Analisi di stabilità: scivolamenti - Moodle@Units
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Analisi di stabilità:
scivolamenti
Prof. Luca Zini
Geologia Applicata – a.a.2020-2021
zini@units.it
Stabilità di pendii: ma a quali pendii
esattamente, facciamo riferimento??
1. Pendii naturali
2. Scarpate di scavi per lavori di fondazione
3. Lavori idraulici
4. Lavori stradali
5. Le scarpate dei rilevati stradali
6. Le dighe in terra
7. Gli argini
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Dati da raccogliere per realizzare
un’analisi di stabilità
1. Rilievo delle caratteristiche topografiche, geomorfologiche e
geologiche di dettaglio dell’area
2. Determinazione delle caratteristiche geometriche della massa di
terreno coinvolta e della superficie di scivolamento
3. Determinazione del tipo di movimento e dell’andamento nel tempo
4. Identificazione del profilo geotecnico con l’andamento delle
pressioni neutrali e le caratteristiche di classificazione e resistenza
dei diversi terreni coinvolti
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Metodologie
Esistono numerosi metodi per l’analisi della stabilità di un versante basati su impostazioni fisico-
matematiche in cui intervengono le forze stabilizzanti e non agenti sul versante, si suddividono in:
1.Metodi deterministici note o ipotizzate le condizioni in cui si trova un versante, questi metodi indicano
con un numero se il versante è più o meno stabile. Consistono nell’applicazione di leggi di
comportamento specifiche, di adeguati valori dei parametri fisici e di resistenza che controllano il
comportamento del materiale, in modo da ricavare il grado di stabilità o il fattore di sicurezza della scarpata.
Si suddividono in:
a) Metodi dell’equilibrio limite
b) Metodi tenso-deformativi
2.Metodi probabilistici valutano la probabilità di rottura di un pendio in determinate condizioni. Per
poterli applicare è necessario conoscere le funzioni di distribuzione dei diversi parametri considerati come
variabili aleatorie nelle analisi eseguendo i calcoli del fattore di sicurezza mediante processi iterativi. Si
ottengono così le funzioni di densità, di probabilità, di distribuzione di probabilità del fattore di sicurezza,
nonché le curve di stabilità per un versante con il fattore di sicurezza associato ad una determinata
probabilità di accadimento, ad es. il Metodo Monte Carlo.
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Scegliere il metodo di analisi
La scelta del metodo dipende da:
1. Caratteristiche geologiche e geomeccaniche dei
materiali (terreni o ammassi rocciosi)
2. Dati disponibili sul versante indagato e inerenti le
caratteristiche al contorno (geometrici, geologici,
geomeccanici, idrogeologici….)
3. Obiettivi dello studio, grado di dettaglio e risultati
attesi
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Metodi dell’equilibrio limite
L’analisi di stabilità viene generalmente condotta attraverso il
METODO DELL’EQUILIBRIO LIMITE GLOBALE
con cui si ricava una soluzione approssimata per il problema di
stabilità scegliendo una superficie di scivolamento di forma semplice
e utilizzando le equazioni dell’equilibrio.
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zini@units.itMetodi dell’equilibrio limite
I metodi dell’equilibrio limite sono quelli maggiormente utilizzati perché sono
di semplice applicazione e forniscono dei risultati soddisfacenti.
Per applicarli bisogna conoscere il significato e le modalità di misura della
resistenza al taglio dei materiali.
Questi metodi analizzano l’equilibrio di una massa potenzialmente instabile e
consistono nel calcolare, lungo una determinata superficie di rottura, il
rapporto tra le forze resistenti e quelle destabilizzanti.
