Matematica, Cultura e Società
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Matematica, Cultura e Società
R IVISTA DELL’U NIONE M ATEMATICA I TALIANA
Alberto Saracco
Fate il nostro gioco - gioco d’azzardo e matematica
Matematica, Cultura e Società. Rivista dell’Unione Matematica Italiana, Serie 1, Vol. 2
(2017), n.2, p. 157–173.
Unione Matematica Italiana
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Articolo digitalizzato nel quadro del programma
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http://www.bdim.eu/
Matematica, Cultura e Società. Rivista dell’Unione Matematica Italiana, Unione Matematica Italiana, 2017.
Á ± Rivista dell'Unione Matematica Italiana
Matematica, Cultura e Societa
Serie I, Vol. 2, N. 2, Agosto 2017, 157-173
Fate il nostro gioco - gioco d'azzardo e
matematica
ALBERTO SARACCO
Á di Parma
Universita
E-mail: alberto.saracco@unipr.it
Sommario: In questo articolo si usa la probabilita Á per analizzare il gioco d'azzardo e si usa il gioco d'azzardo come
motivazione per parlare di probabilita Á. Vuole fornire uno spunto per presentare la probabilita Á in maniera
laboratoriale interessante per gli studenti delle scuole superiori.
Abstract: In this paper we use probability to analyze gambling and use gambling as a motivation to talk about
probability. It can be used as a starting point to present probability in an interesting laboratorial way to students of
high schools.
1. ± Introduzione manda di beni e servizi e lo Stato incassa meno da
imposte dirette e indirette.
L'Italia eÁ uno dei Paesi al mondo in cui il gioco Insomma il gioco d'azzardo in Italia Áe una piaga di
d'azzardo Áe piu
Á diffuso, il Paese al mondo in cui piu
Á si proporzioni gigantesche. La matematica, e in parti-
gioca con le slot machine. Inoltre 1 gratta e vinci su 5 colare la probabilitaÁ, puoÁ essere utile a combattere
al mondo Áe venduto in Italia. Basti pensare che dal questa piaga, e viene come tale utilizzata in vari
2012 al 2014 ogni anno in Italia sono stati venduti progetti di divulgazione e prevenzione, tra cui cito
gratta e vinci per oltre 9 miliardi di euro l'anno. Fate il nostro gioco (www.fateilnostrogioco.it) della
Nel 2015 sono stati 23 milioni gli italiani che societaÁ Taxi 1729, da cui ho preso in prestito l'effi-
hanno giocato in lotterie, scommesse e slot machine, cace titolo di questo articolo e molti degli aneddoti
spendendo complessivamente 88 miliardi di euro, raccontati (tratti dall'omonimo libro [2]), e Bet on
perdendone 24. math (betonmath.polimi.it) del Politecnico di Mi-
La crisi del 2008 ha aumentato di molto le cifre lano.
spese dagli italiani al gioco. La propensione al gioco eÁ In quest'ottica, dal 2014/15, in collaborazione con
infatti molto maggiore nelle classi meno istruite e Francesco Morandin tengo per le scuole superiori
Á povere, rendendo di fatto il gioco d'azzardo una
piu un laboratorio PLS sul tema della probabilitaÁ e gioco
tassa antiredistributiva. Gli effetti sociali in termini d'azzardo. Sia per far conoscere la matematica
di persone rovinate, famiglie distrutte, suicidi, sono (combinatoria e probabilitaÁ) e per aumentare le
devastanti. conoscenze informatiche (buona parte del laborato-
Come se non bastasse, il gioco d'azzardo Áe un'im- rio si svolge utilizzando Excel), sia per prevenire il
presa svantaggiosa anche per lo Stato italiano, che rischio di gioco patologico, informando sulle reali
ha visto negli anni ridurre la propria parte di introiti possibilitaÁ di vincita.
± a favore dei gestori privati ± e l'azzardo funge da Le varie sezioni di questo articolo seguono l'idea
moltiplicatore negativo per l'economia: cala la do- del laboratorio PLS, utilizzando vari giochi d'azzar-
do per introdurre vari concetti matematici, di pro-
babilitaÁ e combinatoria, ovviamente, ma anche di
Accettato: il 11 novembre 2016. teoria dei giochi (scelta della strategia ottimale).
FATE IL NOSTRO GIOCO - GIOCO D'AZZARDO E MATEMATICA 157Alla fine di ogni sezione, analizziamo brevemente Nei problemi che incontreremo avremo a che fare
le storie di chi ha trovato un modo per vincere a quel con eventi legati ad un numero finito di possibilitaÁ.
tale gioco d'azzardo. La conclusione saraÁ che vincere In questo caso, la definizione classica di probabilitaÁ
al gioco d'azzardo non Áe impossibile, ma per farlo di un evento E eÁ
bisogna avere tali competenze e utilizzare tanto di
quel tempo, denaro e lavoro, che ± con lo stesso il rapporto tra il numero dei casi favorevoli
impegno e le stesse capacitaÁ ± eÁ possibile guadagna- all'evento e il numero dei casi possibili, purcheÂ
re molto di piuÁ in altro modo. Tutto cioÁ senza contare questi ultimi siano tutti equiprobabili.
il fatto che tali competenze sono in possesso solo di
un numero ridottissimo di persone. Vincere al gioco Ma che cosa vuol dire che i casi possibili sono tutti
d'azzardo Áe molto difficile e per pochissimi, quando equiprobabili? Che hanno la stessa probabilitaÁ: sem-
invece tutta la martellante pubblicitaÁ vuole far cre- bra che sia una definizione non ben posta, che si
dere che sia facile e alla portata di tutti. morde la coda...
In realtaÁ il punto fondamentale Áe che la teoria
della probabilitaÁ eÁ un macchinario che consente di
Á
2. ± La nascita della probabilita calcolare le probabilitaÁ di eventi complessi a partire
dalla conoscenza delle probabilitaÁ di alcuni eventi
La branca della matematica che va sotto il nome elementari, le cui probabilitaÁ ammettiamo di avere
di probabilitaÁ eÁ storicamente nata proprio per stu- date. Ad esempio tutte le volte che leggiamo locu-
diare il gioco d'azzardo. zioni del tipo non truccato sappiamo che abbiamo
In particolare, nel 1525 Gerolamo Cardano scrive il un'ipotesi su un'equiprobabilitaÁ di certi eventi ele-
trattato De Ludo Aleae (Sul gioco dei dadi) dove mentari:
analizza il gioco dei dadi, ma il testo viene pubblicato l moneta non truccata = testa e croce hanno
postumo dopo oltre un secolo, nel 1663, e non ha entrambe probabilitaÁ del 50%;
pertanto avuto seguito. Si eÁ quindi soliti far risalire l dado (a sei facce) non truccato = ogni faccia ha
la nascita della teoria della probabilitaÁ al 1654, quando probabilitaÁ di 1=6;
Pierre de Fermat e Blaise Pascal hanno un intenso l un bambino bendato estrae una fra 90 palline
scambio epistolare in cui discutono il problema del uguali (lotto) = ogni pallina ha probabilitaÁ pari
gioco interrotto [1, pag. 363], ovvero problemi del tipo: a 1=90 di uscire.
