MSC. Marc Mentat 2000 - Esercitazioni ed esempi
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Università degli studi di Ferrara - Facoltà di Architettura
Corso Integrato di Disegno Automatico A.A. 2001-2002
Modulo di Sicurezza ed Affidabilità delle Costruzioni
Titolare: Arch. Giampaolo Guerzoni
MSC. Marc Mentat 2000 - Esercitazioni ed esempi
Software di Calcolo agli Elementi Finiti
a cura dell’Arch. Riccardo Cami
collaboratore alla didattica
Università degli Studi di Ferrara, Facoltà di Architettura - Corso Integrato di Disegno Automatico,
Modulo di Sicurezza ed Affidabilità delle Costruzioni - A.A. 2001-2002
INTRODUZIONE
Si riportano di seguito sinteticamente alcuni degli esempi che verranno trattati durante le lezioni
che si terranno all’Università degli studi di Ferrara, Facoltà di Architettura, nell’ambito del Corso
Integrato di Disegno Automatico, Modulo di Sicurezza ed Affidabilità delle Costruzioni.
Gli esempi sono 17, suddivisi in otto gruppi caratterizzati da un numero progressivo da 1 a 8;
ogni gruppo di esempi comprende diversi modelli inerenti allo stesso problema, identificati tramite
una lettera minuscola, attraverso i quali vengono spiegate le diverse possibilità di meshatura e di
impostazione dei dati in MARC.
Per ogni esempio si riportano:
- una breve descrizione del problema;
- immagini relative alla definizione della mesh e delle condizioni al contorno;
- immagini di alcuni dei risultati ottenuti;
- tabelle dei dati di input.
I primi 9 modelli riproducono una trave orizzontale, incastrata ad un’estremità e soggetta ad un
carico verticale concentrato applicato all’estremo libero.
In questi modelli si indica come è possibile utilizzare diversi tipi di elementi finiti, lineari (esempi
01; 01a), piani (esempi 02; 02a; 02b; 02c) o tridimensionali (esempi 03; 03a; 03b), per definire la
discretizzazione del corpo continuo trave; si compie inoltre uno studio relativo all’influenza della
densità della mesh sull’esattezza dei risultati, tramite il confronto dei risultati ottenuti da modelli a
sempre maggiore numero di elementi con quelli ottenuti analiticamente per integrazioni dell’equa-
zione della linea elastica.
Il modello 4 è una trave parete piana verticale sottoposta al peso proprio e ad un carico distribuito
applicato al lato superiore, soggetta ad un cedimento di fondazione per cui risultano vincolate con
cerniere solamente le estremità del lato inferiore. La parete è stata modellata con una mesh di
elementi finiti piani quadrilateri.
Il modello 5 rappresenta la parete di un edificio con due bucature, una porta ed una finestra, incer-
nierata nei nodi alla base e soggetta ad una spinta orizzontale nella parte superiore di uno dei lati
verticali della parete stessa. Il modello è composto da elementi finiti piani.
Gli esempi 6 e 6a riproducono il caso di un solaio in cemento armato incastrato su tre lati e sog-
getto ad un carico verticale sul lato libero. In questo caso al primo modello piano ne è stato affian-
cato un secondo tridimensionale, per evidenziare la necessità di utilizzare elementi tridimensionali
nel caso in cui il problema studiato non sia riconducibile ad uno stato piano di tensione o di defor-
mazione; è evidente quindi nel confronto fra i due esempi come l’utilizzo di elementi esaedrici
permetta di conoscere con esattezza la distribuzione delle tensioni e delle deformazioni all’interno
del materiale in problemi non piani.
L’esempio 7 riproduce un solaio in cemento armato incastrato sui quattro lati e soggetto ad
un carico verticale di superficie uniformemente distribuito. Anche in questo caso è necessario,
essendo un problema non piano, l’utilizzo di una mesh di elementi tridimensionali esaedrici.
I modelli 8, 8a e 8b infine sono semplici studi sul comportamento dell’insieme edificio-terreno.
E’ stato infatti riprodotto nel modello un edificio poggiante su di una porzione di terreno a forma
di cilindro schiacciato. All’edificio sono state assegnate le proprietà materiali della muratura,
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mentre il terreno è stato configurato con i relativi parametri di resistenza meccanica.