Si basano su:
•La selezione di una superficie teorica di rottura nella scarpata
•Il criterio di rottura di Mohr-Coulomb
•La definizione di “coefficiente o fattore di sicurezza”
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zini@units.itLe verifiche di stabilità vengono trattate
come un problema bidimensionale, la
superficie di scivolamento viene
rappresentata da una linea e viene
trascurata ogni resistenza o azione
trasversale
(schematizzazione accettabile per pendii con caratteristiche
geometriche e terreni con caratteristiche geotecniche
costanti in direzione trasversale; l’errore è a favore della
sicurezza e non eccede il 10%)
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zini@units.itCondizioni
1. superficie di rottura definita da una geometria che consenta lo
scivolamento (cioè una superficie cinematicamente possibile)
2. La distribuzione delle forze agenti sulla superficie di rottura può
essere calcolata utilizzando dati noti (peso di volume del materiale,
pressioni neutre…)
3. La resistenza si mobilita simultaneamente lungo tutto il piano di
rottura
In queste condizioni si stabiliscono le equazioni di equilibrio tra le
forze che inducono lo scivolamento e le forze resistenti. La
soluzione delle equazioni fornisce il valore del coefficiente di
sicurezza del versante per la superficie analizzata, riferito
all’equilibrio limite per le forze agenti.
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Geologia Applicata – a.a.2020-2021
zini@units.itFattore di sicurezza
Forze stabilizzanti
Fattore di sicurezza =
Forze destabilizzanti
Rc+Rf
=
S
FS= è un indice del grado di stabilità di un versante ed è definito dal confronto tra
resistenza al taglio disponibile del materiale e quella effettivamente mobilizzata
Se FS > 1 condizione di stabilità
Se FS < 1 condizione di instabilità
Se FS = 1 condizione di equilibrio limite
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zini@units.itEffetti della gravità sui versanti
Gravità (W): agisce come peso
W
sull’unità di area del versante
determinando uno sforzo verticale
Componente tangenziale
dello sforzo (S)
Componente normale
dello sforzo (N)
b = inclinazione pendio
La forza peso (W) può essere suddivisa in due componenti che agiscono ad angolo retto
(S) e (N). La grandezza relativa dei vettori di (N) e (S) dipende da b
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Geologia Applicata – a.a.2020-2021
zini@units.itAngolo del versante e sforzo di taglio
W
S
N
b = 20 o, N > S
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Geologia Applicata – a.a.2020-2021
zini@units.itAngolo del versante e sforzo di taglio
W
S
N
b = 40 o, N = S
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zini@units.itAngolo del versante e sforzo di taglio
W
S
N
b = 60 o, S>>N S incrementa fino a diventare
sufficientemente grande da determinare il
movimento
…e l’acqua?
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Geologia Applicata – a.a.2020-2021
zini@units.itContenuto d’acqua e sforzo normale
W
S
“tavola d’acqua”
=N-u
N
Spinta di galleggiamento (u)
L’acqua presente nel terreno produce una pressione interstiziale
positiva che determina una spinta di galleggiamento sul materiale
soprastante agendo in modo contrario allo sforzo normale
producendo uno sforzo normale effettivo minore ()
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zini@units.itL’instabilità di un pendio si verifica quando, lungo una potenziale superficie di
scorrimento, il rapporto fra la resistenza al taglio disponibile (dipende da f e c) e lo
sforzo tangenziale mobilitato (dipende da componente tangenziale forza peso) è
minore di 1
S = W sin ()
N = W cos()
R = Ntan()+cA
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zini@units.itCOESIONE
La coesione è la forza di adesione tra i granuli e si esprime come resistenza al taglio.
Unitamente all’attrito interno, la coesione contrasta la forza che tende a far muovere le particelle di
terra una sull’altra.
Ad es. le sabbie presentano un attrito interno molto elevato ma una coesione quasi nulla, mentre le argille
hanno bassi valori di attrito e una buona coesione.
La determinazione diretta della resistenza a taglio t di una terra viene effettuata in laboratorio tramite la
scatola di Casagrande schematicamente costituita di due telai che racchiudono il campione di terra; il
telaio inferiore è fisso, mentre quello superiore si muove sotto l’azione di una forza verticale P e di una
orizzontale T.
Da questa prova si ottengono coesione e angolo di attrito in CONDIZIONI DRENATE.
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zini@units.itANGOLO DI
ATTRITO
INTERNO
L’attrito interno è rappresentato dalla resistenza allo scorrimento delle particelle di terra le une sulle altre. Si consideri un
granulo superficiale di terra che appartiene alla superficie piana di un terreno incoerente, inclinata dell’angolo α sull’orizzontale;
scomponendo il suo peso P:
– la componente Pn, perpendicolare alla superficie del terreno, genera una sollecitazione di compressione con tensione normale
σ;
– la componente Pt, che agisce sulla superficie del terreno, genera una sollecitazione di taglio con tensione tangenziale t.
