Metallica, e lo si capisce già da come ti lancia il primo sguardo. Se poi non bastasse, è suffi-
ciente una ricognizione a tutte le chincaglierie che si mette addosso per avere un'idea del suo caratteri-
no. A dire il vero, da un po' di tempo, noto qualche alleggerimento nell'armamentario decorativo: dice
che, a pensarci su, anche quelle stanno diventando regole. E lei con le regole proprio non va d'accordo;
"le uniche buone" aggiunge "sono quelle matematiche". Sì, perchè a Metallica la matematica piace, an-
zi, è l'unica materia a piacerle! Per il resto, specie in latino e a storia, è una frana; la sua salvezza è che
alla fine dell'anno si mette sotto a studiare come una matta e recupera.
A matematica, invece, è una specie di genio; mentre il professore interroga o spiega, lei gli tiene gli
occhi addosso e in qualunque punto riesce a intervenire. Metallica non è una gran bellezza ma in quei
momenti mi sembra meravigliosa. Come l'altro giorno, quando il prof ha cominciato una dimostrazione
e a un tratto ha chiesto: "C'è qualcuno che sa continuare?" Silenzio di tomba, con tutti che si accuccia-
vano dietro le spalle di quello davanti per timore d'essere chiamati alla lavagna. Lei tranquilla, non di-
ceva niente, ma nemmeno si nascondeva. E allora il prof: "Vuoi provarci tu?" rivolgendosi a lei.
E' uscita dal banco, ha preso il pennarello che lui le porgeva e ha cominciato a scrivere. Si sentiva
solo il tintinnio dei suoi braccialetti. E' andata avanti a scrivere e a disegnare mentre noi mortali pren-
devamo appunti. E alla fine ha concluso scrivendo il mitico
CVD
Come Volevasi Dimostrare!
Faceva l'indifferente ma io l'ho capito che era orgogliosa!
I maschi della mia classe vanno dietro alle ragazze più
belle, che sono anche le più eleganti, sanno ballare e hanno
sempre visto l'ultimo film che è uscito. Da un po', però, an-
che loro si sono accorti di Metallica e questo mi preoccupa
perché io sono un tantino timido e già così faccio fatica a
dimostrarle che esisto.
Per fortuna oggi il prof ha fatto i gruppi di studio ed io
sono capitato con lei: dobbiamo ripassare il calcolo combi-
natorio, perché lunedì prossimo ci darà la verifica scritta. Gli
altri mi hanno lanciato occhiate complici: lo sanno che ho un
debole per Metallica, e forse pure il prof l'ha capito... L'unica
che non s'è accorta di nulla è proprio lei; meglio così, altri-
menti sarei ancora più impacciato.
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Anno 1 Numero 2
E' venuta da me già nel primo pomeriggio perché poi, verso le sei, aveva un impegno. Chissà che
impegno?! Spero non abbia già un ragazzo. Ci siamo messi in camera mia dove ho una scrivania molto
grande, sulla quale avevo piazzato il libro di testo, il quaderno di appunti e un pacco di fogli di brutta.
Lei vi ha aggiunto il suo quaderno, il diario stracolmo di adesivi e infine la calcolatrice: da come l'ha
estratta dalla tasca posteriore dei jeans e l'ha appoggiata alla sua destra mi ha fatto pensare alla colt del-
l'Infallibile Pistolero. E in quel preciso momento ho deciso che questo benedetto calcolo combinatorio
io lo voglio sapere alla perfezione, voglio risolvere tutti i problemi che il prof ci dà, voglio che lei, pri-
ma o poi, mi chieda di confrontare i risultati di qualche esercizio! Sì proprio a me!
"Dunque", ha cominciato senza tanti complimenti "alla fine, quando avremo studiato tutto l'argo-
mento, dovremmo saper rispondere ai quesiti che stanno in fondo al capitolo:
1) In quanti modi si possono scegliere 2 studenti da una classe di 20 alunni, come rappresentanti al
consiglio di classe?
2) Quante sono tutte le possibili schedine che devo giocare per esser certo di vincere al totocalcio?
3) Se lancio 3 monete, mi conviene scommettere che escano 2 teste e una croce oppure che escano 3
croci?
4) In quanti modi posso ordinare il pranzo in un ristorante che nel menù propone 3 primi, 5 secondi e
4 dessert?
5) Come possono classificarsi i 5 concorrenti ad una corsa?
6) In quanti modi 3 persone che si trovano in ascensore possono fermarsi nei 4 diversi piani dello sta-
bile?
"Che te ne pare?" ha concluso aprendo gli appunti del prof "Sono quasi dei rompicapo. Forse c'è
da divertirsi."
"Sì, certo" ho risposto convinto, ma in cuor mio avrei voluto aggiungere 'Con te troverei divertente
qualunque argomento. Pure imparare a memoria l'elenco telefonico!'
"Senti" ha continuato decisa "io direi di seguire gli appunti perché, con questa storia dei modelli, il
prof la fa molto semplice, senza tante complicazioni di nomi difficili, come qui sul libro."
Le ho dato ragione perché, in effetti, mentre il prof spiegava mi sembrava di capire senza fatica.