Nel primo esempio (8) si studia l’interazione fra l’edificio soggetto solamente al peso proprio ed a
carichi di solaio ed il terreno cedevole; nel secondo esempio (8a) si sono introdotti dei carichi ver-
ticali concentrati applicati al terreno in prossimità di un angolo dell’edificio, per simulare gli effetti
dovuti alla presenza di un campanile; nel terzo ed ultimo caso (8b) si studia il comportamento di
un edificio composto da due corpi di fabbrica di diverse altezze, dapprima nella sua interazione col
terreno, ed in seguito con i cedimenti dovuti alla presenza del campanile. In tutti e tre i modelli
si sono applicati i carichi in sequenza temporale, prima il peso proprio, poi i carichi di solaio ed
infine il campanile, utilizzando funzioni temporali di applicazione delle condizioni al contorno.
01- ESEMPIO 01
Trave orizzontale incastrata ad un’estremità soggetta a carico concentrato verticale
applicato all’estremità libera, modellata con un elemento lineare a due nodi (LINE 2).
Figura 1 - Mesh e condizioni al contorno.
Come si può vedere nella figura 1 e nella tabella riassuntiva dei dati di input, il modello
è composto da un unico elemento lineare a due nodi, il vincolo di incastro è riprodotto
imponendo che siano nulli nel nodo tutti gli spostamenti e le rotazioni, ed è stata applicata
una forza verticale di intensità 10 diretta versoil basso.
Il materiale è stato considerato isotropo con comportamento elastico lineare.
E’ stata assegnata all’elemento la geometria “elastic beam”, trave elastica, definita attra-
verso i parametri relativi alla geometria della sezione, cioè area e momenti di inerzia.
Non è stato considerato il peso proprio della trave, assumendo nulla l’accelerazione di
gravità.
I risultati che si ottengono sono perfettamente rispondenti a quelli ricavati per via ana-
litica per intregazioni successive dell’equazione della linea elastica (che si riportano di
seguito), in quanto il programma nella risoluzione riconduce il problema alla linea d’asse e
alla sezione trasversale, secondo il modello di Eulero Bernoulli nella Teoria Tecnica della
trave.
In questo modello, come si può vedere nelle immagini dell’output dei risultati, si possono
ottenere solamente valori relativi agli estremi della trave, dove sono i nodi dell’elemento,
in quanto il tipo di elemento finito utilizzato per al sua semplicità non permette di ripro-
durre la configurazione all’interno del materiale dello stato tensionale e deformativo.
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Figura 2 - Spostamenti in direzione y.
Figura 3 - Rotazioni attorno all’asse z.
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Figura 4 - Reazioni nodali in direzione y.
Figura 5 - Momento di reazione all’incastro.
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02- ESEMPIO 01a
Trave orizzontale incastrata ad un’estremità soggetta a carico concentrato verticale
applicato all’estremità libera, modellata con un elemento lineare a tre nodi (LINE 3).
Figura 6 - Mesh e condizioni al contorno.
Il modello è composto da un unico elemento lineare a tre nodi, il vincolo di incastro è
riprodotto imponendo che siano nulli nel nodo tutti gli spostamenti e le rotazioni, ed è stata
applicata una forza verticale di intensità 10 diretta versoil basso.
Il materiale è stato considerato isotropo con comportamento elastico lineare.
E’ stata assegnata all’elemento la geometria “elastic beam”, trave elastica, definita attra-
verso i parametri relativi alla geometria della sezione.
Non è stato considerato il peso proprio della trave, assumendo nulla l’accelerazione di
gravità.
Anche in questo modello i risultati che si ottengono sono perfettamente rispondenti a quelli
ricavati per via analitica.
In questo modello si possono ottenere solamente valori in corrispondenza dei nodi.
Di seguitano si riportano la tabella dei dati di input ed output e le immagini relative ai
principali risultati ottenuti.
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Figura 7 - Spostamenti in direzione y.
Figura 8 - Rotazioni attorno all’asse z.
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Figura 9 - Reazioni nodali in direzione y.
Figura 10 - Momento di reazione.
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03- ESEMPIO 02
Trave orizzontale incastrata ad un’estremità soggetta a carico concentrato verticale
applicato all’estremità libera, modellata con un elemento quadrilatero a quattro nodi
(QUAD 4).