La componente Pt tende a far scivolare la particella di terreno verso il basso e viene contrastata dall’azione resistente del
terreno, detta forza di attrito Fa, la cui intensità dipende dalle caratteristiche delle superfici in aderenza, in questo caso
del terreno e del granulo di terra.
Pensando di aumentare gradualmente l’inclinazione della superficie piana della terra, cioè l’angolo α, si incrementa anche la
forza Pt mentre la forza Pn si riduce fino al momento in cui viene vinto l’attrito, risultando Pt > Fa, e il granulo scivola in basso
lungo la superficie.
Nell’attimo immediatamente precedente all’inizio del movimento del granulo si ha una condizione di equilibrio alla
quale corrisponde un certo valore dell’angolo α detto angolo di attrito ϕ, in funzione del quale può essere calcolata la forza
di attrito:
Fa = Pn ⋅ f
essendo f = tg ϕ = coefficiente di attrito.
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zini@units.itFacendo cadere liberamente del terreno incoerente su una superficie
orizzontale, questo si dispone secondo un cono; la generatrice della superficie
conica forma con l’orizzontale l’angolo di attrito ϕ.
Tenendo presente che l’angolo ϕ può variare da 0° a 90°, si possono avere i
seguenti casi:
• α < ϕ (per cui tg α < tg ϕ e Pt < Fa): il granulo di terra è impedito a scorrere e si
trova nella condizione di equilibrio statico;
• α = ϕ (per cui tg α = tg ϕ e Pt = Fa): il granulo di terra è nella condizione di
equilibrio limite;
• α > ϕ (per cui tg α > tg ϕ e Pt > Fa): per il granulo di terra viene a mancare la
condizione di equilibrio statico e scivola sulla superficie piana.
In presenza di terreni incoerenti, le tensioni normale e tangenziale sono regolate
dall’equazione di Coulomb:
t = σ⋅ tg ϕ
che nel caso di terreni coerenti viene scritta nella forma:
t = c’ + σ’⋅ tg ϕ’
dove c rappresenta il valore della coesione, con le quali viene calcolata la
resistenza di attrito per unità di superficie.
Per diversi valori di σ è possibile determinare i valori di rottura a taglio t del
provino e costruire i diagrammi relativi al terreno in esame.
L’attrito interno, e quindi l’angolo di attrito, varia da campione a campione e per
ciascuno in funzione del grado di umidità.
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zini@units.itLa resistenza a taglio del terreno viene
determinata con la prova di compressione
triassiale, detta prova a espansione laterale
parzialmente impedita, e viene eseguita
utilizzando l’apparecchio con un provino
cilindrico di altezza uguale a due volte e mezzo il
diametro, posto in un sottile tubo di gomma
chiuso alle due basi con pietre porose, che viene
posizionato in un cilindro di vetro pieno di acqua;
si sottopone quindi il provino a una
compressione uniforme σ1 sulle due basi e a
una pressione radiale σ2 ≠ σ1 sulla superficie
laterale.
Ripetendo la prova fino alla rottura del provino
per diversi valori delle tensioni principali σ1 e σ2,
è possibile tracciare un grafico su assi cartesiani
tramite il quale si individua il valore della
coesione c’ e dell’angolo di attrito ϕ’ per cui
risulta possibile calcolare con l’equazione di
Coulomb la tensione tangenziale di rottura.
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zini@units.itOgni materiale ha il suo attrito e la sua coesione caratteristici
Coesione c
Angolo di attrito
interno f
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zini@units.itMetodi dell’equilibrio limite
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zini@units.itSkempton, 1948
Il più semplice dei metodi del cerchio di scorrimento
Si assume che la resistenza del terreno sia dovuta a sola coesione
Momento = prodotto tra
Momento resistente Mres=rLacu intensità della forza ed
Momento ribaltante Mrib=Wd il suo braccio
Fs= Mres/ Mrib=rLacu /Wd dividendo per r ottengo:
Fs = Lacu /Wsina l’equazione non dipende più da r (raggio del cerchio di scorrimento) è identica a quella
relativa ad un unico blocco che scorre su di un piano inclinato al cui movimento si contrappone solo la
resistenza coesiva. Pertanto questa espressione è valida per superfici di scorrimento di ogni forma.