"Allora seguimi e dimmi se sei d'accordo" ha esclamato col suo piglio combattivo. "Lui dice che, in
tutto, ci sono solo sei tipi di problemi e la cosa importante, quando ci si trova di fronte ad un quesito di
calcolo combinatorio, è saper riconoscere a quale di questi tipi appartiene. Poi è facile applicare la for-
mula per avere il risultato. Insomma, i sei tipi di problemi sono come sei modelli a cui tutti gli altri as-
somigliano. In effetti, la parola modello, mi fa pensare al modello della sarta: lo schema dell'abito è fis-
so, puoi cambiare la taglia, il colore della stoffa o il tipo di bottoni ma un tailleur è sempre un tailleur,
mentre un cappotto è sempre un cappotto. Il primo modello, che lui chiama modello 'cosa mi metto?', si
presenta così:
Sono davanti allo specchio e devo scegliere cosa indossare tra 3 t-shirt e 2 jeans. In quanti differenti
modi posso vestirmi? Questo è lo schema che aiuta a fare i conti. E' il classico diagramma ad albero.
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Anno 1 Numero 2
jeans bleu
t-shirt bianca
jeans scoloriti
jeans bleu
t-shirt bleu
jeans scoloriti
jeans bleu
t-shirt rossa
jeans scoloriti
"Beh!" sono intervenuto "Mi sembra un problema facile, lo schema spiega tutto: per trovare il risultato
basta moltiplicare 3×2, il numero delle t-shirt per il numero dei jeans. E se poi volessi abbinare anche 2
paia di scarpe dovrei moltiplicare 3×2×2 e così avrei tutti i diversi modi di vestirmi!"
Metallica per la prima volta mi ha guardato con un certo interesse e ha aggiunto: "Sì, hai ragione. E poi
osserva qua, tra i quesiti in fondo al capitolo, ce n'è uno che possiamo già risolvere, secondo me ha lo
stesso modello del nostro: in quanti modi posso ordinare il pranzo in un ristorante che propone 3 primi,
5 secondi e 4 dessert? Se si disegna un diagramma ad albero, verrà fuori che posso farlo in 3×5×4, cioè
60, modi diversi! Sono tutte le possibili terne del prodotto cartesiano tra i tre insiemi Primi, Secondi e
Dessert. Sei d'accordo?
Insomma, riassumendo, mi pare che il modello di questo tipo di problema consista nell'avere alcuni
insiemi e nello scegliere un solo elemento da ciascuno.
t-shirt jeans scarpe
t-shirt bianca jeans bleu scarpe nere
t-shirt bleu
jeans scoloriti scarpe marroni
t-shirt rossa
Il numero di tutti gli abbinamenti possibili si trova moltiplicando il numero di elementi del primo
insieme per quello del secondo insieme, per quello del terzo... e così via se gli insiemi sono più di tre."
"Vuoi fare una merenda?" ho proposto e, cercando di fare lo spiritoso, ho aggiunto "Possiamo sce-
gliere tra un tè o un succo di frutta che potremmo abbinare con un panino o una fetta di crostata. A con-
ti fatti ti offro 4 abbinamenti: quali sono i tuoi gusti?"
Lei ha risposto con uno di quei sorrisi che mi fanno tremare le ginocchia e poi ha scelto il tè con la
crostata. Subito dopo ha proposto di continuare a studiare ed io avrei voluto chiederle con chi avesse
quell'impegno importante delle sei ma, accidenti alla mia timidezza, sono riuscito solo a dire 'va bene,
continuiamo'. Altro che calcolo combinatorio, io dovrei frequentare un corso di autostima!
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La storia di Metallica continua sul prossimo numero. Nel frattempo esercitati a cercare tu esempi di
problemi reali che si risolvono con il prodotto cartesiano.
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Anno 1 Numero 2
Per una nuova didattica della matematica
di Tiziana Bindo, Mauro Cerasoli, Carlo Costabile
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Perché gli esaminatori pongono le domande ai L’attuale “società della conoscenza” richiede,
candidati in maniera così complessa? a ogni livello, un continuo aggiornamento delle
Sembra che abbiano paura di farsi comprende- conoscenze e delle competenze individuali. Per af-
re dagli interrogati. Da dove trae origine que- frontare e risolvere problemi e compiti del quoti-
sta deplorevole abitudine di complicare i pro- diano e svolgere un ruolo consapevole e attivo nel-
blemi con difficoltà inventate? la società, non solo è indispensabile saper utilizza-
re conoscenze ed abilità tradizionali, ma occorre
Evariste Galois, 21 gennaio 1831 anche usare tecnologie e informazioni moderne.
Premessa 1. Introduzione
Sempre più frequentemente gli studenti manife- L’esistenza di software di calcolo simbolico e di
stano un grave disagio nei confronti della ma- grafica digitale o di calcolatrici dotate di Computer
tematica; alcune indagini recenti hanno eviden- Algebra System (CAS) modifica ormai radical-
ziato che è considerata una scienza astratta, lon- mente i contenuti dei corsi di matematica e le mo-
tana dalle loro esperienze e dai loro interessi, di dalità d’insegnamento.
scarsa o nessuna utilità per la vita di tutti i gior-
ni. “Una montagna fredda e temibile”, troppo Così come più nessuno calcola radici quadrate,
difficile da scalare, un’impresa a cui spesso si o logaritmi o seni a mano o con le tavole, ma con
rinuncia in partenza. le calcolatrici, analogamente bisogna individuare
quegli argomenti di matematica che sono destinati
Questo disagio è peraltro confermato dai a fare la stessa fine.
