Elettromagnetismo Università degli Studi di Milano - Rotore e teorema di Stokes Forze magnetiche. Forza di Lorentz.

Elettromagnetismo
                     Prof. Francesco Ragusa
                 Università degli Studi di Milano

                  Lezione n. 20 – 3.03.2020

          Rotore e teorema di Stokes
      Forze magnetiche. Forza di Lorentz.

Anno Accademico 2019/2020

Prodotto vettoriale
• Richiamiamo le definizioni (equivalenti) di prodotto vettoriale
  • In inglese cross product
  • Si usa anche la notazione
• Definizione 1
    • Un vettore perpendicolare al piano
      determinato da a e b
   • Verso determinato con la mano destra
 • Il modulo del vettore è a b sinθ                                 w
   • È l'area del parallelogramma che ha come lati a e b                    b
• Definizione 2
                                                                        a

• Definizione 3 (tensore di Levi Civita)

 • Sintetizzabile in

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Prodotto vettoriale
• Come primo esempio, calcoliamo la componente x (i = 1)
  utilizzando il tensore di Levi Civita

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Prodotto vettoriale
• Altro esempio
  • Troviamo delle identità per il prodotto triplo a⋅(b×c)
 • Ricordiamo il prodotto scalare di due vettori

 • Il prodotto triplo è pertanto

• Esercizio
  • Provare l'identità a⋅(b×c) = c⋅(a×b)
• Inoltre, dalla definizione di determinante, segue

                                Infine notiamo che è il
                                volume del parallelepipedo

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Rotore di un campo vettoriale
• Nello studio dell'elettrostatica abbiamo incontrato la legge di Gauss
  • Inizialmente enunciata in forma integrale

 • Successivamente in forma differenziale

   • La forma differenziale evidenzia proprietà locali del campo elettrico
     • ∇⋅E è una funzione del punto r
• Abbiamo inoltre espresso la proprietà del campo elettrostatico di essere
  conservativo utilizzando ancora una volta una legge integrale
  • La circuitazione del campo elettrico è nulla

• Abbiamo finora evitato di introdurre la forma differenziale della legge sulla
  circuitazione per non complicare la trattazione dell'elettrostatica
  • Tuttavia questo non è conveniente per gli sviluppi ulteriori
    dell'elettromagnetismo

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Rotore di un campo vettoriale
• Ricordiamo la procedura seguita nel caso della legge di Gauss
  • Avevamo espresso il flusso attraverso una superficie come la somma di tanti
    flussi attraverso superfici sempre più piccole
    • Al limite infinite superfici infinitesime
  • Avevamo poi definito la divergenza come limite
    del rapporto fra il flusso e il volume racchiuso

• Analogamente consideriamo la circuitazione di un
  campo vettoriale V lungo una curva chiusa C

 • Otteniamo lo stesso risultato se sommiamo due
   circuitazioni lungo i cammini C1 e C2
   • Notiamo che gli integrali lungo la regione di
     confine fra C1 e C2 (linea B) si elidono
   • Sono percorsi in senso inverso
   • Rimangono i contributi del resto dei cammini

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Rotore di un campo vettoriale
• Il processo appena descritto può essere ripetuto
  • Sommando su tutti i cammini rimane solo il
    contributo del cammino originale (esterno)

    • Al crescere del numero delle suddivisioni il
      valore delle circuitazioni Γi diventa sempre
      più piccolo: Γi → 0
• Nel caso della legge di Gauss avevamo definito
  una proprietà differenziale del campo legata
  alla legge del flusso calcolando il limite del
  rapporto fra il flusso Φi e il volume Vi con Φi, Vi → 0
  • Il limite del rapporto esisteva e definiva la divergenza del campo

 • Analogamente possiamo trovare una proprietà differenziale del
   campo legata alla legge della circuitazione calcolando il limite
   del rapporto fra le circuitazioni Γi e le superfici ai
   • Tuttavia ci sono importanti differenze

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Rotore di un campo vettoriale
• Esaminiamo le differenze
  • La superficie ai è connessa al cammino
    Ci in modo ambiguo
    • Ad esempio le due superfici di seguito
      hanno lo stesso contorno Ci ma hanno
      differenti valori ai e ai′

                                                      Ci non individua l'area ai
                                                           in modo univoco
  • Il limite del rapporto Γi/ai dipende dalla forma della superficie
• Si può ovviare a questa ambiguità utilizzando la normale n alla superficie
  • Se si fa tendere a zero la superficie mantenendo fissa la direzione n
    della normale si dimostra che il limite esiste ed è univoco
    • È un limite diverso per ogni direzione
    • In conclusione la grandezza che stiamo definendo è un vettore
    • Mantenere fissa la direzione della normale equivale a dire che si sta
       calcolando la componente del vettore nella direzione di n
  • Il limite (vettoriale) definisce
    il rotore del campo vettoriale V

