Per capire i SOLIDI e le loro proprietà - Proprietà fisiche dei SOLIDI Forze che tengono insieme atomi: legame chimico tra atomi

Per capire i SOLIDI e le loro proprietà

  Forze che tengono insieme atomi:
 legame chimico tra atomi
  Ordine strutturale nel solido

 Elettroni
Proprietà fisiche dei SOLIDI
 Nuclei (ioni,
 core)

 In prima approssimazione possiamo disaccoppiare i due moti

Proprietà determinate dagli ELETTRONI

  Conducibilità elettrica e termica
  Proprietà ottiche
  Magnetismo

Proprietà legate al moto dei nuclei (ioni)
intorno alla loro posizione di equilibrio

  Velocità del suono
  Proprietà termiche (calore specifico, espansione termica,
 conducibilità termica nei semiconduttori e negli isolanti)

  Proprietà meccaniche

Proprietà elettriche dei materiali

 Che relazione c’è tra corrente elettrica e moto degli
 elettroni?
 Conduttore elettrico: elettroni liberi di muoversi
 = 
 deve essere applicata una ddp V perché ci possa essere
 una corrente elettrica ovvero un flusso di carica
 nell’unità tempo, attraverso una sezione S di
 conduttore, normale alla direzione del flusso

 =  =  Ԧ = 

 vt  c  300 x106 m/s = = 
 ve  106 m/s
 vd  mm/s

Non tutti gli elettroni presenti in ogni
 atomo vengono accelerati per effetto di un C

 campo elettrico esterno

 La conducibilità dipende dal tipo
 di legame chimico fra gli atomi,
la composizione del materiale e la temperatura

 densità degli elettroni in grado di muoversi

 RT

Orbitali più esterni (elettroni di valenza)
 interagiscono

 - Più grandi in estensione
 - Meno legati al nucleo

 Due nuovi livelli energetici :
 PIENO e VUOTO

La separazione in energia tra i livelli
dipende dalla distanza tra gli atomi

Gli atomi sono posti l’uno rispetto all’altro
a distanze comparabili con l’estensione La sovrapposizione può essere così estesa
spaziale degli (alcuni) orbitali, che gli elettroni non possono essere più
che si sovrappongono e interagiscono considerati localizzati sui propri atomi, ma
 estendersi su tutto il solido

 Tanti livelli energetici
 quanti sono gli atomi

 Sempre più vicini

 Bande di energia

Shell parzialmente piene Shell piene Shell parzialmente
[..]ns1 o [..]ns2 [..]ns2np6 o piene
Effetti di ibridizzazione tra bande [...](n-1)d10ns2np6 [..]ns2np2
come le s e p (elettrone libero) e
quelle tendenzialmente locali, Cristalli Legami covalenti
originate da orbitali di tipo d o f molecolari
 o ionici s cresce al
(metalli nobili (s incompleta e d crescere di T
piena, fcc) o metalli di transizione s

Shell parzialmente piene Shell piene Shell parzialmente
[..]ns1 o [..]ns2 [..]ns2np6 o piene
Effetti di ibridizzazione tra bande [...](n-1)d10ns2np6 [..]ns2np2
come le Corrente elettrica: Un
 s e p (elettrone elettrone
 libero) e per diventare libero e sentire l’effetto di
quelle untendenzialmente
 campo elettrico applicato
 locali, deveCristalli
 essere portato ad E> EFLegami covalenti
 IN GENERE
originate EFFETTI TERMICI MA, NEI SEMICONDUTTORI
 da orbitali di tipo d o f Molecolari SOPRATTUTTO, ANCHE
 INTERAZIONE CON RADIAZIONE E.M. o ionici s increases with
(metalli nobili (s incompleta e d T increasing
piena, fcc) o metalli di transizione s

pi2 PI2 e2 zIzJe2
H tot= ∑ 2m
 + ∑I 2M + ∑i V nucl(ri) + ½ ∑ij + ½ ∑IJ
 i
 I |ri- rj| |RI- RJ|