Figura 11 - Mesh e condizioni al contorno.
Come si può vedere nella figura 11 e nella tabella riassuntiva dei dati di input, il modello è
composto da un unico elemento quadrilatero a quattro nodi, il vincolo di incastro è ripro-
dotto imponendo che siano nulli nei nodi di sinistra gli spostamenti e le rotazioni in ogni
direzione; è stata applicata in corrispondenza del lato destro dell’elemento una forza verti-
cale per unità di area di intensità 0.10 diretta versoil basso.
Il materiale è stato considerato isotropo con comportamento elastico lineare.
E’ stata assegnata all’elemento la geometria “planar”, piana con spessore 10 ed è stata con-
dotta un’analisi di tipo “plane stress”, considerando quindi la trave isolata e non porzione
rappresentativa di un continuo.
Non è stato considerato il peso proprio della trave, assumendo nulla l’accelerazione di
gravità.
I risultati che si ottengono in questo modello non sono uguali a quelli ricavati per via
analitica, in quanto con questo tipo di elementi il metodo risolutivo utilizzato dal pro-
gramma non riconduce più il problema alla linea d’asse e alla sezione trasversale secondo
il modello di Eulero Bernoulli nella Teoria Tecnica della trave, bensì entrano in gioco altre
funzioni (dette funzioni di forma) e metodi matriciali complessi che permettono di definire
lo stato tensionale e deformativo non solo in corrispondenza dei nodi, ma anche all’interno
dell’elemento stesso.
Si intuisce perciò l’importanza che riveste la definizione di una mesh opportuna in termini
di regolarità e densità di elementi, riguardo alla minore o maggiore approssimazione dei
risultati al reale comportamento sotto carico della struttura.
Come si può vedere nelle immagini dei risultati di seguito riportate, si possono ottenere
non solo i valori in corrispondenza dei nodi, ma anche diagrammi rappresentativi dello
stato tensionale e deformativo all’interno del materiale.
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Figura 12 - Spostamenti in direzione verticale.
Figura 13 - Spostamenti in direzione x.
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Figura 14 - Reazioni nodali in direzione y.
Figura 15 - Reazioni nodali in direzione x.
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04- ESEMPIO 02a
Trave orizzontale incastrata ad un’estremità soggetta a carico concentrato verticale
applicato all’estremità libera, modellata con quattro elementi quadrilateri a quattro nodi
(QUAD 4).
Figura 16 - Mesh e condizioni al contorno.
Il modello è composto da quattro elementi quadrilateri a quattro nodi. Condizioni al con-
torno, caratteristiche meccaniche dei materiali e proprietà geometriche sono identiche
all’esempio precedente.
I risultati che si ottengono in questo modello si avvicinano maggiormente a quelli ricavati
per via analitica rispetto a quelli dell’esempio 2, ma non si ritiene ancora soddisfacente il
grado di approssimazione raggiunto, per cui si decide di raffittire ulteriormente la maglia
degli elementi.
Nella seguente tabella riassuntiva dei dati di input e dei risultati i valori ricavati analitica-
mente, fra parentesi, sono messi a confronto con quelli forniti dall’elaboratore.
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Figura 17 - Spostamenti in direzione y
Figura 18 - Spostamenti in direzione x.
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Figura 19 - Reazioni in direzione y.
Figura 20 - Reazioni in direzione x.
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05- ESEMPIO 02b
Trave orizzontale incastrata ad un’estremità soggetta a carico concentrato verticale
applicato all’estremità libera, modellata con dieci elementi quadrilateri a quattro nodi
(QUAD 4).
Figura 21 - Mesh e condizioni al contorno.
La mesh del modello precedente è stata nuovamente suddivisa in elementi dalle dimensioni
minori, giungendo ad un modello composto da 10 elementi.
Il raffittimento della mesh porta ad un ulteriore avvicinamento dei risultati ai valori ricavati
analiticamente.
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Figura 22 - Spostamenti in direzione y, valori numerici.
Figura 23 - Spostamenti in direzione y, diagramma a bande colorate.
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Figura 24 - Spostamenti in direzione x, valori numerici.
Figura 25 - Spostamenti in direzione x, diagramma a bande colorate.