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Rotore di un campo vettoriale
• Notiamo che la grandezza che abbiamo definito è una funzione vettoriale del
  punto r

 • Inoltre dobbiamo anche risolvere altre due ambiguità
   • Un cammino può essere percorso in due sensi

   • La normale alla superficie può avere due versi

 • Si usa la convenzione della mano destra
   • Lega il verso della normale al senso
     di percorrenza del cammino

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Teorema di Stokes
• Il teorema di Stokes lega il flusso del rotore di un campo vettoriale V
  attraverso una superficie alla circuitazione del campo vettoriale V
  • È analogo al teorema di Gauss che lega l'integrale di volume della divergenza
    di un campo vettoriale V al flusso del vettore V
• Consideriamo la circuitazione del campo V

 • Per N sufficientemente grande

   • Sostituendo

• Otteniamo pertanto il teorema di Stokes

                                                    La superficie S è arbitraria
                                                       ma è delimitata da C

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Rotore in coordinate cartesiane
• La definizione di rotore che abbiamo dato, benché
  rigorosa, risulta poco conveniente per un utilizzo nei calcoli
  • Ricaviamo un'espressione che consenta di scrivere per
    un campo vettoriale V le componenti di rot V
    • Esplicitamente e semplicemente
• Il calcolo dipende dal sistema di coordinate utilizzato
  • Iniziamo con le coordinate cartesiane
    • Nelle esercitazioni: espressione del rotore in altri sistemi di coordinate
• La componente del rotore nella direzione n è n⋅rot V
  • Per trovare le tre componenti di rot V utilizziamo i tre versori cartesiani

   • Ad esempio calcoliamo la componente z

• Utilizziamo un cammino rettangolare Cz
  • Delimita una superficie parallela al piano x−y
  • Il cammino è percorso in senso antiorario
  • La normale alla superficie punta nella direzione
    positiva dell'asse z (regola della mano destra)

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Rotore in coordinate cartesiane
• Calcoliamo la circuitazione del campo V(r)
  lungo il cammino rettangolare della figura
  • I lati del rettangolo sono infinitesimi
    e hanno lunghezza Δx e Δy
  • Calcoliamo il campo V(r) nei punti r1,r2,r3,r4
    • Definiamo per abbreviare Vi = V(ri)
  • Approssimando al primo ordine la circuitazione

 • Le componenti del campo necessarie possono
   essere calcolate sviluppando al primo ordine
   intorno al punto r0

   • Tutte le derivate sono calcolate nel punto r0

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Rotore in coordinate cartesiane

 • Introduciamo nell'espressione della circuitazione

   • Notiamo che il contributo Vx0 nei termini Vx1 e Vx3 si cancella
   • Analogamente il contributo Vy0 nei termini Vy2 e Vy4
 • Otteniamo

 • L'area della superficie delimitata dal cammino è a = ΔxΔy
 • Dalla definizione di rotore otteniamo infine

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Rotore in coordinate cartesiane
• Esaminiamo il risultato ottenuto

  • In particolare l'ordine z x y
    • Sono ordinate ciclicamente
  • Le componenti del vettore V da derivare sono "le altre" rispetto alla
    coordinata z del rotore che stiamo calcolando
    • Rispetto alla derivazione sono "scambiate"
• Avendo notato queste regolarità possiamo scrivere le altre due componenti

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Il rotore del campo elettrostatico
• Applichiamo il teorema di Stokes al campo elettrostatico E

 • Sappiamo inoltre che per un campo elettrostatico e per un cammino
   arbitrario C

 • L'arbitrarietà di C implica che per una superficie arbitraria S

 • Ovviamente ne consegue che

   • Questa è la forma differenziale della legge sulla circuitazione del campo
     elettrostatico
   • È condizione necessaria e sufficiente
   • È una delle leggi di Maxwell in forma differenziale nel limite statico

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Campi conservativi
• Vale la pena notare che se un campo vettoriale è il gradiente di un campo
  scalare il suo rotore è identicamente nullo
  • Infatti sia

 • Calcoliamo il rotore di V
   • Ad esempio la componente x

   • Sostituendo Vy e Vz

• Risultati analoghi per le altre due componenti
  • Anche in questo caso si tratta di condizione necessaria e sufficiente
• Notiamo infine che nei libri inglesi e americani si usa una notazione differente

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Significato fisico del rotore
• Per comprendere il significato fisico del rotore utilizziamo ancora una volta un
  esempio preso dalla fluidodinamica
  • Il flusso dell'acqua di un fiume
    • La velocità non è uniforme
    • È nulla sull'argine, massima al centro
• Un oggetto galleggiante è sottoposto
  ad un momento delle forze di attrito
  • Le forze sono differenti perché
    le velocità sono differenti

