RIPASSO III E DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ - METODI QUANTITATIVI PER LA RICERCA 2020/21 AGNESE VITALI - DIDATTICA ONLINE

Ripasso III e distribuzioni
 di probabilità
 Metodi Quantitativi per la Ricerca
 2020/21

 Agnese Vitali

Argomenti trattati
• Ripasso: Metodi di analisi descrittiva:
 − Descrivere la variabilità dei dati (seconda parte)

• La Distribuzione di Probabilità Normale

• Lo z score

Ripasso di alcune misure di statistica
descrittiva

Misure di variabilità
• Campo di variazione (range)
• Deviazione standard
• Scarto interquartile

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Deviazione standard (campionaria)
• La standard deviation (s) misura l’ammontare
 medio della deviazione dalla media da parte di una
 osservazione campionaria
 Deviazioni di ciascuna

 s =
  (x i − x) 2
 osservazione xi dalla media ҧ

 n −1
• Il quadrato della deviazione standard è chiamato
 varianza

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Proprietà della deviazione standard

• s≥0
• Se s è grande, la variabilità intorno alla media sarà grande.
• Se s è piccolo, le osservazioni sono concentrate intorno alla media.
• s = 0 solo quando tutte le osservazioni hanno lo stesso valore.
• E’ uno stimatore della standard deviation della variabile misurata
 sulla popolazione, espresso con .

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Quartili e altri percentili

• Il p-esimo percentile è il valore nella distribuzione al di
 sotto del quale ricade il p% delle osservazioni e al di sopra
 del quale ricade il (100 - p)% delle osservazioni.

• Abbiamo già incontrato un percentile, quale?

• La mediana, 50mo percentile

Quartili e altri percentili

✓ I quartili vengono definiti attraverso il 25-esimo e il 75-esimo percentile.

✓ Insieme alla mediana, i quartili dividono la distribuzione in quattro parti
ciascuna delle quali contiene un quarto delle osservazioni.

© 2009 Pearson Paravia Bruno Mondadori S.p.A.

Box Plot: rappresentazione grafica di cinque
 misure di posizione

 ✓ La differenza fra il primo e il terzo quartile è chiamata scarto interquartile e viene indicata
 con IQR (Inter Quartile Range).
 ✓ La mediana, i quartili, il massimo e il minimo sono cinque misure di
 posizione spesso impiegate congiuntamente per descrivere la centralità e la variabilità di una
 distribuzione.
 ✓ Con un software statistico è stato ottenuto il seguente report riferito alla distribuzione dei
 tassi di criminalità USA:
 100% Max 79.0
 75% Q3 51.0
 50% Med 36.5
 25% Q1 27.0
 0% Min 8.0
 ✓ I cinque numeri forniscono una semplice descrizione dei dati e li chiameremo sintesi-a-
 cinque-numeri.

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✓ Essi sono anche gli elementi base di una rappresentazione grafica chiamata
 box plot.
 ✓ Il box (scatola) contiene il 50% centrale della distribuzione, dal primo al terzo
 quartile.
 ✓ La mediana è rappresentata da una linea che attraversa il box.
 ✓ Le linee che si estendono a partire dalla scatola sono chiamate whiskers e
 vanno fino al massimo e fino al minimo a meno che nella distribuzione siano
 presenti osservazioni outlier.

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Boxplots

• Utili per mostrare la distribuzione di varibili continue –
 in particolare per confrontare due o più gruppi

 Source: Hill, H and Choi, Y (2006) Neonatal mortality in the developing
 world. Demographic Research, 14(18)

Outlier

 ✓ I box plot sono degli strumenti efficaci anche per identificare le osservazioni
 outlier.
 ✓ Definizione di outlier (valore anomalo):
 Un'osservazione viene definita outlier se ricade a più di
 1.5(IQR) al di sopra del terzo quartile oppure a più
 di 1.5(IQR) al di sotto del primo quartile.

 ✓Se nella distribuzione non sono presenti outlier, i whisker del box plot si estendono
 fino alle osservazioni massima e minima.

 ✓ Se ci sono outlier, i whisker si estendono fino all'osservazione che è compresa
 entro 1.5(IQR) oltre i quartili; gli outlier sono indicati separatamente nel grafico.