docenti, che lamentano una crescente difficoltà
ad avviare il processo educativo e instaurare un Un tempo, la stessa calcolatrice scientifica era
dialogo costruttivo. Gli educatori trovano sem- vietata all’esame di stato con la motivazione che
pre più difficile ed estenuante interessare e non tutti gli studenti la possedevano. Oggi, questo
coinvolgere gli allievi in un percorso di appren- divieto vige per quelle dotate di CAS, con la stessa
dimento, tenuto conto dei brevi e rari momenti motivazione, sebbene i costi siano scesi al livello
che i giovani sono disposti a dedicare allo stu- della portata di tutti e una calcolatrice costi meno
dio “codificato”. di uno zainetto firmato o di un telefonino. Per non
parlare dei computer portatili che ormai quasi ogni
L’esigenza di un rinnovamento nella didat- studente possiede. Ad esempio (Sessione Supple-
tica della matematica è ormai ampiamente con- tiva esame di stato LS 2004/2005 PNI) si chiede di
diviso da tutte le componenti della scuola e calcolare il seguente limite:
dell’università. Alle “tradizionali motivazioni”
interne alla dinamica didattica, principalmente
legate alle difficoltà di apprendimento, si stanno limx→0 (1-x)1/x
aggiungendo e sovrapponendo nuove e pressan-
ti esigenze provenienti dal mondo esterno.
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10Anno 1 Numero 2
Basta scriverlo su una tastiera di computer 3. Il nuovo da mettere
attrezzato con TI InterActive! (e fra poco anche
su TI Nspire) per avere subito la risposta nella Alcuni argomenti di matematica discreta (come:
forma alberi, grafi, funzioni aritmetiche, geometrie finite
ecc. oppure frattali, variabili aleatorie, simulazioni
Monte-Carlo, teoria dei giochi, tanto per fare dei
lim ⎛⎝⎜ 1 - x ⎞⎠
x -1
=e nomi) possono essere inseriti nei programmi.
x 0
D’altra parte non ci sembra che tali argomenti sia-
no stati trattati e proposti in modo adeguato dagli
o su una calcolatrice CAS, ad esempio la TI 89, estensori di Matematica 2003 - La matematica per
per sapere che vale 1/e. (Risposta 5 nel quiz). il cittadino, di recente pubblicazione con enfasi
inneggiante alla novità.
A titolo esemplificativo la seguente tabella
2. Argomenti da eliminare
riporta le analisi effettuate da un paziente negli ul-
timi anni:
Per un politico, i tagli, per la sanità o per la spe-
sa pubblica, sono la cosa più difficile da effet-
tuare. Questa dolorosa operazione è necessaria Anni Col LDL GGT T G A
anche per la matematica. Già è ormai troppo
tardi per sedersi a un tavolo e mettere in chiaro
1985 201 135 92 90
cosa bisogna eliminare. Prima si fa e meglio è.
1991 56
L’odio per la nostra materia è arrivato a li-
velli mai visti prima. Il cittadino medio si vanta 1992 273 61 125 113
addirittura di non capire nulla di matematica e 1997 263 70 153 82 24
afferma orgoglioso di disprezzarla. E pensare
2000 261 148 252 94
che è il miglior prodotto della mente umana.
Qualcuno ha scritto infatti: se Dio esiste, allora 2001 274 122 168 58
deve essere un puro matematico. Vogliamo 2002 244 143 180 86
provare a smettere di fare, a titolo puramente
2004 252 121 98 55
indicativo:
2005 244 175 105 151 88 45
a) i radicali, nel senso di calcoli inutili con i
radicali che non sono serviti mai a niente;
b) i quattro metodi di risoluzione dei sistemi Eliminati la prima riga e la prima colonna si ottie-
lineari due per due, visto che li risolve il com- ne la nuova tabella:
puter in modo automatico anche quando i coef- 201 135 92 90
ficienti sono numeri del tipo, 3,14159 o
56
2,7182818 o 1,7321 e 1936,27 ecc. cioè numeri
veri con la virgola e con tante cifre e non quelli 273 61 125 113
inventati come 1, 2, 3, 4, -1, -2, -3 ecc. che qua- 263 70 153 82 24
si sempre stanno nei sistemi proposti; 261 148 252 94
c) le formule di trigonometria che venivano
274 122 168 58
usate per applicarvi i logaritmi;
244 143 180 86
d) il calcolo di limiti, derivate, integrali di
espressioni artificiose e complicate e quindi i- 252 121 98 55
nutili; 244 175 105 151 88 45
e)…………..
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11Anno 1 Numero 2
Questa tabella è una matrice? No, perché ci 4. A proposito di Storia della Matematica
sono delle caselle prive di numeri: sono i casi in
cui non sono stati rilevati dati al paziente. Allo- Per qualcuno la novità potrebbe consistere
ra che cosa è da un punto vista matematico tale nell’inserimento di argomenti di Storia della Ma-
tabella? Gli autori di questa nota non lo sanno. tematica. Ben venga la storia purchè si tratti di sto-
A cosa servono le matrici se si hanno tabelle ria pertinente, cioè, quegli episodi che contribui-
come questa prive di significato matematico? scono alla comprensione e all’approfondimento di
Visto che negli ultimi tempi sta furoreg- concetti di matematica. Vanno bandite, invece, le
giando il gioco del Sudoku, qual è la matemati- notizie che si riferiscono e riguardano fatti perso-
ca necessaria per vincere? In quale programma nali o secondari e privi di contenuto matematico.