Periodicità perfetta è un’idealizzazione

SOLIDI REALI

• Contengono impurità

• Esiste una probabilità che dipende da
 T di trovare ioni mancanti o spostati nel reticolo
• Gli ioni non sono stazionari, ma sono continuamente soggetti a
 vibrazioni termiche intorno alla loro posizione di equilibrio (onde
 reticolari)

 ad es. Conducibilità elettrica nei metalli non è infinita

P. Drude (inizio del ‘900)
propone un modello per spiegare una serie di osservazioni
sperimentali:

- la legge di Ohm e la conducibilità nei metalli
- la loro conducibilità termica
- l’effetto Hall
- la capacità riflettente delle superficie metalliche pulite
- introduce le oscillazioni di plasma

 ALTA UTILITÀ DIDATTICA:
  dà il senso del procedere della conoscenza
  dà il senso della necessità di un confronto costante tra osservazioni
 sperimentali e interpretazione teorica
  porta ad alcuni insuccessi e lascia domande aperte  stimolo a cambiare
 ottica (meccanica quantistica)

 La Teoria di Drude (1900) è la «summa teologica» delle conoscenze fino ad allora.
 È una teoria classica  spiega molti comportamenti macroscopici dei metalli.
 In particolare per lo studio delle proprietà ottiche :
 MALGRADO L’APPROCCIO «SEMPLICE»:
  SPIEGA L‘ALTA RIFLETTIVITÀ DEI METALLI NEL ROSSO E NELL’INFRAROSSO
 E LA TRASPARENZA DI MOLTI NELL’ULTRAVIOLETTO
  FORNISCE STIME DELLE COSTANTI OTTICHE, NON RAFFINATE,
 MA TUTTORA VALIDE

PUNTI DI PARTENZA :
- Teoria cinetica dei gas
- Esistenza degli elettroni (Thomson, 1897)

IPOTESI:
1) Metallo : elettroni liberi di muoversi + cariche positive fisse –> carica complessiva
 neutra
 Z elettroni di valenza in atomi -> Z elettroni di conduzione per atomo
 (Za- Z) Elettroni di core -> (Za-Z) elettroni intorno ai nuclei , carica ioni (+ Ze)

 N r 
 = = (cm-3)
 
N numero di Avogadro (numero di atomi/mole)
rm densità mezzo (g/cm 3)
A massa atomica (g/mole)

n  10 22 el/cm3 (da 0.92 1022 Cs a 24.7 1022 Be)
 3
1/n = V/N = r rs = 1-4 Å o 2-3 aB (in unità di aB = 0.529 Å)
 s
 metalli alcalini anche 3-6 aB

IPOTESI:
2) - Elettroni non interagiscono tra loro (Approssimazione elettrone indipendente) OK
 - Elettroni non interagiscono con gli ioni (Approssimazione elettrone libero) NO
 - Uniche forze: quelle impulsive durante la collisione
 - In assenza di campi esterni, moto rettilineo uniforme
 - In presenza di campi esterni, soggetti alle leggi di Newton

3) Collisioni: eventi istantanei che cambiano la velocità repentinamente
 Per Drude: collisioni con ioni NO, ma non rilevante

4) probabilità collisione nell’unità di tempo : 1/t
 t = tempo di collisione, tempo di rilassamento, tempo libero medio
 dt/t = probabilità di collisione in un tempo dt
 t : indipendente dalla posizione dell’elettrone e dalla sua velocità Buona, ma non sempr

5) Elettroni raggiungono l’equilibrio termico con i loro vicini attraverso le collisioni:
 con l’urto, l’elettrone perde ogni memoria della sua velocità precedente
 assume velocità correlata alla temperatura del punto dell’urto

CONDUCIBILITA’ ELETTRICA IN CORRENTE CONTINUA:
CAMPO uniforme e costante nel tempo
 I Legge di Ohm per i metalli
 V=RI
 R = Resistenza, dipende da geometria del conduttore e dal materiale