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• Distribuzioni di Probabilità

Probabilità come lunga serie di frequenze relative

 ✓ Per un campione casuale, la probabilità di un’osservazione è la
 proporzione di volte in cui essa dovrebbe verificarsi in una lunghissima
 sequenza di osservazioni

 ✓ E’ la frequenza relativa (proporzione) che indica quanto frequente è
 quella particolare osservazione rispetto a tutte le altre.

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Distribuzioni di probabilità per variabili discrete

 ✓ L'insieme di tutti i possibili valori di una variabile e le corrispondenti
 probabilità definiscono la distribuzione di probabilità.

 ✓ Se la variabile è discreta, ciascun valore y ha una probabilità P(y)
 di verificarsi, per cui:
 1. 0  P(y) 1;
 2.  tuttiy P(y) = 1.

 ✓ Ad es., si consideri
  il lancio di un dado i cui valori che è possibile
 osservare sono gli interi da 1 a 6.
 1
 ✓ Ciascun valore y =1,2,3,4,5,6 ha la stessa probabilità di verificarsi P(y) = 6

 

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✓ Consideriamo la seguente distribuzione di probabilità riferita alla
 variabile numero ideale di figli:

 ✓ Graficamente:

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Distribuzioni di probabilità per variabili continue

 ✓ Le variabili continue assumono infiniti valori nell'intervallo considerato

 ✓ In pratica, tra due valori, anche molto vicino tra loro, vi sono infiniti
 altri valori.

 ✓ Le distribuzioni di probabilità di variabili continue, quindi, assegnano
 probabilità a intervalli di numeri.

 ✓ La rappresentazione grafica sarà, quindi, una curva.

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Distribuzioni di probabilità per variabili continue

• L’area sottesa alla curva è pari a 1.

• La proporzione dell’area sotto la curva compresa tra due
 punti può essere calcolata e sarà un numero compreso tra 0 e 1

• La proporzione dell’area sotto la curva compresa tra due
 punti = probabilità che un'osservazione ricada tra quei due
 valori

✓ Calcoliamo la P(y > 45), cioè la probabilità di impiegare più di 45
 minuti per raggiungere il posto di lavoro.

 ✓ Il grafico evidenzia la porzione di area corrispondente alla probabilità cercata.

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La Distribuzione di probabilità Normale

• Forma a campana, distribuzione tipica di molte
 variabili continue

 Simmetrica rispetto alla media

• Estremamente importante in statistica. Perchè?

• In parte perchè molte varibili continue hanno una
 distribuzione di frequenze che ha una forma
 approssimativamente normale, ad es: peso, altezza, indice di
 massa corporea

• Inoltre per via del Teorema del Limite Centrale (TLC) –
 vedi poi

Propertietà della Distribuzione Normale

• Tanti tipi di distribuzioni Normali – ognuna definita da
 due parametri: la media () e la standard deviation ()

• Stessa forma a campana – ma alcune sono alte e strette
 (piccola ), alter corte e grasse (grande )

• La simmetria implica che metà dell’area sottesa alla
 curva normale cade sopra la media, e l’altra metà cade
 sotto la media (e che media = mediana)

• L’area totale sottesa alla curva è pari a 1.

• La proporzione dell’area sotto la curva compresa tra due
 punti può essere calcolata e sarà un numero compreso tra 0 e 1

• La proporzione dell’area sotto la curva compresa tra due
 punti = probabilità che un'osservazione ricada tra quei due
 valori

• La probabilità che un'osservazione ricada all'interno di un
 intervallo definito dalla media più o meno un certo numero di
 deviazioni standard è la stessa per tutte le distribuzioni
 normali

Area sotto la curva Normale
 95.4%

 68.2%
 68.2% delle osservazioni
 cade a distanza di una SD
 dalla media (sia adestra che
 a sinistra)

 95.4% cade a due SD dalla
 media
 2.3% 2.3%

 la quasi totalità (99.7%)
 cade a tre SD dalla media

Esercizio: Quale % dell’area cade tra la
media e 2 SD alla destra della media?

 2.3% 2.3%

Esercizio: Quale % dell’area cade tra la
media e 2 SD alla destra della media?