ministeriale è svolta? Ad esempio bisogna evitare di parlare di Pitagora
La disciplina che doveva essere una delle che non gradiva le fave, tralasciando il suo teore-
maggiori novità nella nuova didattica della Ma- ma e le applicazioni. Ugualmente si dica pure di
tematica, sia per le sue innumerevoli applica- Galois, accanito repubblicano, che morì in duello a
zioni che per l’importanza che riveste 21 anni a patto che prima si sia spiegato bene che
nell’educazione civica del cittadino, educandolo cosa è un gruppo e che Galois sia stato il primo a
al dubbio e tenendolo fuori dai fondamentalismi introdurre tale concetto, precedendo Ruffini e A-
e dalle certezze assolute, cioè la Probabilità, è bel. Ugualmente ci interessa poco sapere della fa-
poco insegnata. E ciò rattrista l’animo sapendo miglia di Hilbert, se aveva figli maschi o femmine
inoltre che il metodo Monte Carlo è stato una e quanti, o che morì cadendo dal tram: a noi inte-
delle prime applicazioni delle nuove tecnologie ressa sapere se David ha risolto o no definitiva-
e sia oggi uno dei maggiori motivi per cui si usa mente il problema fondamentale degli invarianti
il computer, nei dipartimenti scientifici e non, nella teoria delle forme quadratiche binarie.
delle università di tutto il mondo. Così lasciamo pure pubblicare a Novella 2000
Steven Strogatz, docente di Matematica e a programmi televisivi dello stesso genere fatti
Applicata alla Cornell University, nel 2004 ha ed aneddoti di matematici che non hanno attinenza
scritto per il New York Times un articolo dedi- con enti e concetti di matematica.
cato alle grandi scoperte scientifiche di cin- Siamo, ovviamente, favorevoli ad aneddoti e
quanta anni fa. Si legge tra l’altro: “Il vero eroe storielle come i problemi di Delo e di Didone o i
scientifico del 1953 fu Enrico Fermi. Quella del ponti di Konisberg di Eulero o il primo problema
DNA non fu la sola a cambiare il corso della risolto da Gauss bambino, perché possono servire
storia: un’altra, quella degli esperimenti col a dare un volto più umano alla Matematica.
computer, o simulazioni al computer come si Come scriveva il Manzoni: adelante Pedro i
dice oggi, fu altrettanto importante. […] Fermi con judicio. Altrimenti facciamo come i letterati
non va ricordato solo come lo scopritore che parlano di Giulio Cesare, di quando è nato e
dell’atomo, ma anche come l’uomo che tra- quando è morto, che una delle quattro mogli si
sformò il computer nel telescopio della mente”. chiamava Calpurnia e la figlia Giulia, ma nessuno
Nell’ultimo mezzo secolo, scrive ancora Stro- ha mai letto una riga del De Bello Gallico.
gatz, la via da lui aperta ci ha aiutato a vedere
l’invisibile e a immaginare l’inimmaginabile. Per un maggiore approfondimento sui pericoli
insiti in un cattivo insegnamento della Storia della
Ma da noi è ancora poco noto il metodo Matematica, spesso confusa con la storia della ma-
Monte Carlo, quando esso è un modo di pensa- tematica greca, si rimanda al capitolo Una cattiva
re che sta facendo fuori buona parte della ma- lettura della storia della matematica che appare a
tematica classica nel senso di renderla obsoleta pag. 93 del volume Pensieri Discreti di Gian Carlo
o semplicemente inutile. Questo però è un di- Rota, edito da Garzanti nel 1993.
scorso che va approfondito e chiarito in altra
sede.
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12Anno 1 Numero 2
5. Il dramma della pedagogia invasiva Cerchiamo quindi di trovare la maniera per la-
sciare agli insegnanti sufficiente tranquillità per
Negli ultimi anni si è spostato un po’ troppo operare dei tagli, e anche sufficiente spazio per vi-
l’accento sul piano delle cosiddette scienze ceversa approfondire degli argomenti sulla base
dell’educazione a scapito dei contenuti. Non c’è della semplice motivazione che a loro piacciono di
alcun dubbio sul fatto che l’insegnante nella più di altri, o per cogliere e sfruttare eventuali oc-
scuola di oggi abbia bisogno, e in misura molto casioni che volta a volta si presentano, e che, per
maggiore dell’insegnante nella scuola di un essere sviluppate, richiedono però del tempo e
tempo, di conoscenze che vanno al di là della quindi dei tagli su altri fronti.
materia che insegna, e in particolare di fonda- Dopotutto tutti noi sappiamo, più dalla nostra
menti di psicologia e pedagogia, ma questo non esperienza di studenti che da quella di insegnanti,
deve voler dire abdicare al piano dei contenuti o che è facilissimo distinguere quando un insegnante
peggio infiocchettarlo con qualche nozione pe- tratta un argomento che gli piace e quando no: se
dagogica. Piuttosto, si dovrebbe cercare, nelle un insegnante non si sente sicuro di ciò che inse-
sedi opportune, un rapporto proficuo con gli gna, o non ama quello che insegna, continuerà a
studiosi di Scienze dell’Educazione, in modo non essere sicuro e a trasmettere insicurezza e a
che ognuno porti le competenze che gli sono non divertirsi e a trasmettere indifferenza o repul-
proprie nel processo di formazione degli inse- sione.
gnanti, senza indebite deleghe dall’una e Il primo comandamento del decalogo di Pol-
dall’altra parte. ya per l’insegnante è proprio “abbi interesse per la
Tornando ai contenuti, e cercando di espli- tua materia” e purtroppo, non è affatto facile per
citare cosa possa voler dire “spostare l’accento un insegnante tenere fede a questo “comandamen-
sui contenuti”, sono tre i punti su cui articolare to” nel dilagare di impegni e coinvolgimenti su
un intervento su questi problemi. mille fronti che la scuola di oggi richiede.