 Legge di Ohm
 = r Ԧ Densità di corrente
 Vettore parallelo al verso della
 corrente I
 Modulo: Quantità di carica che,
 E= = nell’unità di tempo, passa attraverso
 
 una sezione S del filo normale alla
 
 R= direzione del flusso
 
 r resistività, Ԧ = s s conducibilità
dipende solo dal materiale del materiale

S
 Carica che è contenuta
 nel volume (S vdt)
 EQUIVALE
 vdt
 dq = (-ne) (vdt S) al flusso della carica che
 nel tempo dt attraversa
 la superficie S

j = carica che nel tempo unitario, attraversa superficie unitaria

 Ԧ = − 
 Velocità elettronica media

 Ԧ = − ma quale?

Modello di Drude :
 
 Singolo i-simo elettrone: = − 
 
 v
 = + 
 vD

 < > = 0 vT
 t1 t2 t3
 t
 t = 
 =< > = − = 
 
 Ԧ = = = 
 
 È formalmente
 E’ la legge di Ohm!!! vera!!!

 . 
 = = = = = 10-14 sec
 
 = 10-14 - 10-15 sec RT
 Resistività in microohm x cm
 l = libero cammino medio in
 assenza di 
 Principio equipartizione
 energia classico = / 

 l = 1-10 Å

  A temperatura ambiente: fattore 10 maggiore
  A basse temperature : t fattore 10 maggiore,
 indipendente da T
 l = 10 3 Å o maggiore

Onda associata all’elettrone si propaga nel reticolo periodico
Ogni variazione della periodicità origina diffusione dell’elettrone resistività

Periodicità perfetta è un’idealizzazione
SOLIDI REALI
• Contengono impurità o elementi di lega
• Esiste una probabilità che dipende da
 T di trovare ioni mancanti o spostati nel reticolo
• Gli ioni non sono stazionari, ma sono continuamente soggetti a
 vibrazioni termiche intorno alla loro posizione di equilibrio (onde
 reticolari)
 = + 
 Deformazione plastica
 Ad alte T Impurezze
 = ( + ∆ )

  Metalli puri 0

A T=0K
la banda di conduzione e quella di valenza si
sovrappongono leggermente

Bi, grafite, Sb, As

Produce una piccola densità di lacune in banda di
valenza e piccola densità di elettroni in banda di
conduzione conducibilità non nulla a oK

n = 1017-1021 el/cm3 (Cu 1023 el/cm3)

Conducibilità aumenta con T

 
 ൗ 
  / −
 Intrinseci

RT

 Ԧ = + 

Dipende dalla mobilità degli elettroni e da quella delle lacune
ovvero dalla facilità con cui elettroni e lacune vengono trasportati attraverso il cristallo
1) Vibrazioni termiche: ∝ − / 
2) Atomi di impurezza : ∝ − / 

 Caso del Si

 RT

 MISURE DI EFFETTO HALL

Equazione del moto dell’elettrone in un metallo di Drude
 in presenza di campi esterni 

 =− + 
 
 = 
 quantità di moto Termine di smorzamento (attrito)
 o momento dell’elettrone effetto delle collisioni

APPLICAZIONI
 Campo magnetico non dipendente dal tempo
 (effetto Hall e magnetoresistenza)
 Campo elettrico variabile nel tempo
 (riflettività dei metalli, oscillazione di plasma)

Equazione del moto dell’elettrone in un metallo di Drude
 in presenza di campi esterni 

 =− + 
 
 + = − + + 
 
Momento dell’elettrone al tempo t + dt
 in assenza di collisioni nel tempo dt

 + − = − + + 
 

EFFETTO HALL e MAGNETORESISTENZA (1879)
 z Esperimento di Hall
 y
 H
 x

 ++++++++++++++++
 Ey
Ex ----------------------- jx

 Si osservano:

 Campo Ey ; jy = 0 =
 
 Magnetoresistenza =
 

Moto elettrone in campo magnetico uniforme H
 normale alla sua velocità 

 y

 
 z
 x

 = − × Forza di Lorentz
 
 Equazione di moto circolare uniforme
 
 con velocità angolare =
 
 pulsazione di ciclotrone

 nc = frequenza di ciclotrone

Modello di Drude :
 H z
 y
 x
 ++++++++++++++++
 Ey
 Ex ----------------------- jx

 =− − - × è il momento medio
 
 Condizioni stazionarie = + 
 Proietto sugli assi x,y
 Moltiplico membro a membro per –ne/m = - + 

 =
 − 

Modello di Drude :
 B z
 y
 x
 ++++++++++++++++
 Ey
 Ex ----------------------- jx
 Non dipende
 dal campo H !
 Imponendo = 0
 
 = + = = = = 
 
 = - + 
 In realtà r leggero aumento con H:
 Metalli alcalini : per H medi-alti -> tende a un valore
 costante
 = = =−
 Metalli nobili : per H medi-alti -> tende a un valore
 costante solo per certe orientazioni del cristallo
 Metalli come Bi, Sb : r aumenta con H sempre

Modello di Drude : Metallo Valenza -1/RH nec
 z
 H y
 x

 ++++++++++++++++
 Ey
 Ex ----------------------- jx

 = = = = = 
 
 = - 
 In realtà :
 Metalli alcalini : per H medi-alti -> ok
 Metalli nobili : per H medi-alti ->  ok
 = = =− Metalli come Al, Mg, Be, In: > 
 
 = / 
 
 =−
 

Modello di Drude :
 z
 H y
 x

 ++++++++++++++++
 Ey
 Ex ----------------------- jx

 = = = = = 
 
 = - 
 Semiconduttori: segno di definisce
 portatore maggioritario di carica
 
 = = =− Intrinseci:
 − 
 =
 − 
 =−
 

Isolanti elettrici a RT
 Eg>2 eV

Ceramici ionici

 = + A ciascuno ione è associata una mobilità
 
 = 
 
Isolanti anche ad alte T nI valenza dello ione, DI coefficiente di diffusione

Cattivi conduttori elettricità  pochi elettroni disponibili per la conduzione

 Polimeri conduttori : conducibilità  1.5 x 107 (W m)-1
 Rispetto al Cu
 • ¼ la conducibilità per unità di volume
 • 2 volte la conducibilità per unità di peso del Cu
Poliacetilene
Poliparafenilene
 Alternanza legami singoli e doppi e/o unità
Polipirrolo
 aromatiche nella catena polimerica
Polianilina
 ELETTRONI DELOCALIZZATI
 STRUTTURA A BANDE DI UN ISOLANTE A T=0K TUTTI
 ELETTRONI IN BANDA DI VALENZA

 DROGAGGIO (I, ASF5, SBF5) LI RENDE CONDUTTORI:
 NUOVE BANDE CHE SI SOVRAPPONGONO A QUELLE DEL
 POLIMERO -> BANDA PARZIALMENTE PIENA A RT

Estremamente flessibili per la bassa densità -> elettrodi e tutta la componentistica
elettronica che non deve essere sottoposta a T troppo elevate

Radiazione elettromagnetica

 Tutte le radiazioni e.m. viaggiano
 nel vuoto con velocità pari a
 c = (e0m0)-1/2
 c = ln

 n: frequenza dell’onda e.m.
 l: lunghezza d’onda dell’onda e.m.
 Radiazione e.m. come composta
 da gruppi o pacchetti di energia:
 fotoni
 E(eV) = hn = hc/l = 1240/l(nm)

 h = 6.63 10-34 J s

Interazione radiazione e.m. con gli atomi e gli elettroni
Sperimentalmente:
quando la luce interagisce con un materiale solido essa viene
- Riflessa
- Assorbita
- Trasmessa
 I0 = IR + IA+ IT

I (Watt/m2) = energia trasmessa nell’unità di tempo attraverso superficie unitaria
normale alla direzione di propagazione