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Figura 26 - Reazioni in direzione y.
Figura 27 - Reazioni in direzione x.
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06- ESEMPIO 02c
Trave orizzontale incastrata ad un’estremità soggetta a carico concentrato verticale
applicato all’estremità libera, modellata con quaranta elementi quadrilateri a quattro nodi
(QUAD 4).
Figura 28 - Mesh e condizioni al contorno.
Ulteriore raffittimento della mesh degli esempi precedenti; il presente modello è composto
da 40 elementi QUAD 4.
Ancora una volta la maggiore densità di elementi corrisponde ad un minore scarto fra i
risultati del calcolo ed i valori ottenuti analiticamente.
Nei prossimi esempi si studierà la stessa trave come modello composto di elementi tridi-
mensionali.
Oltre ai soliti diagrammi degli spostamenti e delle reazioni verticali e orizzontali, si ripor-
tano i diagrammi relativi alla distribuzione nel materiale delle tensioni di compressione e
di trazione.
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Figura 29 - Spostamenti in direzione y, valori numerici.
Figura 30 - Spostamenti in direzione y, diagramma a bande colorate.
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Figura 31 - Sopstamenti in direzione x, valori numerici.
Figura 32 - Spostamenti in direzione x, diagramma a bande colorate.
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Figura 33 - Forze di reazione in direzione y.
Figura 34 - Forze di reazione in direzione x.
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Figura 35 - Diagramma delle tensioni principali di compressione.
Figura 36 - Diagramma delle tensioni principali di trazione.
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07- ESEMPIO 03
Trave orizzontale incastrata ad un’estremità soggetta a carico concentrato verticale
applicato all’estremità libera, modellata con dieci elementi esaedrici a otto nodi
(HEX 8).
Figura 37 - Mesh e condizioni al contorno.
Il modello di questo esempio è composto da 10 elementi tridimensionali.
Il confronto con l’esempio 02b, composto anch’esso da 10 elementi, ma piani, mostra che
fra i risultati ottenuti dai due modelli non corre molta differenza (entrambi comunque si
discostano notevolmente dal valore reale). In effetti essendo quello studiato un problema
piano, si deduce che a parità di numero di elementi è praticamente la stessa cosa utilizzare
il modello piano o quello tridimensionale, tenendo però presente che l’utilizzo di elementi
tridimensionali ed il conseguente aumento del numero di nodi presenti nel modello, com-
portano sempre un aumento di complessità del calcolo e quindi un maggiore onere compu-
tazionale.
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Figura 38 - Diagramma delle tensioni principali di compressione.
Figura 39 - Diagramma delle tensioni principali di trazione.
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08- ESEMPIO 03a
Trave orizzontale incastrata ad un’estremità soggetta a carico concentrato verticale
applicato all’estremità libera, modellata con ottanta elementi esaedrici a otto nodi
(HEX 8).
Figura 40 - Mesh e condizioni al contorno.
Il presente modello, composto da 80 elementi tridimensionali conduce a risultati sempre
più vicini a quelli ricavati analiticamente.
Il confronto con l’esempio 02b, composto anch’esso da 10 elementi, ma piani, mostra che
fra i risultati ottenuti dai due modelli non corre molta differenza (entrambi comunque si
discostano notevolmente dal valore reale). In effetti essendo quello studiato un problema
piano, si deduce che a parità di numero di elementi è praticamente la stessa cosa utilizzare
il modello piano o quello tridimensionale, tenendo però presente che l’utilizzo di elementi
tridimensionali ed il conseguente aumento del numero di nodi presenti nel modello, com-
portano sempre un aumento di complessità del calcolo e quindi un maggiore onere compu-
tazionale.
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Figura 41 - Diagramma delle tensioni principali di compressione e di trazione.
Figura 42 - Diagramma degli spostamenti verticali.
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09- ESEMPIO 03b
Trave orizzontale incastrata ad un’estremità soggetta a carico concentrato verticale
applicato all’estremità libera, modellata con 640 elementi esaedrici a otto nodi
(HEX 8).
Figura 43 - Mesh e condizioni al contorno.