Il primo è uno sforzo teorico, che vada nella Venendo al secondo punto, c’è bisogno anche
direzione di identificare i nuclei fondanti irri- di idee, di spunti, di problemi. Di problemi intelli-
nunciabili nell’insegnamento preuniversitario, genti, cioè, riprendendo una definizione di Vittorio
non con lo scopo di diminuire il sapere mate- Checcucci “ricchi di interrelazioni con idee signi-
matico che si chiede alla scuola di trasmettere ficative”; problemi che generino altri problemi, e
ai ragazzi, ma con lo scopo di lasciare il mas- che stimolino la fantasia, di chi impara, e anche di
simo spazio alla libertà individuale chi insegna; che forzino la persona a pensare, a di-
dell’insegnante per quel che riguarda le possibi- scutere, a fare dei collegamenti.
li, diverse, aggiunte rispetto a un sapere mini- Problemi e situazioni ricchi di spunti che diano
male. la possibilità di fare matematica in modo attivo:
È inutile ossessionare gli insegnanti con fare degli esperimenti, intravedere un filo comune
l’idea che sia assolutamente necessario trattare nei risultati di questi esperimenti, formulare delle
trecento argomenti, quando tutti sappiamo che congetture, cercare di giustificare queste congettu-
di questi trecento ce ne saranno sì e no tre o re, provare l’entusiasmo della “scoperta”. E fare
quattro che si possono dare per effettivamente anche degli errori, perché l’errore è uno stadio e
acquisiti al termine della scuola, e che per quelli una tappa naturale nell’impadronirsi di un concet-
che continuano gli studi nei corsi di laurea delle to: ma avendo un retroterra nell’ambiente circo-
Facoltà Scientifiche già la vita sarebbe più faci- stante, e una sicurezza di fondo da parte
le se quelli acquisiti fossero una decina, magari dell’insegnante che permetta di non esorcizzare e
insieme a un po’ di idee chiare sullo spirito di nascondere l’errore, ma di farne uno strumento di
cosa vuol dire fare matematica. crescita collettiva, analizzandone l’origine e le
cause.
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13Anno 1 Numero 2
Insomma una sorta di laboratorio, non ne- In tutti i campi della scienza il gioco gode or-
cessariamente identificato come un luogo fisi- mai di una considerazione assai elevata, ben supe-
co, ma piuttosto come un modo di porsi di fron- riore a quella riconosciutagli dalla scuola, dove
te al processo di apprendimento/insegnamento. rimane tollerato come momento episodico di sca-
Non è certo una scoperta di oggi il fatto che rico delle tensioni, senza possibilità di confondersi
l’apprendimento, per essere reale, debba essere con le attività "serie". Nel campo delle tecnologie
attivo: basta ricordare i bellissimi libri di Polya, informatiche il gioco diviene vero e proprio labo-
gli scritti di Freudenthal e, per chi l’ha vissuta, ratorio di ricerca, in quanto il calcolatore offre e-
l’esperienza della palazzina, a Pisa nei primi normi possibilità di sviluppo della dimensione lu-
anni ’70: un luogo, voluto da Checcucci, con dico-virtuale.
l’idea che potesse essere un punto di raccolta "Creatività è sinonimo di pensiero divergente,
per persone diverse (studenti, insegnanti di di- cioè capace di rompere continuamente gli schemi
versi livelli scolastici) accomunate dal desiderio dell'esperienza. E' creativa una mente sempre al
di imparare e insegnare la matematica. lavoro, sempre a far domande, a scoprire problemi
Una delle convinzioni sottostanti a quel ten- dove gli altri trovano risposte soddisfacenti, a suo
tativo era proprio il fatto che qualunque discus- agio nelle situazioni fluide nelle quali gli altri fiu-
sione o ripensamento sull’insegnamento non tano solo pericoli, capace di giudizi autonomi e in-
dovesse essere confinato nel “segmento” scola- dipendenti (anche dal padre, dal professore, dalla
stico a cui si riferiva, ma non potesse che av- società), che rifiuta il codificato, che rimanipola
vantaggiarsi dalla comunicazione con altri con- oggetti e concetti senza lasciarsi inibire dai con-
testi. L’idea era quella di coagulare in un luogo formismi.
una raccolta di testi, di modelli, di oggetti ricchi Tutte queste qualità si manifestano nel proces-
di contenuti matematici ed efficacemente utiliz- so creativo. E questo processo ha un carattere gio-
zabili, possibilmente a livelli diversi e da inter- coso: sempre, anche se sono in ballo le "matemati-
locutori diversi, senza nulla togliere alle poten- che severe"...
zialità di fantasia e di “riscoperta” e anche, in-
sieme, che fosse un luogo dove fosse piacevole
andare. 6. Procedere per problemi concreti
Infine l’ultimo punto è quello dell’uso intel-
ligente delle tecnologie che consente di privile- Uno dei rompicapi spesso utilizzati per mettere in
giare i contenuti e le idee portanti rispetto ad un difficoltà qualche amico è il seguente:
insegnamento volto all’apprendimento di for- un mattone pesa un chilo più mezzo mattone.
mule e regole di calcolo lasciando l’esecuzione Quanto pesa il mattone?
dei calcoli alle macchine. I mondi artificiali, La maggior parte delle persone intelligenti ha
capaci di simulare la realtà con le sue leggi e le risposto: un chilo e mezzo. Dopo anni di liceo, po-
sue regole, rappresentano piacevoli opportunità chi sanno scrivere l’equazione
per coinvolgere gli studenti riportando l'ap-
prendimento nella sua dimensione naturale:
quella dell'esplorazione ludica. x = 1 + x/2
La conoscenza scientifica è un grande gioco
con la realtà, tra quella parte di essa che si pen-
che è il modello matematico adatto a risolvere il
sa di conoscere e quella parte che invece sfugge
problema. La soluzione x = 2 è immediata. Si può
alla comprensione, nel tentativo di rappresen-
fare a mano. Purtroppo nella realtà, un mattone
tarla entro schemi e modelli rappresentativi cre-
non pesa esattamente 2 chili, ovvero le equazioni
ati dalla mente. non hanno coefficienti come 1 e 2. Anche questo
indovinello è inventato: artefatto. Quando
l’equazione è:
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14Anno 1 Numero 2
segnargliene l’uso. Ma, il fine dell'insegnamento
234,5678x = 119,4957 + x/2294,1897 della matematica non dovrebbe essere proprio la
risoluzione di problemi?