Questa parte Áe la modellizzazione del problema. Poi
ESERCIZIO 2.1 Ð (1 ) Sofia e Federico giocano 10
euro al seguente gioco: tirano una moneta piuÁ volte, la matematica entra in gioco e permette di calcolare
se escono 10 teste prima di 10 croci, vince Sofia, se la probabilitaÁ di eventi piu Á complessi, come la pro-
escono prima 10 croci, vince Federico. Dopo 10 babilitaÁ di fare sei al SuperEnalotto o di ottenere la
lanci sono uscite 7 teste e 3 croci e il gioco viene sequenza TTTCCTCTTT tirando 10 volte una mo-
interrotto. Come vanno suddivisi i 10 euro tra i due neta non truccata.
giocatori? Si possono dare nozioni piu Á complesse rispetto a
quella classica di probabilitaÁ, permettendo cosõÁ di
Ne Pascal ne Fermat hanno scritto le loro con- calcolare le probabilitaÁ di eventi complessi una volta
clusioni, ma la loro corrispondenza ha ispirato il che siano note le probabilitaÁ dei casi elementari. In
trattato De ratiociniis in ludo alee (Sul ragiona- realtaÁ non saremo interessati a questa generalitaÁ,
mento nel gioco dei dadi) scritto nel 1657 da Chri- ma per completezza diamo la definizione formale di
stiaan Huygens. probabilitaÁ. Il lettore non interessato puoÁ saltare alla
prossima sezione.
Nel 1933 Andrej NikolaevicÏ Kolmogorov nel
trattato Foundation of the theory of probability
(1) Daremo risposta a a questo esercizio alla fine dell'ar- (Fondamenti della teoria della probabilitaÁ) assioma-
ticolo, ma perche non provare ad affrontarlo, prima di
tizza rigorosamente la probabilitaÁ tramite i seguenti
leggere la soluzione?
assiomi.
158 ALBERTO SARACCODato l'insieme di tutti i possibili esiti di un nel lungo periodo: stiamo parlando di migliorare le
esperimento , ad ogni evento casuale (2 ) E probabilitaÁ di vincita o, come vedremo in seguito, la
corrisponde un certo numero P E, chiamato pro- speranza matematica di vincita. Sulla singola partita
Á di E, che soddisfa
babilita (o su un numero ridotto di partite) la vincita Áe
determinata dal caso e non Áe in alcun modo preve-
(1) 0 P E 1.
dibile.
(2) La probabilitaÁ dell'evento certo Á e P 1.
(3) La probabilitaÁ dell'unione di un numero finito o
infinito numerabile di eventi mutuamente esclu-
4. ± I gratta e vinci e le lotterie - la speranza
sivi eÁ pari alla somma delle probabilitaÁ di questi
matematica
eventi.
Il caso classico si ottiene da questo quando ha Á semplice da studiare
Il tipo di gioco d'azzardo piu
cardinalitaÁ finita e tutti gli eventi costituiti da un eÁ indubbiamente costituito da gratta e vinci e lotte-
singolo elemento di hanno la stessa probabilitaÁ. rie. In questo tipo di giochi il giocatore compra un
biglietto da un lotto di biglietti prefissato pagando
una certa somma e poi scopre ± subito nel caso dei
3. ± Il gioco d'azzardo gratta e vinci, in maniera differita nel tempo nel caso
delle lotterie ± se e che premio ha vinto.
Cerchiamo ora di capire cos'eÁ un gioco d'azzardo. Basta (3 ) andare sul sito internet dei monopo-
Secondo l'enciclopedia Treccani il gioco d'azzardo Áe li di stato (www.agenziadoganemonopoli.gov.it e
Á ludica in cui ricorre il fine di lucro e
un'attivita www.lottomatica.it) per avere i dati sul numero
nella quale la vincita o la perdita Áe in prevalenza di biglietti stampati e sulla quantitaÁ e l'ammon-
aleatoria, avendovi l'abilita Á un'importanza trascu- tare dei premi in palio.
rabile. Prendiamo ad esempio il Nuovo Miliardario (4 ),
Anche secondo la legge italiana le caratteristiche stampato in lotti da 142.560.000 biglietti da 5 S l'uno.
peculiari sono l'aleatorietaÁ della vincita e il fine di La massa premi totali in palio ammonta ad euro
lucro. 513.418.500,00.
Curiosamente l'etimologia delle parole azzardo e
aleatorio eÁ simile: entrambi derivano dalla parola Quanto vinco mediamente comprando un bigliet-
dado, in arabo az-zahr e in latino alea. In effetti il to? Ho un modo semplice per calcolarlo: se compras-
gioco dei dadi Áe uno dei giochi d'azzardo piu Á antichi e si tutti i biglietti, vincerei tutti i premi, per un totale
± come abbiamo visto ± Áe anche stato il primo su cui di euro 513.418.500,00. Dividendo tale vincita per il
sono stati scritti dei trattati di probabilitaÁ. numero di biglietti comprati, ottengo che la vincita
In alcuni dei giochi che tratteremo la vincita eÁ media per biglietto eÁ di circa 3; 60S.
completamente aleatoria: non Áe possibile alcuna Siccome un singolo biglietto costa 5S cioÁ vuol
strategia. In altri eÁ invece possibile adottare una dire che mi aspetto di perdere mediamente 1; 40S
strategia per vincere o perlomeno per limitare la ogni volta che compro un gratta e vinci Nuovo
perdita. Con vincere o limitare la perdita intendiamo
(3) ``Basta'' andrebbe scritto tra virgolette, in quanto per
2
( ) In realtaÁ in alcuni casi non Áe possibile definire una una buona trasparenza sarebbe meglio avere questi dati
probabilitaÁ per ogni sottoinsieme di senza incorrere in direttamente sui biglietti in vendita, come peraltro accade
contraddizioni, ma ci si deve limitare ad una famiglia di in altri Paesi ± ad esempio la Spagna, e non nascosti in una
sottoinsiemi detti misurabili. Questo eÁ dovuto a problemi sezione del sito internet.
creati dall'assioma di sommabilitaÁ numerabile ed all'assioma (4) Decreto ministeriale:
della scelta. Nei casi che ci interesseranno, dove lo spazio http://www.agenziadoganemonopoli.gov.it/wps/wcm/connect/
degli eventi ha cardinalitaÁ finita, questi problemi non sussi- internet/ed/monopoli/giochi/lotterie/lotterie_istantanee/
stono. lot_ist_attive/li+nuovo+miliardario.
FATE IL NOSTRO GIOCO - GIOCO D'AZZARDO E MATEMATICA 159Miliardario, ovvero il 28% di quanto pagato per Á peroÁ capitato che qualcuno sia in passato
E
acquistarlo. riuscito a trovare un metodo per individuare quasi
In realtaÁ le cose vanno leggermente peggio, dato certamente i biglietti vincenti, limitandosi quindi ad
che sui premi di importo superiore a 500S Áe tratte- acquistare quelli. Ad esempio Mohan Srivastava, un
nuto dall'erario il 6% dell'importo eccedente i 500S. geostatistico di Toronto, si accorge nel 2003 di un
Calcolando la vincita media per biglietto corretta, si baco di progettazione dei gratta e vinci canadesi
ottengono 3; 59S. La differenza Áe indubbiamente della serie Tic Tac Toe: osservandoli prima di grat-
piccola, ma contando tutti i biglietti venduti si tra- tarli Áe possibile capire se sono vincenti o meno.
duce in quasi un milione e mezzo di euro ulteriori che Mohan ha utilizzato per un po' il suo metodo per
restano alle casse dello Stato, e una diminuzione dei divertimento e ha calcolato che ± lavorandoci a
premi massimi da 500 mila euro a poco piu Á di 470 mila tempo pieno ± sarebbe riuscito a guadagnare circa
euro. 600 dollari canadesi al giorno, ovvero molto meno di
Nei vari gratta e vinci (al momento in cui scrivo ne quello che guadagnava con le sue consulenze da
esistono ben 66, secondo il sito dei monopoli di Stato) provetto geostatistico.
la percentuale che resta al banco varia. In generale eÁ Ha pertanto rivelato il suo trucco al team sicu-
maggiore per i gratta e vinci a basso costo e minore rezza di The Lottery, allegando alla sua lettera 20
per i gratta e vinci ad alto costo. Quindi posso gratta e vinci non grattati, divisi in due buste chiuse,
scegliere: spendere poco (anche solo 1S), perdendo una contenente gratta e vinci vincenti e l'altra
tanto percentualmente, o spendere tanto (fino a 20S perdenti. Diciannove previsioni su venti erano cor-
per un singolo biglietto), perdendo meno percen- rette. Immediatamente i gratta e vinci Tic Tac Toe
tualmente (ma molto in assoluto)? sono stati ritirati dal mercato (5 ).