 • Dimensionalmente ∇×v è
   una velocità angolare

• https://www.youtube.com/watch?v=vvzTEbp9lrc

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Le forze magnetiche
• Come per le forze elettriche anche per i fenomeni magnetici le prime
  conoscenze sono molto antiche
  • Fin dall'antichità si conoscevano le proprietà di uno
    strano materiale, la magnetite
    • Il nome ha un origine classica, dalla citta Magnesia (Asia Minore) presso
      cui si trovava facilmente questo materiale
  • Oggi sappiamo che si tratta di una
    combinazione di ossidi di ferro: FeO⋅Fe2O3
    • È nota la capacita della magnetite di
      attirare la limatura di ferro
• Oggetti costruiti utilizzando la magnetite
  prendono il nome di magneti (permanenti)
• Una delle proprietà caratteristiche dei magneti
  è la presenza di due poli (Nord, Sud)
  • Due poli magnetici si attraggono o si
    respingono
    • Poli di segno diverso si attraggono
      • Nord-Sud
    • Poli di segno uguale si respingono
      • Sud-Sud Nord-Nord

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Le forze magnetiche
• Un'altra caratteristica importante di un magnete
  permanente è l'impossibilità di isolare un polo magnetico
  • Il tentativo di isolare un polo, ad esempio spezzando
    il magnete, porta comunque alla formazione di due o
    più magneti sempre con due poli
  • È un fatto sperimentale di fondamentale importanza
    l'impossibilità di isolare un polo magnetico
    • È una differenza fondamentale con le forze elettriche
• Una delle applicazioni più importanti delle forze magnetiche
  è stata senza dubbio la bussola per la navigazione
  • Se ne hanno notizie a partire dall'XI secolo
  • Si tratta di un sottile magnete permanente
    (ago magnetico) libero di ruotare in un piano
    • Il polo nord dell'ago indica la direzione
       del nord (magnetico)
• Oggi sappiamo che la terra possiede un campo
  magnetico analogo a quello di un magnete
  • L'asse del dipolo magnetico forma circa
    11.5 gradi con l'asse di rotazione
  • L'ago magnetico si allinea con il campo

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Magneti permanenti
•I  magneti permanenti applicano forze
 •  Ad altri magneti permanenti
 •  A oggetti metallici
 •  Generano un campo che permette di
    calcolare le forze: il campo magnetico                S   N
    • Definiremo fra poco rigorosamente il campo
       magnetico
• Possiamo visualizzare il campo magnetico
  utilizzando un ago magnetizzato
  • Vale la pena notare le somiglianze con il campo
    di un dipolo elettrico
    • Vedremo che la somiglianza della "mappa"
       delle linee di forza non è casuale
    • Attenzione: gli effetti del campo magnetico
       sono molto diversi da quelli del campo elettrico
• Si possono realizzare magneti permanenti di
  forme differenti
  • Genera linee di campo parallele all'interno

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L'esperimento di Oersted
• Per molti secoli la comprensione dei fenomeni magnetici non
  fece progressi di rilievo
  • Coulomb studiò le forze fra magneti giungendo ad una legge formalmente
    simile a quella delle forze elettrostatiche
  • Tuttavia non si trattò di una strada destinata a portare ulteriori progressi
    • I fenomeni magnetici rimanevano separati da quelli elettrici
• Nel 1820 Oersted studiava gli effetti delle correnti
  • Da poco le scoperte di Galvani e Volta avevano dotato gli scienziati di un
    nuovo strumento di ricerca per creare correnti elettriche: le batterie
• Oersted aveva intuito che le forze magnetiche avevano un'origine elettrica
  • Il famoso esperimento di Oersted
    dimostra l'effetto di una corrente
    elettrica su un ago magnetico
  • Una corrente elettrica genera
    un campo magnetico analogo
    a quello della terra
    • Perpendicolare al filo
• Le cariche in movimento generano
  un campo magnetico
  • È nato l'elettromagnetismo

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Forze fra correnti
• Quasi in contemporanea agli studi di Oersted avanzavano anche
  gli studi di Ampère
  • Grazie alla possibilità di costruire batterie si potevano studiare gli effetti
    delle correnti elettriche
  • Ampère scoprì che due fili percorsi da corrente esercitano forze l'uno
    sull'altro
• Ampère scopre la legge con cui due fili percorsi
  da corrente si attraggono o si respingono

                                       Correnti nello stesso senso
                                             Forza attrattiva

 • Nel sistema MKSA
                                              Correnti in senso opposto
                                                   Forza repulsiva