Il risolvere problemi è un'arte pratica, come il
ricorrere a una calcolatrice è inevitabile. Resta nuotare o lo sciare o il suonare il piano: potete
però il fatto che è inutile insegnare matematica impararlo solo con l’imitazione e la pratica [...] se
pura se non si danno sempre problemi concreti. desiderate imparare a nuotare, dovete gettarvi in
Vogliamo dare un esempio di nuova didattica acqua e se desiderate diventare un risolutore di
della matematica riportando l’intervento Sui si- problemi, dovete risolvere problemi.
stemi lineari 2 per 2 presentato da Cerasoli
Mauro e Cerasoli Anna a Otranto nel 2° Incon- (La scoperta matematica, George Polya, 1961,
tro ADT-Mathesis del settembre 2005 sul tema Feltrinelli).
La Matematica è la più odiata dagli italiani! Nella didattica tradizionale, i sistemi lineari
Come farla amare?. vengono solitamente trattati seguendo questo
schema:
a. Considerazioni generali - definizione di sistema
Sfogliando uno dei testi di algebra più usati nel - esempio con numeri interi
biennio del liceo scientifico (comprese le classi - metodi di soluzione (sostituzione, confronto,
PNI), ci siamo imbattuti in una grande quantità riduzione, Cramer e determinanti)
di pagine che l'amabile docente, protagonista - studio di sistemi possibili, impossibili e inde-
del film L'attimo fuggente, non avrebbe esitato terminati
a strappare con gesto plateale, se al posto della
letteratura, avesse dovuto insegnare la matema- - risoluzione grafica
tica su quel testo. Tra l’interminabile sfilza di - verifica del sistema
formule e calcoli, assolutamente privi di riferi- - sistemi 3x3 (regola di Sarrus)
mento a qualunque tipo di problema, spiccava,
- esercizi.
per astrattezza, ripetitività e autoreferenzialità,
l'argomento riguardante I sistemi lineari. Riteniamo che il tempo impiegato e le energie
impegnate da parte dello studente sono spropor-
Ad esso il testo dedica 35 pagine di teoria,
zionate rispetto alla effettiva competenza che lo
42 di esercizi e 6 di problemi; di questi ultimi,
stesso può acquisire, con tale approccio. Sempre
soltanto 7 sono problemi di tipo reale. Dunque,
che non si sia perso, strada facendo! Bisogna tene-
un’apoteosi di teoria e calcoli su cui lo studente
re presente, infatti, che i problemi reali, quelli che
è inchiodato per numerose lezioni! Più che in
incontrerà nel proprio lavoro un futuro matematico
altri casi, su questo tema, è stridente il contrasto
o economista o fisico, solo molto raramente pre-
tra la potenza dello strumento matematico e la
sentano numeri interi come negli esercizi del libro.
noia infinita che può ingenerare la ricerca della
I numeri che si incontrano nella realtà sono
soluzione di un sistema con l'uso di tutti i me-
todi: sostituzione, riduzione, confronto e Cra-
mer. 1936,27 ... 9,8 ... 3,14 ...
Il modo in cui vengono trattati i sistemi li-
neari è emblematico di come, nella scuola, si 1,4142... 2,718 ... 0,618 ...1,732...
sostituisce lo studio cavilloso dello strumento
matematico al suo concreto utilizzo per risolve-
re problemi. E' la stessa cosa che se a uno stu- ed inoltre il numero di equazioni di un sistema
dente di chirurgia si insegnasse tutto sulla fab- è quasi sempre superiore a tre. E' impensabile,
bricazione del bisturi, trascurando, però, di in- quindi, far a meno del computer.
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15Anno 1 Numero 2
Per questi motivi, proponiamo un diver- ⎛ 6 4 40.1 ⎞ 2.75
so approccio all'argomento: simult ⎜ , =
⎜⎝ 2 7 46.8 ⎠ 5.9
- analisi di un problema concreto
- traduzione del problema in sistema
Così una bottiglia di birra costa 2,75 euro e
- risoluzione con il computer
una di vini costa 5,9 euro. Non conviene seguire il
- discussione del risultato consiglio di Luigi.
- visualizzazione grafica Si può avere anche una visualizzazione grafica
- generalizzazione del problema:
- esercizi su risoluzione di problemi.
10
8
b. Un problema per esempio 6
Dovendo preparare una cena tra amici, ac- 4
quisto sei bottiglie di birra e quattro di vino, 2
pagando 40,1 euro. Alla stessa cena arriva il
mio amico Carlo, con due bottiglie di birra e -10 -8 -6 -4 -2
-2
2 4 6 8 10
sette di vino, della stessa marca e acquistate
-4
nello stesso supermercato, pagando 46,8 euro.
-6
Poco dopo arriva anche Luigi con cinque -8
bottiglie dello stesso vino acquistato in super-
-10
offerta presso una enoteca, a sei euro ciascuna.