La vincita media per biglietto che abbiamo calco-
lato va sotto il nome di speranza matematica di
vincita e si indica con E. L'abbiamo ottenuta facendo 5. ± La roulette - la legge dei grandi numeri
il rapporto tra la somma totale vinta e il numero di
biglietti comprati. Se sono in palio ni premi da Vi S, Nella roulette una pallina viene lanciata su una
P
per un totale di P i ni Vi S e n sono i biglietti ruota che gira, finche si ferma in una delle scanala-
complessivamente stampati, allora possiamo riscri- ture della ruota. Le scanalature sono marcate con
vere la vincita media per biglietto nel seguente dei numeri. Ci sono due versioni di roulette, la
modo: francese (36 numeri, metaÁ rossi e metaÁ neri, e lo 0,
P X ni verde) e l'americana (36 numeri, metaÁ rossi e metaÁ
P i ni Vi
E Vi : neri, e 0 e 00, verdi).
n n n
i Si puoÁ puntare sul singolo numero, su una coppia
Possiamo interpretare il rapporto ni =n come la di numeri vicini (6 ), su un quartetto di numeri vicini,
probabilitaÁ di trovare uno degli ni biglietti con cui si su tre o sei numeri vicini, sui primi, gli ultimi o i 12
vincono esattamente Vi S. In tale modo posso calco-
lare la speranza matematica di vincita per ogni gioco
d'azzardo: (5) Per saperne di piuÁ sulla sua storia, potete leggere
X L'uomo che vinceva prima di grattare [2, pagg. 159-171] o
E P V Vi Vi ; Cracking the scratch lottery code
i (http://www.wired.com/2011/01/ff_lottery/all).
dove P V Vi eÁ la probabilitaÁ di vincere esatta-
mente Vi . Un dettagliato documento che spiega il metodo usato da
Mohan si trova qui:
4.1. Vincere al gratta e vinci. Dato che il gratta e http://www.math.leidenuniv.nl/ ~gill/
Jul2003_Report_on_TicTacToe.pdf.
vinci eÁ un gioco puramente di fortuna (ho pescato o no
(6) Con numeri vicini intendiamo vicini sul tappeto di
il biglietto vincente?) sembrerebbe impossibile tro- gioco; tipicamente sulla ruota della roulette saranno lontani
vare una strategia che ci permetta di guadagnare. fra loro.
160 ALBERTO SARACCOnumeri di mezzo; su pari o dispari, rosso o nero, sui puntato: la roulette Áe di gran lunga meno svantag-
primi o gli ultimi 18 numeri. giosa del gratta e vinci.
Gli incassi per le puntate vincenti nella roulette La roulette francese eÁ meno svantaggiosa di
sono i seguenti (uguali per entrambe le versioni): 36 quella americana, ma la puntata minima Áe solita-
volte la posta per il numero singolo, 18 volte la posta mente maggiore: lo stesso fenomeno giaÁ visto nei
per la coppia, 12 volte la posta per i 3 numeri, 9 volte gratta e vinci.
la posta per 4 numeri (carreÂ), 6 volte la posta per 6 Alla roulette la perdita media ad ogni giocata eÁ
numeri, 3 volte la posta per 12 numeri, e infine 2 molto piccola, ma tanto basta affinche il banco si
volte la posta per pari/dispari, rosso/nero, 18 numeri. arricchisca e i giocatori si rovinino. Si possono
Scegliendo una qualsiasi delle puntate, calcolia- facilmente realizzare degli esperimenti che mostra-
mo la speranza matematica di vincita quando pun- no come nel lungo periodo i giocatori vadano certa-
tiamo 100S alla roulette: mente in rosso.
Sul sito www.fateilnostrogioco.it sono disponi-
m mk
E k 100 100 ; bili i dati di un tale esperimento realizzato mate-
n n rialmente durante una mostra a Bolzano nel 2013
dove m sono i numeri puntati (i casi favorevoli), n i con una vera e propria roulette francese a cui i
casi totali (37 o 38) e k eÁ quante volte la posta si vince visitatori erano invitati a puntare 100 euro suddivisi
con quella puntata. Qualunque sia la scelta di giocata come meglio credevano. I dati dei 34 giorni sono
che facciamo, m k eÁ 36. Quindi la speranza mate- stati segnati scrupolosamente e si eÁ ottenuto che
matica Áe la stessa per tutte le giocate ed Áe i 36=37 dopo 1880 giocate da 100 euro il passivo complessivo
della posta per la roulette francese, i 36=38 per dei giocatori (o il guadagno del banco) era di 5130S,
quella americana. pari a 2; 73S a puntata: molto vicino al valore di
Pertanto giocando alla roulette si perde media- 2; 70S che rappresenta la speranza matematica di
mente 1=37 (ovvero 2; 70S per ogni 100S giocati) o perdita che abbiamo calcolato per la roulette, vedi
2=38 (ovvero 5; 26S per ogni 100S giocati) di quanto figura 1.
Figura. 1: I risultati dell'esperimento di Bolzano a cura di Taxi1729: il bilancio medio alla roulette nel tempo.
FATE IL NOSTRO GIOCO - GIOCO D'AZZARDO E MATEMATICA 161Tale esperimento puoÁ essere condotto in maniera Inoltre ad un tavolo della roulette non posso
piuÁ rapida, anche se meno spettacolare, utilizzando puntare quanto voglio. C'eÁ una puntata minima e
un semplice programma su un foglio di calcolo per una puntata massima. Se per esempio ad un tavolo la
simulare migliaia di lanci di pallina. Dopo qualche puntata minima Áe 10S e la massima di 2:000S, allora
migliaio di lanci, la perdita media saraÁ molto vicina al partendo dal minimo dopo 7 raddoppi punto 1:280S.
valore ottenuto con il calcolo della speranza mate- Se nuovamente non uscisse rosso non potrei piu Á
matica. raddoppiare e avrei perso 2:550S. Questo accade
CioÁ eÁ dovuto alla legge dei grandi numeri, che se per 8 volte consecutive non esce rosso, il che
afferma che all'aumentare degli esperimenti aleato- capita con probabilitaÁ
ri, le frequenze osservate tendono alle probabilitaÁ. 8
In particolare la vincita media di un giocatore all'au- 19
P ' 4; 8 0/00.
mentare delle giocate tende alla speranza matema- 37
tica di vincita. Sono disposto a rischiare di perdere 2:550 euro
Altri teoremi di probabilitaÁ, come il teorema del circa una volta ogni 200 per guadagnarne 10 molto
limite centrale, ci permettono di dire molto di piu Á: ad probabilmente? Ovvero davvero voglio giocare ad
esempio a che velocitaÁ ci dobbiamo aspettare che la una lotteria al contrario, in cui ho una bassa proba-
frequenza tenda alla probabilitaÁ. In particolare Áe bilitaÁ di perdere molti soldi e un'alta probabilitaÁ di
possibile calcolare a priori dopo quante giocate vincere una cifra irrisoria?