 13.6+34.1 = 47.7%

 (Oppure 95.4 / 2)
 2.3% 2.3%

Distribuzione dell’altezza per
uomini e donne

• Per gli uomini: μ=178.4 cm e
 σ=7.59 cm

• Per le donne: μ=164.7 cm e
 σ=7.07 cm

 https://ourworldindata.org/human-height

• Poiché l’altezza ha una distribuzione Normale, possiamo calcolare il range in
 cui cade l’altezza del 68% degli uomini e delle donne

• Ricorda: Il 68% delle osservazioni ricade tra μ+σ e μ- σ

• Per gli uomini:
 • μ + σ =178.4 + 7.59 = 170.81
 • μ - σ = 178.4 - 7.59 = 185.99

• Range (approssimando): (171; 186)

Esempio:
Tempo di attesa per trovare il primo lavoro a
tempo indeterminato dopo la laurea

 • Il tempo di attesa medio per trovare lavoro
 dopo la laurea è di 18 mesi con una SD di 7
 mesi.

 • I dati sono normalmente distribuiti.

 • Qual’è la probabilità che si debba
 aspettare almeno 32 mesi?

• 32 è 2 SD sopra la media (32 – 18 = 14 = 2 x 7; o 18+7+7)

• Quindi la probabilità di aspettare almeno 32 mesi per il primo
 lavoro a t.i. dopo la laurea è pari a 2.3%

 2.3% 2.3%

• Qual’è la probabilità che si debba
 aspettare almeno 23 mesi?

• 23 non è multiplo di 7, che facciamo?

• Prima di procedere…

Standardizzare i dati

• Possiamo standardizzare i dati calcolando lo
 z-score. Per un’osservazione x lo z-score è

 x − media
 z =
 SD

• Nota: Per costruzione, la media dello z-score
 è 0 e la deviazione standard è 1

• lo z-score ci dice a quante deviazioni standard
 x − media
di distanza dalla media cade un’osservazione z =
 SD

• Per esempio, uno z-score di +1 indicata che
l’osservazione cade a una SD dalla media

• Nell’esempio preceente: • Il tempo di attesa medio per trovare lavoro dopo
 la laurea è di 18 mesi con una SD di 7 mesi.
 32 − 18 • I dati sono normalmente distribuiti.
 z =
 7
 = 2
 • Qual’è la probabilità che si debba
 aspettare almeno 32 mesi per trovare
 lavoro dopo la laurea?

• Perchè standardizzare?

• Se i dati sono normalmente distribuiti, lo z-score ha
una Distribuzione Normale Standard con media
=0 e SD=1

• Importante perchè:
 ➢ la Distribuzione Normale Standard è tabulata.

Cf Appendice Tavola A libro

 Tavola della
 Normale Standard

 I valori in tabella ci dicono
 qual’è l’area a destra di un
 punto che si trova z
 deviazioni standard sopra la
 media

Torniamo all’esempio…

 • Qual’è la probabilità che si debba
 aspettare almeno 23 mesi per trovare
 lavoro dopo la laurea?
 Normal distribution curve

 Quest’area
 probabilities

 rappresenta la
 probabilità
 che cerchiamo

 18 23

Step 1:
Calcola lo z-score corrispondente a 23:
 23 − 18
 z =
 7 = 0.71

Step 2:
Dalla tavola della distribuzione Normale standard:
Proporzione > 0.71 = 0.2389
 0.24 probabilità di aspettare almeno 23 mesi.

Step 2:
Dalla tavola della distribuzione Normale standard:
Proporzione > 0.71 = 0.2389
 0.24 probabilità di aspettare almeno 23 mesi.

Altri usi dello Z-Score
• z-score può essere usato per:

 ➢ Confrontare dati provenienti da due diverse
 distribuzioni
 ➢Esempio:
 ➢voto di Marco in MQR = 25; voto di
 Maria in sociologia della famiglia= 26
 ➢Chi ha fatto meglio all’esame rispetto al
 resto della classe?

 ➢Identificazione di outliers

Altri usi dello Z-Score
• z-score può essere usato per:

 ➢Identificazione di outliers:

 Z < -2 or Z > +2
 Inusuale – ma ci aspettiamo 5% del campione
 si comporti così

 Z < -3 or Z > +3
 Outlier – estremo

Letture
• Agresti – Finlay:

 − Capitolo 3, paragrafi 3.3, 3.4, 3.6 e 3.7
 − Capitolo 4, paragrafo 4.1 (escluso «Leggi probabilistiche di base»), 4.2,
 4.3