Luigi sostiene che si tratta di un vero affare e
invita gli amici a rifornirsi di vino presso quella Modifichiamo il problema nel modo seguente.
enoteca. Conviene seguire il consiglio di Luigi? Se Carlo avesse acquistato tre bottiglie di birra
Per sapere quanto costano le bottiglie di bir- e due di vino, pagando 20,05 euro, avremmo po-
ra e di vino indichiamo con x il prezzo di una di tuto ricavare dai nostri dati il prezzo delle singole
birra e con y il prezzo di una di vino. Queste in- bottiglie di birra e vino?
cognite devono soddisfare simultaneamente le Riscriviamo l'istruzione, ma questa volta il
equazioni computer ci segnala un errore:
6x + 4y = 40,1 ⎛ 6 4 40.1 ⎞
simult ⎜ ,
⎜⎝ 3 2 20.05 ⎠
2x + 7y = 46,8 EVAL ERROR: Singular matrix
Per sapere quanto valgono x e y usiamo TI- Non è possibile determinare la soluzione del
InterActive! per mezzo dell'istruzione: sistema. Infatti, in questo caso i dati forniti da Car-
lo non costituiscono una ulteriore informazione ri-
simult([6,4;2,7],[40.1;46.8]). spetto alla mia. Avremmo potuto dedurre i suoi da-
ti dai miei, senza nemmeno recarci al supermerca-
to!
Quando si preme ENTER appare la schermata
La visualizzazione grafica ci conferma che
siamo in possesso di una e non due informazioni.
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16Anno 1 Numero 2
A questo punto risulta facile, dopo una discussione
10 sui risultati ottenuti, una generalizzazione del
8 problema.
6
4
c. Commento finale
2
La risoluzione di sistemi con carta e penna, e una
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 eventuale calcolatrice per i calcoli elementari,
-2 comporta elevato rischio di errore e impiego di
-4 molto tempo. Né, d'altra parte, nessuno dei quattro
-6 algoritmi di risoluzione, ha elevata valenza cultu-
-8 rale: si tratta sempre di applicare in maniera auto-
-10 matica e ripetitiva alcune operazioni elementari.
Pertanto, ci sembra inderogabile l'uso del
Modifichiamo ulteriormente il problema. computer nell'insegnamento dei sistemi lineari. La
domanda da porsi a questo punto è: quale parte
Carlo ha acquistato tre bottiglie di birra e della teoria è ancora necessaria? Cosa vuol dire
due di vino e ricorda di aver pagato 25 euro. singular matrix? Si noti che non è mai stata usata
Scriviamo nuovamente l'istruzione, ma an- l’espressione sistemi lineari.
che in questo caso il computer ci segnala errore.
7. Internet e Wikipedia
⎛ 6 4 40.1 ⎞
simult ⎜ , In tutti i discorsi fatti non può mancare il riferi-
⎜⎝ 3 2 25 ⎠ mento obbligato a Internet ed in particolare a siti
EVAL ERROR: Singular matrix che, gratuitamente, forniscono materiale matema-
tico, come l’enciclopedia in rete
http://www.it.wikipedia.org
Non è possibile trovare la soluzione: la se-
conda informazione contraddice la prima. Carlo Ad esempio, per sapere qualcosa sul calcolo
non ricorda bene, oppure ha dimenticato di umbrale, basta andare sul sito:
prendere il resto. http://it.wikipedia.org/wiki/calcolo_umbrale
Il grafico ci chiarisce la natura di questo si- Analogamente, navigando con
stema. http://it.wikipedia.org/wiki/Wiki_/successione_di_Fibonacci
si ottengono tante informazioni sui numeri di Fi-
10 bonacci difficilmente reperibili sui libri.
8
Wikipedia è uno dei tanti siti dove trovare ma-
6
teriale matematico. Più in generale, sul motore di
4 ricerca Google.it, digitando in inglese termini ma-
2 tematici, ad esempio Fibonacci numbers, si trova-
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
no tanti siti che trattano l’argomento. Il tal caso è
-2 necessaria una buona conoscenza della lingua in-
-4 glese. Un campo affascinante di ricerca in rete è
-6
quello relativo ai frattali.
-8 Altri siti interessanti sono
-10 http://www.cut-the-knot.org
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17Anno 1 Numero 2
dove, ad esempio, consigliamo di leggere tante 8. La prova d’esame
belle cose sul Monty Hall Dilemma, o Parados- L’attuale esame di stato riserva alla matemati-
so delle tre scatole, nella Teoria delle Probabili- ca un ruolo secondario in quanto è oggetto della
tà e seconda prova scritta solo nei licei scientifici,
http://mathworld.wolfram.com compare con altre discipline nella terza prova e
valido più per studenti universitari e appassio- occupa uno spazio ridottissimo nel colloquio. Pe-
nati del software Mathematica. raltro dove è oggetto di prova scritta , con i divieti
d’uso delle calcolatrici programmabili, è anacroni-
In questo ambito il MIUR sta promuoven-
stica. Sono state fatte varie proposte di modifica
do progetti per l’uso della rete nella didattica
ma tutte cadute nel vuoto, vuoi per volontà del
quotidiana soprattutto per la Matematica, par-
MIUR, vuoi per l’indifferenza dei docenti i quali,
tendo dalla constatazione che le nuove tecnolo-
viste alcune statistiche, preferiscono in larga misu-
gie dell’informazione hanno modificato il modo
ra che la prova resti così come è. Contenti loro,
di interagire, conoscere e comunicare. I giovani
contenti tutti. Ecco le statistiche sull’argomento.
di oggi crescono in questa realtà: giocano, im-
parano e parlano usando il linguaggio digitale. Esame di Stato 2004
Nell’ultimo anno scolastico, in un campio- I risultati dell’indagine sulla prova scritta di
ne di scuole medie di 1° e 2°, è partita la speri- matematica nei licei scientifici.
mentazione di nuove forme di insegnamento (Elaborati dagli Ispettori Tecnici Emilio Ambrisi,
innovativo per l’italiano e la matematica. Annamaria Gilberti ed Antonino Giambò.)