L’ultimo modello della trave incastrata, composto da 640 elementi tridimensionali, forni-
sce risultati praticamente esatti, ma comporta un notevole aumento della complessità del
calcolo. Ulteriori raffittimenti della mesh risultano controproducenti in quanto comporte-
rebbero moli di calcolo eccessive e potrebbero addirittura portare a risultati errati; è questo
il problema della convergenza, che dice che in un modello agli elementi finiti aumentando
la densità della mesh ci si avvicina alla soluzione esatta fino ad un certo punto, oltre il
quale, procedendo con ulteriori raffittimenti, ci si allontana da essa.
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Figura 44 - Diagramma delle tensioni principali di compressione.
Figura 45 - Diagramma delle tensioni principali di trazione.
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10- ESEMPIO 04
Trave parete verticale piana incernierata agli spigoli inferiori e soggetta a carico
uniformemente distribuito verticale applicato al lato superiore, modellata con 240
elementi quadrilateri a quattro nodi (QUAD 4).
Figura 46 - Mesh e condizioni al contorno.
Il presente modello, composto da 240 elementi piani, riproduce il caso di una parete verti-
cale caricata soggetta ad un cedimento di fondazione nella sua parte centrale.
Fra le condizioni al contorno si considera anche il peso proprio.
Dai diagrammi dei risultati riportati di seguito si può facilmente individuare il meccanismo
reagente che si forma nella parete, in pratica un arco di materiale compresso sotteso fra i
due appoggi.
L’esempio studiato è un problema piano, per cui è inutile utilizzare elementi tridimensio-
nali.
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Figura 47 - Diagramma delle tensioni principali di compressione.
Figura 48 - Diagramma delle tensioni principali di compressione, visualizzazione dei vettori
relativi al tensore di stress.
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11- ESEMPIO 05
Parete verticale piana con aperture (porta efinestra), incernierata alla base e soggetta a
carico orizzontale, modellata con 88 elementi quadrilateri a quattro nodi (QUAD 4).
Figura 49 - Mesh e condizioni al contorno.
Modello composto da 88 elementi piani, riproducente una parete muraria soggetta ad una
spinta orizzontale in prossimità della parte superiore di un lato (esempio: spinta dovuta alla
presenza di una volta).
Come condizioni al contorno si considerano i vincoli (carrelli) alla base, le forze nodali
orizzontali ed il peso proprio.
Dai diagrammi dei risultati riportati di seguito si può facilmente individuare il meccanismo
reagente che si forma nella parete, in pratica un arco rampante di materiale compresso;
nel caso di materiale non reagente a trazione un meccanismo analogo permette alla parete
muraria di contenere azioni statiche orizzontali.
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Figura 50 - Diagramma delle tensioni principali di compressione.
Figura 51 - Diagramma delle tensioni principali di trazione.
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Figura 52 - Diagramma delle tensioni principali di compressione, visualizzazione dei vettori rela-
tivi al tensore di stress.
Figura 53 - Diagramma delle tensioni principali di trazione, visualizzazione dei vettori relativi al
tensore di stress.
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12- ESEMPIO 06
Piastra orizzontale piana incastrata su tre lati e soggetta a carico verticale uniforme sul
quarto, modellata con 100 elementi quadrilateri a quattro nodi (QUAD 4).
Figura 54 - Mesh e condizioni al contorno.
La piastra è soggetta ad azioni fuori dal proprio piano medio, per cui non essendo un pro-
brema piano, come evidente dai diagrammi, il calcolo non porta a risultati attendibili nel
senso che non mostra la reale distribuzione di tensioni e deformazioni nello spessore del-
l’elemento.
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Figura 55 - Diagramma delle tensioni principali di compressione.
Figura 56 - Diagramma delle tensioni principali di trazione.
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13- ESEMPIO 06a
Piastra orizzontale incastrata su tre lati e soggetta a carico verticale uniforme sul
quarto, modellata con 100 elementi esaedrici a otto nodi (HEX 8).
Figura 57 - Mesh e condizioni al contorno.
La piastra modellata con elementi tridimensionali, come evidente nel confronto con
l’esempio precedente, mostra gli effetti dovuti alle azioni ad essa ortogonali, ben visibili
nei diagrammi di tensioni e deformazioni di seguito riportati.
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Figura 58 - Diagramma delle tensioni principali di compressione.
Figura 59 - Diagramma delle tensioni principali di trazione.