abbiamo una probabilitaÁ p di essere in negativo. La E soprattutto, reiterando il rischio (cosa che devo
parte interessante (soprattutto per chi gestisce il fare, se voglio guadagnare grandi cifre), cosa succe-
banco) eÁ che se il numero di giocate eÁ sufficiente- de? La mia speranza matematica Áe, per ogni volta in
mente alto, la probabilitaÁ p di essere in negativo eÁ cui applico il metodo:
arbitrariamente vicina a 1. Ovvero, giocando suffi-
cientemente a lungo, il banco vince certamente. E 10 1 P 2:550 P 10 2:560 P 2; 38:
Siccome in un casinoÁ ci sono migliaia e migliaia di Per guadagnare cifre interessanti con questo
puntate all'ora, il casinoÁ non compie nessun azzardo: metodo devo giocare a lungo, quindi si applica la
vince sempre. legge dei grandi numeri e alla lunga ogni applicazio-
ne del metodo risulta in una perdita di 2; 38S...
5.1. Perdere alla roulette: ovvero le strategie davvero un bel metodo, per il banco!
sbagliate. Sono stati ideati molti metodi per vin- Proviamo a rapportare questa perdita alla spesa
cere alla roulette. Uno particolarmente famoso e di media che si ha per ogni applicazione del metodo.
successo eÁ il metodo del raddoppio della puntata. Con probabilitaÁ 18=37 spendiamo 10S, con probabi-
Punto 1 sul rosso. Se esce rosso vinco 2 e quindi ho litaÁ 19=37 18=37 ne spendiamo 30, con probabilitaÁ
un bilancio di 1. Se esce nero (o verde), punto 19=372 18=37 ne spendiamo 70... Facendo i conti si
nuovamente su rosso, cioeÁ 2 (in totale ho puntato ottiene che in ogni applicazione del metodo spendia-
3). Se esce rosso vinco 4 e quindi ho un bilancio di 1. mo mediamente circa 88S. Proviamo ora a rappor-
Se esce nero (o verde), punto nuovamente su rosso, tare la perdita media alla spesa media e otteniamo
raddoppiando nuovamente la puntata, e cosõÁ via, nuovamente una perdita di 2; 70S ogni 100S giocati:
finche esce rosso (cosa che certamente accadraÁ in il vantaggio per il banco Áe sempre quello, ed Áe
tempo finito) e concludo con un bilancio di 1. rimasto invariato nonostante l'applicazione del sup-
Ripetendo il metodo, dato tempo a sufficienza, posto metodo infallibile per vincere.
posso guadagnare cifre arbitrariamente alte.
Peccato che il metodo non funziona. Per due 5.2. Vincere alla roulette. La roulette Áe quasi un
motivi: per far funzionare il metodo non serve solo gioco equo, nel senso che eÁ di poco favorevole al
tempo a sufficienza, ma anche denaro a sufficienza... banco. Se fosse possibile ridurre in qualche modo
A un certo punto potrei non avere soldi a sufficienza (anche in maniera minima) i possibili esiti del lancio
per raddoppiare la puntata precedente. Se cioÁ acca- di una pallina, ecco che il gioco si trasformerebbe in
de ho perso tantissimi soldi. favorevole. Basterebbe riuscire a calcolare con una
162 ALBERTO SARACCOcerta approssimazione la traiettoria della pallina nei meri, oltre ad altre scommesse particolari (ambetto,
pochi secondi tra il lancio della stessa e la fine delle estratto determinato) che non analizziamo.
puntate. Come possiamo calcolare la speranza di vincita
Nel 1978 un gruppo di matematici e fisici, gli per il caso del lotto? Abbiamo trovato sul sito di
Eudaemons, studiarono a fondo una roulette di un lottomatica tutti i premi per le varie puntate. Quello
casinoÁ di Las Vegas e svilupparono un microproces- che resta da fare eÁ calcolare la probabilitaÁ di vincere
sore che calcolasse molto rapidamente il settore di con una singola puntata, e quindi applicare la formu-
arrivo della pallina. In questo modo riuscirono a la per la speranza matematica.
sbilanciare la speranza matematica in loro favore e Per l'estratto i conti sono semplici: ci sono 5 casi
a vincere una piccola somma (7 ). favorevoli (i numeri estratti) su 90 casi totali,
Sicuramente guadagnarono molto di piu Á quando P1 1=18.
misero le loro competenze di matematica e fisica allo Per tutte le altre puntate, dobbiamo contare sia
studio della teoria del caos e dell'andamento dei quanti sono i casi favorevoli, sia quanti sono i casi
mercati finanziari. totali. Vediamo ad esempio per l'ambo. Le coppie
Inoltre giocare alla roulette utilizzando un ausilio totali che posso formare con 90 numeri sono
informatico di tale tipo Áe ovviamente vietato dai 90 89=2 4005 (ho 90 scelte per il primo numero,
casinoÁ, i cui metodi di controllo del comportamento 89 per il secondo e in tal modo ho contato ogni
dei giocatori sono a dir poco molto raffinati. coppia due volte). I 5 numeri estratti forniscono in
totale 5 4=2 10 coppie favorevoli. Pertanto
P2 10=4:005 2=801.
6. ± Il lotto e il SuperEnalotto - combinatoria In generale ci interessa sapere quanti sono i
possibili insiemi di k numeri presi da un insieme di
Il lotto, il SuperEnalotto e molti altri giochi in n k numeri:
giro per il mondo si basano su un meccanismo n n!
semplicissimo: vengono estratti m numeri a partire
k n k! k!
da un insieme di n numeri e i giocatori devono
indovinare quali saranno i numeri ad essere estratti. Questo ci daÁ le seguenti probabilitaÁ per terno,
Ci sono due tipologie di giochi di questo tipo. quaterna e cinquina: P3 1=11:748, P4 1=511:038,
1. I giochi a vincita fissa, in cui, fissata la scom- P5 1=43:949:268. Da cui posso calcolare le speran-
messa fatta, la vincita eÁ un multiplo prefissato della ze matematiche di vincita per le varie puntate.
cifra scommessa (stesso meccanismo della roulette, Considerando anche la tassazione al 6%, mentre
per intenderci): ad esempio il lotto (8 ). alla roulette perdo mediamente il 2; 7% della cifra
Per questi giochi c'eÁ ben poco di nuovo da dire, giocata, al lotto perdo ben di piu Á: con estratto ed
rispetto a quanto giaÁ detto per la roulette. Infatti la ambo il 41%, con terno il 64%, con quaterna il 78% e
roulette puoÁ a tutti gli effetti considerarsi un gioco di con cinquina ben l'87%.
questo tipo. Anzi: il gioco di questo tipo piu Á conve- PercheÁ le perdite percentuali sono molto minori
niente ± o meglio meno sconveniente ± per il gioca- alla roulette rispetto al lotto? Il motivo Áe semplice:
tore. un giocatore che entra in un casinoÁ ben difficilmente
Nel lotto vengono estratti 5 numeri tra 1 e 90 in faraÁ una singola giocata, ma ne faraÁ molte nel corso
maniera casuale: si puoÁ puntare sull'uscita di un della serata, quindi anche un piccolo vantaggio del
singolo numero (estratto), o di due (ambo), di tre banco Áe sufficiente al banco per fare grandi incassi e
(terno), quattro (quaterna) o cinque (cinquina) nu- contemporaneamente non spaventare il giocatore.