 1 = R +A +T
 Riflettività, Assorbività, trasmissività

Mezzi trasparenti = trasmettono la luce con assorbimento e riflessione relativamente
piccoli
Materiali traslucidi = la luce viene trasmessa in modo diffuso, viene diffusa
dall’interno, se vedo attraverso questi gli oggetti non sono ben distinguibili
Materiali opachi = tutta la luce viene assorbita o riflessa, non posso vedere attraverso

 ISOLANTI E SEMICONDUTTORI  POSSONO ESSERE ANCHE TRASPARENTI
METALLI  OPACHI

TEORIA MACROSCOPICA DELLE COSTANTI OTTICHE
 IN UN MEZZO OMOGENEO (1)

 EQUAZIONI DI MAXWELL (in unità di Gauss)

 ∙ = ∙ = = 
 ൞ ൞ Ԧ = 
 × =− × = Ԧ +
 
 × × =− =− Ԧ +
 
 Cerchiamo soluzione del tipo: = , − 

 Assumendo che: Ԧ = Ԧ , − 
 con Ԧ , = , 

 − , = + , 
 

TEORIA MACROSCOPICA DELLE COSTANTI OTTICHE
 IN UN MEZZO OMOGENEO (2)

 Tipica equazione delle
− , = + , onde in 3D
 
 con soluzione

 , = ( ∙ 
 )

 dove
 = ℵ = + 
 = ℵ = 
 costante 
 dielettrica ℵ ∶ Indice di rifrazione
 complessa complesso

 Coefficiente di estinzione
ℵ = + 
 Indice di rifrazione

TEORIA MACROSCOPICA DELLE COSTANTI OTTICHE
 IN UN MEZZO OMOGENEO (3)

 = , − 
 ෝ 
 x = , − 
 ෝ 
 z Τ
 y velocità della luce
 nel mezzo

 ℵ 
 , = ( ) = ( − )
 è reale!
 L’onda, nel mezzo,
 Profondità viene attenuata
 pellicolare = 
 Assorbimento di
 energia e.m.
 , ∝ , ∝ − 

Onda e.m. incidente normalmente sulla superficie di un mezzo isotropo
 Er = 
SPAZIO VUOTO MEZZO ISOTROPO
 Et = + 

 Ei z ℵ = − 

 = 

 Riflettività ad incidenza normale
 
 −ℵ − 
 = = =
 +ℵ + 

CONDUCIBILITA’ ELETTRICA DI UN METALLO DI DRUDE
PER UN CAMPO ELETTRICO UNIFORME OSCILLANTE NEL TEMPO
 
  Teoria di Drude  =− + 
 
  La forza esterna è dovuta al campo  = − 

  Cerchiamo una soluzione del tipo:
 
 = − − = − 
 
  Inoltre, poiché:
  Inserendo … 
 Ԧ = − = Ԧ − 
 
 − = − − 
 
  e moltiplicando membro a membro per − Τ
 
 Ԧ = =
 − − 

PROPAGAZIONE DI UN’ONDA E.M. IN UN METALLO

 , = , ∙ −  

 , = , ∙ − ( , ) 

In presenza di una radiazione e.m. 
 ~ ≤ − 
 
 =− − − × 
 
Campo non varia troppo nello spazio di
 
un libero cammino medio se: l ~ ≫ Verificato in un metallo dalla
 
 luce visibile e infrarossa
 λ (> 400 nm) ≫ (~ 10 )

 , = , 

CALCOLO DELLE COSTANTI OTTICHE ATTRAVERSO LA TEORIA DI DRUDE

 = + = + = − 
 − 

 = − =
 + ( + )
 