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14- ESEMPIO 07
Piastra orizzontale incastrata su tre lati e soggetta a distribuzione verticale uniforme di
carico sulla sua superficie, modellata con 100 elementi esaedrici a otto nodi (HEX 8).
Figura 60 - Mesh e condizioni al contorno.
La piastra modellata con elementi tridimensionali mostra, nella distribuzione di tensioni e
deformazioni nello spessore, gli effetti dovuti alle azioni ortogonali al suo piano medio.
I diagrammi di trazione e compressione ricordano l’andamento delle linee di flusso delle
tensioni.
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Figura 61 - Diagramma delle tensioni principali di compressione.
Figura 62 - Diagramma delle tensioni principali di trazione.
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15- ESEMPIO 08
Edificio su porzione cilindrica di terreno modello soggetto a carichi verticali e peso
proprio; edificio modellato con 100 elementi quadrilateri a quattro nodi (QUAD 4),
terreno modellato con 612elementi esaedrici a otto nodi (HEX 8).
Figura 63 - Mesh e condizioni al contorno.
Il modello è composto da una serie di elementi quadrilateri a quattro nodi, che rappre-
sentano l’edificio, ed un cilindro composto da elementi esaedrici a otto nodi più o meno
regolari che rappresentano una porzione sufficientemente estesa del terreno sottostante
all’edificio stesso.
I nodi di base del cilindro sono stati vincolati in ogni spostamento.
Il materiale è stato considerato isotropo con comportamento elastico lineare, sia per la
muratura che per il terreno, con differenti caratteristiche meccaniche.
Sono state assegnate due differenti geometrie, “shell” e “solid” rispettivamente agli ele-
menti dell’edificio e del terreno, ed è stata condotta un’analisi tridimensionale.
E’ stato considerato il peso proprio di tutti gli elementi.
I vari carichi, (peso proprio, carichi verticali) sono stati assegnati in sequenza e per incre-
menti per mezzo di funzioni di applicazione temporali, in modo da vedere separatamente
nei vari incrementi gli effetti dovuti alle varie sollecitazioni.
Il cedimento del terreno, come visibile nei diagrammi dei risultati, produce distorsioni
nelle strutture dell’edificio e conseguenti stati tenso-deformativi.
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Figura 64 - Diagramma delle tensioni principali di compressione.
Figura 65 - Diagramma degli spostamenti verticali.
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16- ESEMPIO 08a
Edificio su porzione cilindrica di terreno; modello soggetto a carichi verticali, peso
proprio e forze verticali riproducenti l’azione di compressione sul terreno di un
campanile; edificio modellato con 100 elementi quadrilateri a quattro nodi (QUAD 4),
terreno modellato con 720 elementi esaedrici a otto nodi (HEX 8).
Figura 66 - Mesh e condizioni al contorno.
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Figura 67 - Diagramma delle tensioni principali di compressione.
Figura 68 - Diagramma delle tensioni principali di trazione.
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17- ESEMPIO 08b
Edificio su porzione cilindrica di terreno composto di due corpi di fabbrica a diversa
altezza; modello soggetto a carichi verticali, peso proprio e forze verticali riproducenti
l’azione di compressione sul terreno di un campanile; edificio modellato con 96 elementi
quadrilateri a quattro nodi (QUAD 4), terreno modellato con 720 elementi esaedrici a otto
nodi (HEX 8).
Figura 69 - Mesh e condizioni al contorno.
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Figura 70 - Diagramma delle tensioni principali di compressione al quarto incremento di carico,
prima che venga applicato il carico del campanile.
Figura 71 - Diagramma delle tensioni principali di trazione.
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Figura 72 - Tabelle utilizzate per l’applicazione dei carichi.
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INDICE
INTRODUZIONE............................................................................................................... 2
01- ESEMPIO 01........................................................................................................ 3
Trave orizzontale incastrata ad un’estremità soggetta a carico concentrato ver-
ticale applicato all’estremità libera, modellata con un elemento lineare a due
nodi (LINE 2).
02- ESEMPIO 01a...................................................................................................... 8
Trave orizzontale incastrata ad un’estremità soggetta a carico concentrato ver-
ticale applicato all’estremità libera, modellata con un elemento lineare a tre
nodi (LINE 3).