Viceversa, nel lotto l'estrazione Áe differita rispet-
to alla giocata, e le giocate dei singoli giocatori sono
(7) Per saperne di piu Á sull'impresa degli Eudaemons, tendenzialmente piu Á rade: il banco puoÁ spremere di
Battere il banco: una sfida per soli geni in [2, pagg. 45-51]. Á
piu i giocatori senza spaventarli troppo.
(8) Si possono trovare tutti premi lordi pagati ± verranno
Inoltre alla roulette le vincite sono piccole rispetto
poi tassati del 6% ± sul sito http://www.lottomaticaitalia.it/
lotto/gioco/lotto_premi.html alla puntata: massimo 36 volte la puntata, mentre al
FATE IL NOSTRO GIOCO - GIOCO D'AZZARDO E MATEMATICA 163lotto sono molto piu Á alte. La cinquina (al lordo delle PeroÁ se nessuno totalizza il 6, allora la parte del
tasse) viene pagata 6 milioni di volte la puntata: montepremi attribuita ai 6 viene riportata all'estra-
affincheÁ il gioco fosse equo, dovrebbe essere pagata zione successiva, consentendo al premio per i 6 (il
quasi 44 milioni di volte la puntata. Ma quando decido Jackpot) di aumentare sempre di piu Á.
se puntare un euro sulla possibilitaÁ di cambiarmi la In tal modo la speranza matematica di vincita non
vita percepisco davvero una qualche differenza se mi eÁ costante, ma in realtaÁ parte dal 60% quando il
dicono che vinco 6 o 44 milioni di euro? Molto proba- Jackpot eÁ assente (11 ) e poi aumenta con l'aumentare
bilmente no. E allora tanto vale che il banco si incassi del Jackpot.
direttamente quei 38 milioni di euro... Siccome bisogna indovinare una sestina fra
2. I giochi a totalizzatore o a vincita variabile,
90
come il SuperEnalotto e il WinForLife. In alcuni 622:614:630
6
giochi il montepremi Áe calcolato sulla base delle
somme giocate per la singola estrazione. Quindi il bisogna mediamente attendere un elevato nume-
calcolo della speranza matematica di vincita Áe sem- ro di giocate affinche il 6 venga realizzato e il Jackpot
plicissimo: viene detto esplicitamente nelle regole (9 ) puoÁ anche crescere di molto (12 ), aumentando cosõÁ la
quanto il banco trattiene per seÂ. Nel caso del Su- speranza matematica di vincita.
perEnalotto il 40%. Il gioco eÁ pertanto mediamente
(s)conveniente circa quanto giocare l'estratto o l'am- 6.1. Perdere al Lotto ± i numeri ritardatari. Dato
bo al lotto. che ogni estrazione eÁ completamente indipendente
Ma non sempre eÁ cosõÁ: infatti non tutta la restante dalle altre, non ha senso applicare delle strategie
parte della raccolta (per il SuperEnalotto il 60%) riguardo i numeri da puntare. In particolare non
viene immediatamente redistribuita tra i giocatori. serve a nulla puntare sui numeri ritardatari, ovvero
Vediamo nei dettagli il caso del SuperEnalotto. Per sui numeri che da piu Á tempo non vengono estratti.
giocare bisogna scegliere 6 numeri tra 1 e 90. Vengono Il motivo di questa credenza Áe dovuto alla confu-
poi estratti 6 numeri e un numero Jolly e si vince se se sione tra la probabilitaÁ che un dato numero non esca
ne sono indovinati 2 o piu Á numeri dei primi 6. Il per le prossime 100 estrazioni consecutive e la pro-
montepremi viene suddiviso nel seguente modo (10): babilitaÁ che non esca per 100 estrazioni consecutive,
l Tra chi indovina i 6 numeri viene diviso il 17; 4% sapendo che Áe uscito per le 99 precedenti: nel primo
del montepremi. caso la probabilitaÁ eÁ bassa, circa lo 0; 3% pari a
100
l Tra chi indovina 5 numeri e il Jolly viene diviso il 17
, nel secondo Áe ovviamente la probabilitaÁ
13% del montepremi. 18
17
l Tra chi indovina 5 numeri viene diviso il 4; 2% del che non esca in una singola estrazione, ovvero ,
18
montepremi. circa il 94;4%.
l Tra chi indovina 4 numeri viene diviso il 4; 2% del Nei giochi a vincita fissa (come il Lotto) qualun-
montepremi. que numero ha la stessa probabilitaÁ degli altri di
l Tra chi indovina 3 numeri viene diviso il 12; 8% essere estratto, e qualunque giocata Áe equivalente.
del montepremi. Nei giochi a totalizzatore, invece, giocare i nume-
l Tra chi indovina 2 numeri viene diviso il 40% del ri ritardatari Áe addirittura controproducente. Ovvia-
montepremi. mente ogni numero ha la stessa probabilitaÁ degli
l Circa l'8; 4% del montepremi eÁ attribuito in altri di essere estratto, ma siccome una volta vinto
premi istantanei, al momento della giocata della un premio tale premio viene suddiviso in parti uguali
schedina.
(11) Vi eÁ in realtaÁ un meccanismo leggermente piu Á com-
plesso che fa in modo che il Jackpot non sia mai esattamente
(9) Sempre nascoste in una qualche sezione del sito zero, cosõÁ da invogliare a giocare, ma non scendiamo nei
internet dei monopoli di Stato... dettagli che di poco modificano questa analisi.
(10) Vedi decreto RU/109175 del 16 novembre 2015, (12) Ad oggi il Jackpot record eÁ stato quello vinto il 30
articolo 4, su www.agenziadoganemonopoli.gov.it ottobre 2010, pari a 177:729:043S.
164 ALBERTO SARACCOtra tutti coloro che hanno ottenuto lo stesso punteg- certi di poter contare su una reale speranza di vincita
gio, allora ottimizzo la mia speranza di vincita gio- elevata e quindi di vincere grandi cifre. Questo
cando i numeri meno giocati (13 ). Nei giochi a tota- meccanismo Áe stato sfruttato da vari gruppi orga-
lizzatore, quindi, non ho strategie per migliorare la nizzati negli USA nelle lotterie Cash WinFall del
mia possibilitaÁ di vincita, ma ho strategie per massi- Massachusetts e Winfall del Michigan (14 ). In questi
mizzare la mia vincita nel caso riuscissi a vincere: gruppi la competenza matematica Áe alta: uno di essi
giocare i numeri meno giocati. Purtroppo questo era costituito da studenti del MIT di Boston.
dato (quanto vengono giocati i singoli numeri), l'u- La manna per questi gruppi dura dal 2005 al 2012,
nico che ha una qualche utilitaÁ, non viene fornito da quando il Cash WinFall viene chiuso dallo Stato del
Lottomatica. Massachusetts.