 = Frequenza di plasma
 
 Quanto vale ?
 Per 0.9 < n (1022 cm-3) < 24 .7
 ђ  3 – 17 eV

 Radiazione
 ≫ ≫ Hz ђ ≫ . UV, Vis, IR
 
 = − = 
 

CALCOLO DELLE COSTANTI OTTICHE 4

 2 ћwp = 3 eV
 = − =
 0

 -2

 w < wp
 -4
Regione Vis e IR -6

 -8

 ℵ ≈ < -10

 -12
 
 ≈ − molto elevato! -14

 1 2 3 4 5 6

 Profondità pellicolare 10 -100nm ђ 
 1.0

 0.8
 −ℵ 
 = = 
 0.6
 +ℵ
 0.4

 0.2

 0.0
 1 2 3 4 5 6

 ђ 

CALCOLO DELLE COSTANTI OTTICHE 4

 ћwp = 3 eV
 =
 2
 = −
 0

 -2

 w < wp
 -4
Regione Vis e IR -6

 -8

 ℵ ≈ < -10

 -12
 
 ≈ − molto elevato! -14

 1 2 3 4 5 6
 Profondità pellicolare 10 -100nm ђ 
 1.0

 Regione UV w  wp e w > wp 0.8
 −ℵ 
 = =
 → 
 ℵ ≈ > 
 0.6
 +ℵ
 0.4

 ℵ ∈ → ≈ 0.2

 l’onda e.m. si trasmette nel
 0.0
 mezzo, senza venir assorbita 1 2 3 4 5 6

 ђ 

TEORIA DI DRUDE delle PROPRIETÀ OTTICHE DEI METALLI
 Spiega perché alcuni metalli (gli alcalini, soprattutto) sono trasparenti alla
 radiazione UV
 Metallo ђ wp (eV) ђ wp (eV)
 Funziona qualitativamente bene nel Rosso e misurata calcolata
 nell’Infrarosso prevedendo l’alta riflettività Li 7.12 8.04
 dei metalli e l’andamento corretto di Na 5.85 6.05
 ∝ − ∝ − K 3.72 4.39
 Dà indicazioni del perché i metalli Rb 3.97 3.44
 riflettono la luce visible Mg 10.6 10.9
 Al 15.3 15.8
 È estendibile a modelli macroscopici
 Non spiega perché l’Ag e l’Au, pur avendo lo stesso n, riflettono la luce con
 lunghezze d’onda diverse n Au = 5.90 1022 el/cm3, nAg = 5.86 1022 el/cm3
 Raramente è sufficiente per spiegare
 quantitativamente le osservazioni
 sperimentali

 ђ ~ 

Metalli – gas di elettroni liberi
 
 = − − Moto di un elettrone
 
 Moto collettivo di N elettroni che 
 ሷ + ሶ = − si spostano per effetto di un =
 
 campo esterno
 +neu -neu
 + - ( ) = ( ) = ( )
 + -
 + - 
 + - (− − ) = 
 
 + -

 N elettroni u

 / 
 = + = + = − = − 
 − − + − 

Funzione dielettrica per Isolanti e Semiconduttori

 = 
 
 costante dielettrica
 
 = 
 
 = = ( + c) = + S.I.

POLARIZZAZIONE DEL DIELETTRICO
 = = + Unità di Gauss
Processo di formazione e/o
allineamento dei dipoli presenti − 
 = 
all’interno del materiale 
 Vettore di polarizzazione
 Momento di dipolo totale per unità di volume

Polarizzazione elettronica

 Polarizzazione ionica
 pi = q di

 Polarizzazione per orientamento
 È in competizione con le vibrazioni
 termiche, diminuisce all’aumentare di T

Dipendenza dalla frequenza della costante dielettrica

 Se la sollecitazione esterna è
 campo e.m. o campo elettrico in corrente
 alternata ad ogni inversione di direzione del
 campo, i dipoli cercano di riorientarsi con il campo

 Processo richiede un certo tempo
 Tempo minimo di riorientazione, TR
 Frequenza di rilassamento nR = 1/TR

 Se n > nR dipolo non riesce a riorientarsi,
 il dipolo non riesce a seguire
 Non contribuisce alla funzione dielettrica

 Campi elettrici alternati 60 Hz-106 Hz
 ENERGIA DEL CAMPO ELETTRICO PUÒ ESSERE IMMAGAZZINATA DAL MATERIALE
 PERDITA DIELETTRICA
Elevata a frequenze del campo vicino alla frequenza di rilassamento di ogni dipolo attivo.