Paragonando i risultati ottenuti con questa metodologia a quelli ottenuti con metodologie più complesse,
l’errore nel calcolo di Fs è del 5-8% buon metodo
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zini@units.itMetodi della massa totale, metodo
di Taylor (1937)
Utilizzazione di superfici di rottura circolari per scarpate di altezza finita per le quali non si
individuano chiaramente sul terreno superfici di rottura determinate. Geometria regolare,
altezza limitata, condizioni non drenate.
Considerando il terreno omogeneo e la validità del criterio di Mohr-Coulomb, la resistenza
tangenziale mobilitata per arrivare all’equilibrio limite (F=1) sarà data dai due contributi,
uno dovuto alla coesione, e l’altro all’angolo di attrito:
S = t / F = (c’ / F)+ ( n tan f’ / F)
Gli sforzi distribuiti sulla superficie di rottura R c (risultante dovuta alla coesione),
possono essere sostituiti con:
R c = ∫ (c /F) dq tra 0 e q con linea d’azione parallela alla corda AB.
INCOGNITE
-N la risultante degli sforzi normali di cui non è nota l’entità ed il punto di applicazione
-Rf la risultante dovuta agli sforzi di attrito deve essere normale ad N e soddisfare la
condizione:
Rf = N tan f /F anche per Rf non si conoscono punto di applicazione ed intensità
PIU’ INCOGNITE CHE EQUAZIONI DISPONIBILI
Esigenza di apportare delle semplificazioni al problema:
TAYLOR
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zini@units.itTerreno argilloso con rottura che avviene in
condizioni non drenate:
• Resistenza c’ = c u dove c’ u è la resistenza al taglio non drenata e f’ = 0
in questo modo il problema è determinato.
• F si calcola rilevando i momenti delle forze in gioco rispetto al centro del cerchio di
rottura
• Wd = R c r c F = c u R2 q / Wd
Terreno argilloso con coesione che varia lungo
tutta la superficie:
• E’ necessario dividere la superficie in n tratti di ampiezza q in cui si possa assumere
tale parametro costante per cui F risulta:
Con Su=cu
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zini@units.itSe c ≠ 0 e f ≠ 0
Metodo del cerchio di attrito o
metodo di Taylor (1948)
• Per risolvere il problema è necessario aggiungere delle ipotesi
complementari ed effettuare diverse iterazioni grafiche o analitiche.
• Taylor: la risultante delle forze normali è concentrata in un solo
punto
• Per terreni omogenei, Taylor predispose abachi per risolvere casi
specifici
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zini@units.itcaso (1) di figura B
Stabilità a breve termine in argille sature,
cioè rottura in condizioni non drenate
TERRENI SOLO COESIVI
Presenza di un substrato rigido che
impone un limite alla profondità del
cerchio di rottura
H= 15 m, spessore complessivo dello
strato di argilla 25 m
β= 45°
cu=80 kPa
γ= 20 kN/m3
Df rapporto tra la profondità del substrato e l’altezza della
scarpata
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zini@units.itcaso (1) di figura B
H= 15 m, spessore complessivo dello
strato di argilla 25 m
β= 45°
cu=80 kPa
γ= 20 kN/m3
Innanzitutto calcolo Df che è il rapporto tra la
profondità del substrato e l’altezza della
scarpata
Df=H1/H 25/15 = 1,67
Entro nel grafico con il mio valore di Df, uso il
valore dell’angolo di scarpata, e ottengo
N= 0,175
per cui
FS=cu/N γ H= 80/(0,175×20×15)= 1,52
Per le verifiche di lungo termine esistono altri
abachi (Bishop e Morgenstern, 1960) ma
risulta più conveniente usare direttamente i
Prof. Lucadi
programmi Zini
calcolo.Geologia Applicata – a.a.2020-2021
zini@units.itStabilità a breve termine in argille sature, cioè rottura in condizioni non drenate
TERRENI SOLO COESIVI
In condizioni di equilibrio limite l’altezza
critica Hc vale:
Ns = Ns (nd,β) è adimensionalee dipende dalla
geometria del problema
Ns coeff. di stabilità
nd è il fattore di profondità ed è il
rapporto adimensionale fra la
profondità H1 di un eventuale strato
rigido di base e l’altezza del pendio H.