Le classi coinvolte nella sperimentazione L’ultimo punto che l’indagine si riprometteva di
sono dotate di computer portatili collegati ad mettere in luce riguarda il parere delle Commis-
internet, di lavagne multimediali e di video- sioni circa l’uso o meno di strumenti di calcolo au-
proiettori. I docenti, opportunamente formati e tomatico in sede d’esame.
coadiuvati da tutor, potranno scegliere durante Si è fatto un gran parlare, negli ultimi 7-8 anni,
l’anno scolastico un numero predefinito di ‘Le- circa la possibilità di consentire negli esami di Sta-
arning Object’, disponibili in una ‘Libreria vir- to l’uso di una calcolatrice programmabile e grafi-
tuale Nazionale (Marketplace) all’interno di una ca; alcuni davano addirittura ad intendere che su
piattaforma sulla rete. questo ormai fossero d’accordo tutti i docenti di
I ‘Learning Object’ sono applicazioni di- matematica.
dattiche digitali di piccole dimensioni e durata, Ebbene le risultanze dell’indagine sono chia-
flessibili e utilizzabili in modo autonomo dal rissime: più di 4 Commissioni su 5 continuano a
docente per integrare le attività didattiche tradi- privilegiare una calcolatrice scientifica, purché
zionali. però non sia grafica o programmabile; addirittura
Le tecnologie hardware saranno offerte alle il 6% delle Commissioni ritiene che non dovrebbe
scuole insieme a un'adeguata formazione per il essere consentito l’uso di alcuno strumento di cal-
personale docente sull'utilizzo dei computer e colo automatico in sede d’esame. Solo 1 Commis-
sulle possibilità che le tecnologie offrono per sione su 10 è favorevole all’uso di una calcolatrice
arricchire il processo didattico; i computer non programmabile e grafica. Tutto questo quando in
saranno destinati solo alle apposite aule infor- Europa la situazione è esattamente all’opposto.
matiche, ma sarà data la possibilità di utilizzo
delle tecnologie nella classe e in orari extrasco-
lastici. Tiziana Bindo, t.bindo@istruzione.it
. Mauro Cerasoli, mauro.cerasoli@alice.it
. Carlo Costabile, c.costabile@unical.it
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18Anno 1 Numero 2
Le superfici non orientabili
di Luca Lussardi
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Quando si pensa a un oggetto matematico, Si potrebbe ingenuamente pensare che tutte
le superfici debbano avere due facce: un “sopra”
solitamente non si pensa a qualcosa di concreto,
e un “sotto”. L'esempio appena mostrato calza
ovvero a qualcosa che si possa toccare con mano.
alla perfezione: se immaginiamo di camminare
Questo, purtroppo, è vero per la maggior parte
sulla superficie esterna del cilindro, non
degli enti di cui si occupa la matematica.
riusciremo mai ad arrivare a camminare sulla
Esistono, però, alcune figure geometriche superficie interna senza attraversare il bordo.
molto particolari, e interessanti per le loro
Per convincersi, di ciò basta colorare la
proprietà, che possono essere facilmente (o
superficie cilindrica partendo da una delle due
quasi) costruite e visualizzate. In questo modo, è
facce: se non si attraversa il bordo con il
possibile verificare in modo diretto e stimolante
pennarello, si finisce inevitabilmente con il
le anomale proprietà che tali figure possiedono.
colorare solo una delle facce.
Le superfici di questo tipo si chiamano
Una classe di enti geometrici di questo tipo è orientabili: hanno un sopra ed un sotto, hanno
costituita dalle cosiddette superfici non due facce, possono essere orientate.
orientabili, ovvero superfici che non possiedono
un’orientazione naturale.
Per chiarire meglio quanto detto, partiamo da
Ma ci sono superfici che hanno una sola faccia.
Si può passare da “una faccia all’altra”
un esempio concreto di superficie che è parte
(terminologia impropria, visto che abbiamo
dell’esperienza comune. Pensiamo alla superficie
appena detto che la faccia è una sola) senza
laterale di un cilindro: la possiamo ottenere
dover per questo attraversare il bordo, o bucare la
facilmente incollando fra loro i lati opposti di un
superficie stessa.
foglio di carta rettangolare. La seguente figura
mostra una simile superficie cilindrica. È molto semplice costruire una superficie di
questo tipo: basta prendere la stessa striscia
rettangolare di carta usata per costruire la
superficie cilindrica: ora, però, prima di incollare
due lati opposti del rettangolo, facciamo fare
mezzo giro a un lato. Infine incolliamo i due lati,
dei quali uno è stato ribaltato di mezzo giro, e
otteniamo la superficie rappresentata in fig.2.
La superficie che abbiamo costruito si
chiama nastro di Moebius, ed è una superficie
non orientabile; infatti, se proviamo a colorare il
nastro partendo da un suo punto qualsiasi,
finiamo con il colorare tutto il nastro senza
Fig.1. Superficie cilindrica, superficie orientabile.
attraversare il bordo.
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