Rigidità dielettrica

 Se applico campi elettrici molto elevati
 molti elettroni promossi da banda di valenza a banda di conduzione

 Imponenti correnti scarica disruptiva del dielettrico

 Rigidità dielettrica massimo campo E sopportabile dal dielettrico prima di
 avere la scarica.

Ferroelettricità

 Materiali che presentano polarizzazione spontanea  ovvero
 in assenza di campo elettrico applicato

 Esistenza di dipoli permanenti

 BaTiO3 @RT
 Cella unitaria
 tetragonale

 BaTiO3 @T >120°C
 Cella unitaria
 perovskite cubica

 Temperatura
 ferroelettrica di Curie

 Costanti dielettriche molto elevate anche a frequenze di campo elettrico basse

Piezoelettricità
Elettricità per pressione 
sottoponendo materiale a forza
esterna si induce in esso una
polarizzazione  un campo elettrico

 Trazione-Compressione
 Invertono il verso del campo elettrico

 Trasduttori: dispositivi che convertono energia elettrica in meccanica e viceversa

 Fonorivelatori, microfoni, BaTiO3, PbTiO3 , fosfato acido di
 altoparlanti, allarmi, ammonio, quarzo
 visualizzatori di ultrasuoni
 Strutture cristalline complesse con
 basso grado di simmetria

 Comportamento piezoelettrico si può migliorare portando il materiale sopra la T
 di Curie e quindi riportandolo a RT in presenza di un intenso campo elettrico

Dipendenza dalla frequenza della funzione dielettrica

 Se la sollecitazione esterna è
 campo e.m. o campo elettrico in corrente
 alternata ad ogni inversione di direzione del
 campo, i dipoli cercano di riorentarsi con il campo

 Processo richiede un certo tempo
 Tempo minimo di riorientazione, TR
 Frequenza di rilassamento nR = 1/TR

 Se n > nR dipolo non riesce a riorientarsi,
 il dipolo non riesce a seguire
 Non contribuisce alla funzione dielettrica

 Campi elettrici alternati 60 Hz-106 Hz
 ENERGIA DEL CAMPO ELETTRICO PUÒ ESSERE IMMAGAZZINATA DAL MATERIALE
 PERDITA DIELETTRICA
Elevata a frequenze del campo vicino alla frequenza di rilassamento di ogni dipolo attivo.

Campo elettrico esterno oscillante
 Supponiamo che il sistema (due sottoreticoli ionici, vibrazioni di molecole che
 posseggono momento di dipolo,nucleo-elettrone…) sia assimilabile ad un
 oscillatore armonico per cui uno spostamento u dalla posizione di equilibrio
 produce un momento di dipolo
 = ∗ 
 Carica elettronica effettiva, non
 ∗
 necessariamente uguale a quella
 ሷ + ሶ = − + 
 responsabile del dipolo statico
 Massa ridotta
Polarizzabilità elettronica

 ( ) = ∗ 

 ∗
 
 ( − − ) = 
 
 = ∗ 
 ∗ / 
 = = +
 ∗ / 
 = + = + 
 − − ∞ = ∞ = 

 ( ∞)
 = ∞ + 
 − = + 
 − − 
 + = + / 

 Assorbimento di energia e.m. in
 corrispondenza alla frequenza di oscillazione
 propria dell’oscillatore armonico

 Nel vetro la frequenza di oscillazione propria
 giace nell’UV quindi è trasparente per luce
 visibile….
 Cambia il cammino ottico a causa della
 polarizzazione elettronica : dimensione
 atomi/ioni costituenti, più grandi sono
 maggiore è la polarizzazione 
 /
 = 