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La forza di Lorentz
• Per iniziare lo studio quantitativo delle forze magnetiche abbandoniamo da ora
  in poi lo sviluppo storico
  • Iniziamo dall'osservazione sperimentale che la forza magnetica viene
    esercitata su una carica elettrica in movimento
• Una prima caratteristica molto importante della forza magnetica è che essa
  dipende dalla velocità della carica test
  • In particolare la forza magnetica è sempre perpendicolare alla velocità
    • Ad esempio la deflessione di un
      fascio di elettroni
    • Gli elettroni eccitano livelli
      energetici dell'Argon che emette
      luce azzurrina
    • Il magnete deflette il fascio
      • Applica una forza centripeta

• Si può definire una procedura simile a quella utilizzata per la definizione
  operativa del campo elettrico
  • Misurare la forza che viene esercitata su una carica di test

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La forza di Lorentz
• Il risultato di una serie di esperimenti in una regione dello spazio condotti su
  cariche in movimento porterebbe al seguente risultato
  • È possibile definire un campo vettoriale B(r) (detto induzione magnetica)
    funzione della posizione r
  • La forza su una carica q che si muove con velocità v è data dalla relazione

 • Se nella regione esiste anche un campo elettrico E la forza totale è

    • L'ultima formula è la definizione della Forza di Lorentz
• Il fatto che si possa sempre trovare un campo vettoriale B che soddisfi la
  relazione precedente è una circostanza a priori non scontata
  • La legge sopra enunciata vale anche per campi variabili nel tempo
  • È una relazione locale
    • Tutte le grandezze sono misurate nello stesso punto r = (x,y,z) e tempo t
   • Tutte le grandezze sono misurate nello stesso sistema inerziale

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La forza di Lorentz
• Insistiamo ancora sul fatto che una sola misura non è sufficiente
  • Supponiamo infatti che per una velocita v1 si sia misurata una forza F1
     • Abbiamo già detto che sperimentalmente si trova che F1 e v1 sono
       perpendicolari
  • Il vettore B deve giacere sul piano perpendicolare a F1
  • Inoltre il modulo della forza è F1 = qv1Bsinθ
  • Tuttavia è evidente che esistono infiniti vettori B che
     giacciono sul piano e che producono la stessa forza F1
     • Tutti i vettori Bα tali che Bsinθ = Bαsinα
• Un altro modo di mettere in evidenza
  l'indeterminazione
  • Se B soddisfa
  • Allora la relazione è soddisfatta anche da
                                        con k arbitrario
• Si può dimostrare che se v1 e v2 sono due velocita perpendicolari e le forze
  misurate sono F1 e F2 rispettivamente

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Proprietà della forza magnetica
                                                                           B
• La componente magnetica della forza di Lorentz è data
  da un prodotto vettoriale: F = q v×B                                   F   v
  • È perpendicolare al piano individuato dai vettori v e B
    • Ovviamente i vettori v e B non sono necessariamente perpendicolari
• La velocità può essere scomposta in due componenti ( assumiamo B uniforme)
  • Una componente parallela al campo magnetico: v||
  • Una componente sul piano perpendicolare al campo magnetico: v⊥
• Consideriamo dapprima il caso in cui v|| = 0
  • La forza di Lorentz diventa

 • La forza è nel piano perpendicolare a B ed è sempre perpendicolare a v⊥
   • Il modulo della forza è costante F = qv⊥B
   • La particella descrive un moto circolare uniforme

 • Inoltre

                                                    frequenza di ciclotrone
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Proprietà della forza magnetica
• Consideriamo adesso il caso in cui v|| sia diversa da zero
  • La forza magnetica continua a dipendere solo da v⊥

  • La particella percorre una traiettoria che proiettata su un piano
    perpendicolare a B è ancora un moto circolare uniforme
  • Tuttavia la componente v|| non è modificata
    • Non ci sono forze in questa direzione
    • La coordinata parallela a B della traiettoria varia come v||t
  • La traiettoria della particella è un'elica
    • Ricordiamo che il raggio del moto
      circolare diminuisce al crescere di B
    • Se B è molto intenso il moto è confinato a
      "seguire" le linee del campo magnetico
• Considerazione analoghe anche nel caso di B non uniforme
  • In presenza di non uniformità del campo (gradienti)
    si realizzano effetti di contenimento
    • Bottiglie magnetiche
• Fenomeni di questo tipo, spettacolari, sono le aurore polari

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Aurore polari

                                               https://www.boulder.swri.edu/~spencer/digipics.html

                                                      https://commons.wikimedia.org/
                                                   wiki/File:Jupiter.Aurora.HST.mod.svg
 https://www.youtube.com/watch?v=1DXHE4kt3Fw

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