6.2. Vincere il Jackpot. Abbiamo visto che nei
giochi a totalizzatore la speranza di vincita non eÁ Á
7. ± Il Black Jack - l'albero delle possibilita
costante nel tempo, ma aumenta all'aumentare del
Jackpot. Si puoÁ arrivare al punto in cui la speranza di Il Black Jack (o Ventuno) Áe un gioco di carte che si
vincita diventa maggiore della quota puntata (ovvero svolge tra il banco e i giocatori.
mediamente non perdo piu Á soldi, ma li vinco) e Il gioco si svolge con 2 o piu Á mazzi di carte
pertanto diventa conveniente giocare. francesi (52 carte divise in 4 semi; per ogni seme le
Ci sono peroÁ due problemi. carte sono: A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K): gli assi A
Innanzitutto non Áe facile calcolare quali saranno i valgono 1 o 11 a seconda di cosa Áe piu Á conveniente, le
premi per le varie fasce di premio prima che i dati figure J, Q e K valgono 10, tutte le altre carte il loro
vengano resi noti dal gestore del gioco (quando c'eÁ valore nominale.
l'estrazione e non si puoÁ piu Á giocare), ma Áe un Tutti i giocatori pagano al banco una posta (scelta
problema che si puoÁ aggirare studiando il numero dal giocatore) per giocare. Vengono poi date due carte
storico delle schedine giocate, di solito circa costante ad ogni giocatore e una carta al banco. Tutte le carte
tranne quando il Jackpot Áe alto e si assiste ad un sono scoperte. I giocatori, a turno, decidono se pescare
grande incremento delle giocate. una carta o fermarsi. I giocatori che sballano (supe-
Il secondo problema Áe capire tra quante persone rano il punteggio di 21 con le proprie carte) hanno
verranno divise le vincite, soprattutto quelle alte perso. Quando tutti i giocatori rimasti si fermano, il
(mentre non cambia molto se sono 40.000 o 50.000 banco pesca carte finche non supera il punteggio di 16,
le persone a totalizzare un 2 al SuperEnalotto, momento in cui eÁ costretto a fermarsi (15 ). Vincono i
cambia di molto se il 6 viene fatto da 1, 2 o addirittura giocatori che non hanno sballato e che realizzano un
5 persone!). Tante schedine vincenti con il 6, e il punteggio piu Á alto del banco oppure tutti i giocatori
Jackpot si riduce tantissimo. che non hanno sballato se il banco supera 21.
Non eÁ un caso che i giochi a totalizzatore che hanno La vittoria viene pagata dal banco due volte la
attirato gruppi di giocatori professionisti siano stati posta e il pareggio una volta la posta (ovvero il
giochi in cui c'eÁ un tetto al Jackpot associato ad un giocatore resta a bilancio nullo: Áe come se non avesse
meccanismo di roll-down: quando il Jackpot supera giocato).
una certa cifra prefissata, se non ci sono schedine che Nel gioco ci sono alcune particolaritaÁ che per
vincono il premio massimo, il Jackpot viene suddiviso semplicitaÁ di ragionamento non prendiamo in consi-
tra coloro che hanno vinto i premi minori. derazione per questa sommaria analisi del gioco, tra
Sapendo quando il tetto verraÁ sfondato e giocan- cui il black jack (mano con asso e dieci o figura,
do un numero elevato di schedine si Áe cosõÁ (quasi)
(14) Per i dettagli e tutta la storia, rimando a Cash WinFall:
quando il gioco si fa conveniente [2, pagg. 103-117].
(13) Ad esempio evitando i numeri da 1 a 31, che compaio- (15) Mentre i giocatori possono applicare una strategia, il
no nelle date di nascita, o i numeri ritardatari, che tendono ad banco non puoÁ farlo: le regole lo costringono a pescare o a
essere piuÁ giocati. fermarsi.
FATE IL NOSTRO GIOCO - GIOCO D'AZZARDO E MATEMATICA 165vincente anche sul 21 e pagata due volte e mezza la
posta) che daÁ il nome al gioco.
Avere una strategia al Black Jack vuol dire saper
decidere, in ogni situazione di carte sul tavolo (no-
stre e la carta del banco, le carte degli altri giocatori
e le carte giaÁ uscite, eventualmente), se fermarsi
(STAI) o pescare una carta (CARTA).
Ovviamente dato che le pescate non sono davvero
indipendenti le une dalle altre, la strategia corretta
dovrebbe tener conto anche di tutte le carte davanti
agli altri giocatori e giaÁ uscite in mani precedenti o ±
se preferite ± delle carte ancora presenti nel mazzo.
Questo Áe difficile da fare e per semplicitaÁ supponia-
mo che le singole carte siano indipendenti le une
dalle altre. Questa ipotesi Áe abbastanza vicina al vero
nel caso si giochi con molti mazzi ± nei casinoÁ sono
solitamente tra 6 e 8 ± e quella in cui si gioca sia una
delle prime mani.
Per semplicitaÁ trattiamo solo l'esempio di un caso
banco contro un giocatore, ma dovrebbe essere
semplice capire come questo si puoÁ generalizzare.
Supponiamo di avere 20 punti (due figure) e che il
banco abbia 10 punti (una figura): conviene fermarsi
o chiedere carta? Dobbiamo calcolare le probabilitaÁ
di vittoria, pareggio e sconfitta nei vari casi.
CARTA: se pesco una carta diversa dall'asso (il
che accade con probabilitaÁ 12/13) sballiamo e perdia-
mo. Se pesco un asso vado a 21 e mi fermo. In questo
caso posso vincere o pareggiare (nel vero Black Jack
potrei anche perdere, se il banco pesca l'asso e fa
black jack). Serve analizzare le pescate del banco.
STAI: ho 20 punti. Il banco ne ha 10 e pesca. Se esce
7±9 (probabilitaÁ 3/13), il banco eÁ costretto a fermarsi a
17-19 punti e io vinco. Se esce 10, pareggiamo (proba-
bilitaÁ 4/13, ci sono anche le figure). Se esce asso
(probabilitaÁ 1/13) il banco raggiunge 21 e vince. Gli
altri casi vanno analizzati meglio uno per uno.
Quanto fatto finora basta e avanza per concludere
che conviene fermarsi in tale situazione. Se voglio
calcolare esattamente la speranza di vincita in en-
trambe le situazioni devo continuare ad analizzare i
vari casi. Una tale analisi puoÁ essere effettuata
tramite l'albero delle possibilitaÁ, ovvero proseguen-
do il ragionamento iniziato sopra.
In figura 2 vediamo l'albero (16 ) in dettaglio nel
caso in cui io abbia 21 e il banco 10.
Figura. 2: L'albero delle possibilitaÁ nel caso in cui io abbia 21 e
(16) Disegnato utilizzando ironcreek.net/phpsyntaxtree/ il banco 10.
166 ALBERTO SARACCOL'albero viene disegnato nel seguente modo: par- possibilitaÁ nel semplicissimo caso in cui il banco Áe a
tendo da un ramo, ovvero da una situazione di punteg- 10 e noi a 21 rende bene l'idea di quanto sia com-
gio raggiunta dal banco, il ramo viene fatto diramare in plesso (computazionalmente, non certo dal punto di
vari rami, corrispondenti alle situazioni a cui puoÁ vista teorico) trattare il caso generale. L'albero delle
arrivare il banco pescando una singola carta, con possibilitaÁ Áe un ottimo metodo dal punto di vista
l'indicazione della probabilitaÁ che ha di pescare una teorico per calcolare le probabilitaÁ degli eventi. Dal
tale carta e del punteggio che raggiunge il banco. Il punto di vista computazionale Áe spesso molto o
metodo viene ripetuto per tutti i rami, finche non si troppo complesso.