Campo elettrico esterno oscillante
 Supponiamo che il sistema (due sottoreticoli ionici, vibrazioni di molecole che
 posseggono momento di dipolo,nucleo-elettrone…) sia assimilabile ad un
 oscillatore armonico per cui uno spostamento u dalla posizione di equilibrio
 produce un momento di dipolo
 = ∗ 
 Carica ionica effettiva, non
 ∗
 necessariamente uguale a quella
 ሷ + ሶ = − + 
 responsabile del dipolo statico
 Massa ridotta

 ( ) = ∗ + Polarizzabilità elettronica

 ∗
 
 ( − − ) = 
 
 indipendente da , le frequenze in gioco sono
 minori delle frequenze proprie elettroniche
 = ∗ + 
 
 ∗ / 
 = = + +
 ∗ / 
 = + = + + 
 − − ∞ = ∞ = + 

 ( ∞)
 = ∞ + 
 − = + 
 − − 
 + = + / 

 Assorbimento di energia e.m.
 in corrispondenza alla
 frequenza di oscillazione
 propria dell’oscillatore
 armonico

Riflettività nei non metalli

 − 
 =
 + 

Assorbimento di campo e.m.
Polarizzazione elettronica +
 Transizioni interbanda (nel visibile: in certi metalli,
 semiconduttori, certi isolanti)

 Eph > Eg

 Per assorbimento Materiali con Eg > 3.1 eV
 della luce visibile sono trasparenti alla
 Eg(max) = 3.1 eV radiazione visibile
 1.8 eV < Eg < 3.1 eV  colorati

 Eg(min) = 1.8 eV Materiali con Eg < 1.8 eV sono opachi:
 assorbono tutta la radiazione visibile

Rilassamento dopo l’eccitazione in banda di conduzione

 Emissione di un fotone della stessa energia di Eg per cristalli perfetti
 In presenza di impurezze  livelli energetici entro la gap  energia di
 riemissione dipende dalla posizione di questi e da come avviene il processo
 di rilassamento

Casi reali: es. l’Argento 1) Transizioni interbanda
 intorno ai 4 eV
 2) La funzione dielettrica è una
 composizione di quella
 dovuta alle transizioni
 interbanda e di quella dovuta
 al gas di elettroni liberi

 Riflettività
 sperimentale

Confronto Ag, Cu, e Au
 Assorbiti tutti i fotoni con
 E>  2 eV nel Cu (620nm
 rosso)
 e
 E>  2.3 eV nell’Au (550 nm
 giallo)

 Colorazione:
 Combinazione di
 lunghezze d’onda
 trasmesse e di quelle
 riemesse

Trasmissione

 1) Mezzo molto spesso
 rispetto alla lunghezza
 d’onda della luce
 incidente
 2) Stesso mezzo
 all’interfaccia tra
 superficie di entrata e di
 uscita

 Vetro verde

Al2O3  zaffiro
Colore
 Al2O3 + (0.5-2%) Cr2O3  rubino

 Vetri vengono colorati introducendo ioni di terre rare o di transizione
 quando il vetro è ancora fuso
 Cu2+  blu-verde
 Co2+  blu-violetto
 Cr3+  verde
 Mn2+  giallo
 Mn3+  porpora

Opacità e traslucenza negli isolanti
Dipende dalle riflessioni interne e dalla rifrazione

Opacità : nessun raggio trasmesso senza che abbia subito deflessione

Policristalli con indice di rifrazione anisotropo  bordi grano con diverse orientazioni
cristallografiche e quindi diversi indici di rifrazione  \riflessione e rifrazione

Diffusione della luce : materiali bifasici (fasi con diversi indici di rifrazione) in cui una
fase è finemente dispersa nell’altra  dispersione all’interfaccia

Vetro-ceramici : fasi cristalline e amorfe  trasparenti se dimensioni cristallo simili a
lunghezza d’onda luce incidente e n circa uguali

Pori: disperdono radiazione luminosa

Polimeri: grado di traslucenza dovuto a % di cristallinità. Dispersione luce al confine
tra fasi cristalline ed amorfe (differenza di n).
Polimeri amorfi: trasparenti