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zini@units.itIn condizioni di equilibrio limite l’altezza critica Hc vale: Dall’osservazione del grafico di Taylor si desume: - Per un pendio a parete verticale (β=90°) il fattore di stabilità (Ns) vale 3,85 ovvero l’ altezza critica è Hc=3,85*cu/γ - Per angoli β>53° il cerchio critico è sempre di piede - Per angoli β
CASO 2
TERRENI CON ATTRITO INTERNO
• L’abaco a fianco mette in relazione N e (numero di
stabilità) con (l’angolo della scarpata) e con F per
valori compresi tra 0° e 25°.
• TERRENI GRANULARI
• Nella zona A il cerchio critico di base rimane
completamente al di sopra del piede della scarpata.
• Nella zona B il cerchio di base più sfavorevole passa
al di sotto del piede della scarpata
• Superfici di rottura: a) cerchio di base; b) cerchio di punto medio (Jimenez Salas &
al., 1976)
Angolo di scarpa
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zini@units.itSi vuole calcolare l’inclinazione di una scarpata con
FS=1,5
H=15 m
c=1 t/m3
q=18
Y=1,8 t/m3
Ne=c*/(Y*H)=c/Fc/(Y*H)=0,0247
tanq*= tanq/1,5=0,2166 q*=12,22
Inserendo i dati nell’abaco si ottiene un angolo di
inclinazione della scarpata di 18°
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zini@units.itEsercizio 1
Si vuole eseguire uno scavo di sbancamento in un deposito di argilla omogenea
satura sovrastante uno stato rigido (bedrock).
Determinare con il metodo di Taylor la pendenza necessaria per avere coefficiente
di sicurezza F = 2.
I dati geometrici e geotecnici sono i seguenti:
H (m) = 6 profondità di scavo
H1 (m) = 9 spessore del deposito di argilla
γ (kN/m3) = 18 peso di volume dell'argilla
cu (kPa) = 40 resistenza al taglio media in termini di tensioni totali
Ns= γHc/cu
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zini@units.itSoluzione:
Hc (m) = 12 altezza critica
Ns = 5.4 fattore di stabilità
nd = 1.5 fattore di profondità dal grafico di Taylor si ricava: β (°) = 55
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zini@units.itEsercizio 2
Deve essere eseguito uno scavo verticale di sbancamento per un'altezza
H=10 m in un'argilla satura sopra il livello di falda. L'argilla ha peso di volume
γ e resistenza al taglio in condizioni non drenate cu.
Lo strato di argilla ha spessore H1=20 m ed appoggia sul substrato roccioso.
Calcolare il coefficiente di sicurezza per uno scavo in parete verticale, con il
metodo di Taylor.
Dati:
g = 20 kN/m3
cu = 60 kPa
H1 = 20 m
H = 10 m
β = 90°
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zini@units.itDati:
g = 20 kN/m3
cu = 60 kPa
H1 = 20 m
H = 10 m
β = 90°
Ns= γHc/cu
nd=H1/H
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zini@units.itSoluzione:
Scavo in parete verticale,
metodo di Taylor.
nd = H1/H = 2
β = 90 °
Ns = 3.85
Hc = Ns cu/γ = 11.55 m
FS = Hc/H = 1.155
cerchio di base o di piede
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zini@units.itCalcolo di Fs con Hoek & Bray (1981)
(basati sul metodo di Taylor)
Terreni coesivi, terreni non coesivi, rocce molto fratturate
Terreni omogenei con Gli abachi di Hoek & Bray permettono di
calcolare in modo rapido e semplice il
coesione ed attrito coefficiente di sicurezza di scarpate in
terreni con rottura circolare al piede,
partendo dai dati geometrici e dai
parametri di resistenza del terreno.