Á,
arriva alle situazioni finali in cui il banco non pesca piu Facendo l'analisi dettagliata si ottiene la seguen-
perche ha perso, sballando o raggiungendo 17-20, o te strategia:
perche ha raggiunto 21, pareggiando. Tali situazioni Mani hard ovvero senza asso:
finali (indicate in rosso) sono dette foglie. l con 11 o meno punti, CARTA;
Moltiplicando tra loro tutte le probabilitaÁ che si in- l con 12 punti, STAI se il banco ha 4 6, altrimenti
contrano lungo i rami che portano ad una foglia per- CARTA;
dente (e poi sommandole tra loro) (17) si ottiene la pro- l con 13 16 punti, STAI se il banco ha 2 6,
babilitaÁ che ha il banco di perdere. Pertanto il banco altrimenti CARTA;
riesce a pareggiare nell'11; 1% dei casi mentre perde l con 17 o piu Á punti, STAI.
nell'88; 9% dei casi (facendo un albero delle possibilitaÁ Mani soft ovvero con asso (possono valere 10 in
piuÁ dettagliato, si trova che sballa nel 21; 2% dei casi, meno, piuÁ difficile sballare):
mentre nei restanti si ferma tra 17 e 20). l con 17 o meno punti, CARTA;
Mettendo questo risultato insieme al fatto che l con 18 punti, STAI se il banco ha 4 8, altrimenti
con probabilitaÁ 12/13 pescando perdevamo, si CARTA;
ottiene che la situazione CARTA risulta in: scon- l con 19 o piu Á punti, STAI.
fitta 92; 3% ± pareggio 0; 9% ± vittoria 6; 8% circa,
corrispondenti ad una speranza di vincita pari a La vera strategia, in cui si tiene conto di tutte le
E CARTA 0; 855 volte la posta. regole del Black Jack (e di tutte le possibili giocate
Facendo gli stessi conti con l'albero delle possi- del giocatore), Áe ovviamente piu Á complessa, ma si
bilitaÁ nel caso (STAI) in cui sono a 20 e il banco a 10, puoÁ trattare in modo del tutto simile studiando le
si ottiene che il banco fa 21 e vince nel 11; 1% dei casi, probabilitaÁ di vittoria a seconda della giocata fatta
fa 20 e pareggia nel 34; 2% dei casi e perde nel 54; 6% attraverso un albero delle probabilitaÁ studiato con
dei casi. un foglio di calcolo.
La situazione STAI risulta pertanto in: sconfitta Seguendo correttamente la strategia ottimale al
11; 1% ± pareggio 34; 2% ± vittoria 54; 6% circa, Black Jack, la speranza di vincita Áe molto buona:
corrispondenti ad una speranza di vincita pari a mediamente si perde solo lo 0; 7% di quanto puntato.
E STAI 0; 435 volte la posta. Ovviamente se non si gioca secondo la strategia
La speranza di vincita con STAI eÁ enormemente ottimale, le cose possono peggiorare di molto.
migliore di quella che si prospetta con CARTA. Non
dubito che chiunque avrebbe scelto di fermarsi, con 7.1. Vincere al Black Jack. Siccome la speranza
20 punti. matematica di vincita al Black Jack Áe solo di poco
Una simile analisi dettagliata puoÁ essere effet- sfavorevole al giocatore, basta che le probabilitaÁ
tuata in modo simile, anche se con molti piu Á conti, effettive di pescare le varie carte varino di poco
per tutti i casi possibili di punteggio di un giocatore e per riuscire a portare questa speranza in positivo.
di carta del banco, svolta con l'ausilio di un foglio di In effetti i numeri su cui abbiamo calcolato le
calcolo elettronico. La complessitaÁ dell'albero delle strategie ottimali sono ottenuti nell'ipotesi che le
pescate siano indipendenti, cosa non vera dato che
una carta giaÁ pescata non puoÁ essere ripescata.
Su questo si basano le strategie vincenti al Black
Á ovviamente consigliabile farlo con l'ausilio di un
(17) E
Jack: sapendo quali sono le carte giaÁ uscite, posso ±
foglio di calcolo, data la mole di conti.
FATE IL NOSTRO GIOCO - GIOCO D'AZZARDO E MATEMATICA 167in teoria ± rifare tutti i conti e decidere non solo casinoÁ di Atlantic City con la motivazione che i casinoÁ
quale strategia usare quando gioco, ma soprattutto non possono proibire l'accesso ai bravi giocatori.
se la strategia corretta Áe giocare o no una certa Un buon conteggio delle carte puoÁ portare la
mano. speranza matematica di vincita (che senza conteggio
Ovviamente Áe impossibile riuscire a tenere conto Áe a 0; 7%) fino a 1% o anche 2%. Per arricchirsi
davvero di tutte le carte giaÁ uscite e macinare i conti serve giocare molto a lungo (rischiando di farsi
alla velocitaÁ con cui si svolge l'azione al tavolo di allontanare dal casinoÁ) e anche avere un cospicuo
gioco. Pertanto sono state inventate delle strategie ammontare di denaro che si Áe disposti a perdere,
euristiche basate sul contare le carte (18 ) che funzio- come vedremo meglio nella prossima sezione.
nano approssimativamente nel seguente modo: si
assegna un valore di 1 alle carte alte (asso, figure e
10), 0 alle carte medie (9, 8 e 7) e 1 alle carte basse 8. ± Il Poker Texas Hold'Em ± la
(6, 5, 4, 3 e 2). Si sommano i valori di tutte le carte massimizzazione del profitto
uscite (conteggio). Quando il conteggio Áe positivo, le
probabilitaÁ di vincita migliorano per il giocatore; Se nella prima mezzora non capisci chi Áe il pollo,
quando il conteggio Áe negativo, migliorano per il allora il pollo sei tu.
banco. Amarillo Slim ± campione del mondo di Poker, 1972
Un grande numero di mazzi fa sõÁ che le carte
pescate siano molto vicine ad essere indipendenti le Il Poker Áe un gioco di carte giocato con un mazzo di
une dalle altre e quindi serve un conteggio molto carte francesi basato sulle combinazioni di cinque
maggiore per alzare sensibilmente la speranza ma- carte o punti. Vi sono diverse varianti, tra cui
tematica di vincita. Per tener conto di questo si eÁ attualmente la piuÁ famosa Áe il Texas Hold'Em.
soliti dividere il conteggio per il numero di mazzi Durante una mano di gioco ci sono varie fasi di
ancora inutilizzati (conteggio reale). puntate, in cui i giocatori possono mettere delle
I sistemi di conteggio non sono vietati ufficial- chips sul tavolo (a rappresentare del denaro punta-
mente nei casinoÁ, a meno che siano svolti con l'aiuto to) oppure ritirarsi dal gioco. Alla fine, tra i giocatori
di apparecchiature informatiche. Nonostante non che non si sono ritirati si vede chi ha totalizzato il
siano vietati, spesso i casinoÁ cercano di allontanare punto che vale di piuÁ. Quel giocatore prende tutto il
chi eÁ sospettato di contare le carte. Tuttavia, Ken piatto, ovvero le chips presenti sul tavolo.
Uston, che eÁ considerato il piu Á grande contatore di I punti possibili, da quello che vale di meno a
carte mai esistito, riuscõÁa vincere una causa contro il quello che vale di piuÁ sono indicati in tabella 1.
TABELLA 1. - I punti (combinazioni di 5 carte) nel poker (19 ).
punto descrizione
carta alta la carta di maggior valore, nell'ordine: A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2
coppia due carte uguali
doppia coppia due coppie
tris tre carte uguali
scala 5 carte in ordine di punteggio, non tutte dello stesso seme
colore tutte le carte dello stesso seme
full un tris e una coppia
poker quattro carte uguali
scala colore 5 carte in ordine di punteggio, dello stesso seme
(19) Per carte uguali intendiamo con lo stesso valore; i
semi non interessano tranne quando esplicitamente detto,
(18) Esistono vari metodi diversi di conteggio, piu
Á o meno ovvero per colore e scala colore. L'asso puoÁ essere usato in
precisi. Ne esponiamo uno come semplice esempio. due scale: A,K,Q,J,10 o 5,4,3,2,A.