03- ESEMPIO 02........................................................................................................ 12
Trave orizzontale incastrata ad un’estremità soggetta a carico concentrato ver-
ticale applicato all’estremità libera, modellata con un elemento quadrilatero a
quattro nodi (QUAD 4).
04- ESEMPIO 02a...................................................................................................... 16
Trave orizzontale incastrata ad un’estremità soggetta a carico concentrato ver-
ticale applicato all’estremità libera, modellata con quattro elementi quadrila-
teri a quattro nodi (QUAD 4).
05- ESEMPIO 02b...................................................................................................... 20
Trave orizzontale incastrata ad un’estremità soggetta a carico concentrato ver-
ticale applicato all’estremità libera, modellata con dieci elementi quadrilateri
a quattro nodi (QUAD 4).
06- ESEMPIO 02c...................................................................................................... 25
Trave orizzontale incastrata ad un’estremità soggetta a carico concentrato ver-
ticale applicato all’estremità libera, modellata con quaranta elementi quadri-
lateri a quattro nodi (QUAD 4).
07- ESEMPIO 03........................................................................................................ 31
Trave orizzontale incastrata ad un’estremità soggetta a carico concentrato ver-
ticale applicato all’estremità libera, modellata con dieci elementi esaedrici a
otto nodi (HEX 8).
08- ESEMPIO 03a...................................................................................................... 34
Trave orizzontale incastrata ad un’estremità soggetta a carico concentrato ver-
ticale applicato all’estremità libera, modellata con ottanta elementi esaedrici a
otto nodi (HEX 8).
09- ESEMPIO 03b...................................................................................................... 37
Trave orizzontale incastrata ad un’estremità soggetta a carico concentrato ver-
ticale applicato all’estremità libera, modellata con 640 elementi esaedrici a
otto nodi (HEX 8).
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10- ESEMPIO 04........................................................................................................ 40
Trave parete verticale piana incernierata agli spigoli inferiori e soggetta a
carico uniformemente distribuito verticale applicato al lato superiore, model-
lata con 240 elementi quadrilateri a quattro nodi (QUAD 4).
11- ESEMPIO 05........................................................................................................ 43
Parete verticale piana con aperture (porta efinestra), incernierata alla base e
soggetta a carico orizzontale, modellata con 88 elementi quadrilateri a quattro
nodi (QUAD 4).
12- ESEMPIO 06........................................................................................................ 47
Piastra orizzontale piana incastrata su tre lati e soggetta a carico verticale
uniforme sul quarto, modellata con 100 elementi quadrilateri a quattro nodi
(QUAD 4).
13- ESEMPIO 06a...................................................................................................... 50
Piastra orizzontale incastrata su tre lati e soggetta a carico verticale uniforme
sul quarto, modellata con 100 elementi esaedrici a otto nodi (HEX 8).
14- ESEMPIO 07........................................................................................................ 53
Piastra orizzontale incastrata su tre lati e soggetta a distribuzione verticale uni-
forme di carico sulla sua superficie, modellata con 100 elementi esaedrici a otto
nodi (HEX 8).
15- ESEMPIO 08........................................................................................................ 56
Edificio su porzione cilindrica di terreno modello soggetto a carichi verticali
e peso proprio; edificio modellato con 100 elementi quadrilateri a quattro nodi
(QUAD 4), terreno modellato con 612elementi esaedrici a otto nodi (HEX 8).
16- ESEMPIO 08a...................................................................................................... 59
Edificio su porzione cilindrica di terreno; modello soggetto a carichi verticali,
peso proprio e forze verticali riproducenti l’azione di compressione sul terreno
di un campanile; edificio modellato con 100 elementi quadrilateri a quattro
nodi (QUAD 4), terreno modellato con 720 elementi esaedrici a otto nodi (HEX
8).
17- ESEMPIO 08b...................................................................................................... 62
Edificio su porzione cilindrica di terreno composto di due corpi di fabbrica a
diversa altezza; modello soggetto a carichi verticali, peso proprio e forze ver-
ticali riproducenti l’azione di compressione sul terreno di un campanile; edifi-
cio modellato con 96 elementi quadrilateri a quattro nodi (QUAD 4), terreno
modellato con 720 elementi esaedrici a otto nodi (HEX 8).
INDICE ............................................................................................................................ 66
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