Fs calcolato in base a CARTE DI STABILITA’ (sup. scivolamento
circolari)
Hoek & Bray (1981)
5 carte in funzione del livello della falda: pendio perfettamente
drenato, pendio in condizioni di piena saturazione, pendio con
superficie piezometrica posta ad altezze diverse
Fs così ricavato è il minimo possibile, è relativo ad una superficie
di scivolamento circolare che si raccorda, nella parte sommitale
del versante, a una frattura verticale di trazione.
Valutazione speditiva e approssimata di Fs
IPOTESI
1. Materiale omogeneo in tutta la scarpata
2. Esistenza di una frattura di trazione
3. La tensione normale viene concentrata in un unico punto della
superficie di rottura
Abaco numero 3
Fig.A
Prof. Luca Zini
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zini@units.itCome si leggono gli abachi di Hoek & Bray?
Il Fattore di sicurezza così calcolato è il minimo possibile,
ed è relativo ad una superficie di scorrimento circolare
che si raccorda, nella parte sommitale del versante, ad
una frattura verticale di trazione.
Abachi esistenti in funzione del livello piezometrico.
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zini@units.itAbachi di Hoek e Bray
esercizio 3
H=12m, inclinazione =35°, parzialmente saturi, con parametri di resistenza del terreno pari a:
c’=1.5 t/m2, f=25° e g=1.8t/m3
Prof. Luca Zini
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zini@units.itH=12m,
inclinazione =35°
c’=1.5 t/m2, f=25° e g=1.8t/m3
NB f è espresso in rad
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zini@units.itMetodi dei conci, metodo di
Bishop
L’ipotesi di Taylor assume che le tensioni normali sulla superficie di rottura siano
concentrate in un punto unico, il che comporta un certo errore, anche se a favore
della sicurezza. L’abaco di Taylor permette solo di considerare la presenza
d’acqua in un terreno omogeneo con livello di falda orizzontale.
Bishop (1955): METODO DEI CONCI
Ipotesi
1. Superficie di rottura circolare
2. Il terreno viene suddiviso in n conci o fasce verticali
3. Si impone l’equilibrio dei momenti delle forze agenti in ciascun concio rispetto al centro del cerchio
4. Dalla condizione di equilibrio delle forze verticali in ciascun concio si ottengono le forze N (normali alla
superficie di rottura) e si sostituiscono nell’equazione risultante dell’equilibrio dei momenti
5. Il metodo di Bishop semplificato ipotizza inoltre, che le forze di contatto tra 2 conci adiacenti non influiscano
essendo in equilibrio.
6. Si ottiene così il coefficiente di sicurezza F della superficie considerata.
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zini@units.itMetodo di Bishop semplificato (1955)
Assunzioni preliminari:
• superfici di movimento circolari
• nulle le forze tangenziali agenti sulle superfici laterali
di ciascun concio
• coesione e angolo di attrito interno del materiale
diversi da zero
• si impone l’equilibrio dei momenti delle forze agenti in ciascun
concio rispetto al centro del cerchio
L’espressione non è lineare pertanto per ottenere la risoluzione della medesima è necessario ricorrere ad un
procedimento iterativo fino a convergenza rispetto ad un valore di tolleranza prefissato all’inizio del
procedimento di calcolo.
Il calcolo di Fs è a favore della sicurezza
ed è generalmente modesto
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zini@units.itMetodo di Janbu semplificato (1969)
Assunzioni preliminari:
• superfici di scivolamento di forma qualsiasi
• nulle le forze tangenziali agenti sulle superfici laterali di ciascun concio
• coesione e angolo di attrito interno del materiale diversi da zero
L’espressione non è lineare pertanto per ottenere la risoluzione della medesima è necessario ricorrere ad un
procedimento iterativo fino a convergenza rispetto ad un valore di tolleranza prefissato all’inizio del
procedimento di calcolo.
Il valore di Fs è sottostimato a favore della sicurezza soprattutto per terreni coesivi e sup. di
scivol. profonde fattore di correzione
Fs corretto = foFs dove fo dipende dai parametri di resistenza al taglio
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zini@units.itPuoi anche leggere