168 ALBERTO SARACCOMeno Áe probabile un certo punto, piu Á esso vale. termina la mano. Altrimenti il gioco passa alla fase
Infatti nel poker all'italiana, che si gioca con meno di del
52 carte, il full vale meno del colore. Flop: vengono girate dal mazzo 3 carte che
Ci sono due diverse tipologie di poker: il cash saranno in comune a tutti i giocatori per formare il
poker e il torneo. punto. Segue un nuovo giro di puntate in cui i bui non
Il cash poker eÁ stato introdotto in Italia solo dal 18 sono piu Á obbligati a puntare, a partire da SB. Da
luglio 2011, quando Áe stato attuato il decreto legge questa fase si aggiunge un'ulteriore possibilitaÁ per i
sul gioco d'azzardo del 28 aprile 2009 volto a trovare giocatori: restare in gioco senza puntare nulla, se
fondi per le popolazioni danneggiate dal sisma de nessuno prima di loro ha puntato (busso o check). La
L'Aquila del 6 aprile 2009. Nel cash poker ad ogni fase si conclude esattamente come la precedente.
mano non si puntano chips, ma veri e propri soldi. River: viene girata un'ulteriore carta comune ai
Il torneo Áe una modalitaÁ di gioco in cui si paga una giocatori. Segue un nuovo giro di puntate con le
quota di iscrizione, si gioca con delle chips (in ugual modalitaÁ del flop.
numero per tutti i giocatori) e poi vengono distribuiti Turn: viene girata una quinta e ultima carta in
dei premi prestabiliti ottenuti dalle quote di iscri- comune a tutti i giocatori. Segue un nuovo giro di
zione. A parte una quota che il casinoÁ o il gestore del puntate con le modalitaÁ del flop.
sito trattiene (20 ), le quote di iscrizione vengono Showdown: se Áe rimasto piu Á di un giocatore in
trasformate in premi per il primo, il secondo, il terzo gioco, i giocatori non ritirati possono a turno, a
classificato. partire dall'ultimo giocatore che ha rilanciato e
La modalitaÁ cash Áe indubbiamente molto piu Á andando avanti nel senso di gioco, mostrare la loro
pericolosa, in quanto puoÁ portare a perdite notevoli mano per far vedere il loro punto, ottenuto con le 5
in poco tempo. Non Áe un caso che fosse illegale. carte fra le 7 a loro disposizione che danno la com-
Vediamo ora le fasi di gioco nel Texas Hold'Em. binazione migliore. Chi ha il punto migliore vince il
Solitamente ad un tavolo sono seduti 9-10 giocatori, piatto. Nel caso di un pareggio, il piatto si divide tra
denominati, secondo l'ordine di gioco (21 ): piccolo tutti i vincitori.
buio (small blind, SB), grande buio (big blind, Una strategia nel Poker Texas Hold'Em consiste
BB), sotto tiro (under the gun, UTG), altri giocatori nel decidere in ogni occasione cosa scegliere tra check,
UTG+1, UTG+2... e infine il bottone (button, BTN). call, fold e raise (e in questo ultimo caso, di quanto
Le fasi del Poker Texas Hold'Em sono: rilanciare). A differenza del Black Jack, in cui si ha
Pre flop: ogni giocatore seduto al tavolo riceve un'informazione completa sulle carte che al momento
due carte coperte, che solo lui puoÁ guardare. Segue sono uscite e l'unica incognita eÁ rappresentata dalle
un giro di puntate. SB e BB devono effettuare una carte che usciranno, nel Poker sono ignote anche le
puntata obbligatoria (rispettivamente di 1 e 2 volte il carte degli altri giocatori. Si possono prendere deci-
minimo stabilito per il tavolo) e a seguire ogni sioni solo basandosi sulle proprie carte, su quelle
giocatore puoÁ decidere se ritirarsi (lascio o fold), comuni e su cosa hanno fatto gli altri giocatori (22).
pagare quanto necessario per restare in gioco (vedo Non eÁ pertanto possibile ± a differenza di quanto
o call) o puntare piuÁ di quanto necessario per restare fatto nel Black Jack ± calcolare con esattezza la
in gioco per forzare gli altri giocatori ad aumentare il propria probabilitaÁ di vincita ad un dato momen-
piatto (rilancio o raise). Appena si ha un giro to (23 ). Tale probabilitaÁ di vincita va stimata sulla
completo di fold e call, termina la fase. Se resta un
solo giocatore in gioco, questo prende il piatto e
Á questo il motivo dell'importanza dell'ordine di turno,
(22) E
specialmente nel pre-flop: UTG non ha nessuna informazione
a disposizione se non le proprie carte in mano, mentre BTN sa
(20) In una modalitaÁ simile a quella delle lotterie a cosa hanno deciso di fare tutti i giocatori prima di lui.
totalizzatore: la speranza di vincita eÁ data dalla percentuale (23) Ovviamente chi puoÁ vedere tutte le carte in mano ai
della quota di iscrizione che viene rimessa in premi. giocatori puoÁ calcolare tale probabilitaÁ di vincita, ed eÁ quello
(21) L'ordine di gioco eÁ fondamentale nel poker, e cambia che viene mostrato nell'iconografica quando guardiamo una
ad ogni mano. partita di Poker Texas Hold'Em in televisione.
FATE IL NOSTRO GIOCO - GIOCO D'AZZARDO E MATEMATICA 169base dell'esperienza (24 ). La matematica entra in del). Tale modello assegna ad ogni giocatore una
azione solo dopo. probabilitaÁ di arrivare primo proporzionale al nume-
Per semplificare il ragionamento, studiamo un ro di chips che il giocatore ha. Calcolare le probabi-
caso semplice, in cui siano rimasti in gioco solo due litaÁ per le altre posizioni eÁ piu
Á complesso e si basa
giocatori, entrambi con 4500 chips. Sul piatto ci sono Á
sulla probabilita condizionata.
1000 chips. Il primo giocatore va all-in, ovvero punta Proviamo a fare i conti con il modello ICM nel
tutte le sue 4500 chips. Cosa deve fare il secondo caso di un torneo con premi da 50S, 30S e 20S per i
giocatore? Per prima cosa deve stimare la sua primi tre giocatori. Siamo nella situazione dell'esem-
probabilitaÁ di vincita, sulla base della sua esperienza. pio precedente, con due giocatori restanti nella
Diciamo che la sua probabilitaÁ di vincita stimata sia mano, entrambi con 4500 chips. Sul piatto ci sono
p. PuoÁ solo ritirarsi (fold) o vedere (call), puntando 1000 chips. Il primo giocatore, A, va all-in, ovvero
tutto. Vediamo la speranza di vincita nelle due punta tutte le sue 4500 chips. Cosa deve fare il
situazioni. secondo giocatore, B?
FOLD: ritirandosi, tiene con certezza le sue 4500 Per poter rispondere dobbiamo avere le informa-
chips. E FOLD=4500: zioni anche sugli altri giocatori che ± sebbene si siano
CALL: andando a vedere, con probabilitaÁ p ritirati dalla mano ± hanno ancora chips. Supponia-
prende il piatto di 10000 chips, altrimenti perde mo ce ne siano due, C e D, rispettivamente con 500 e
tutto. E(CALL) 10000p. 4500 chips.
Se E(CALL) > E (FOLD), ovvero p > 45%, con- FOLD: il secondo giocatore si ritira, e quindi i
viene vedere, altrimenti conviene ritirarsi. L'effica- quattro giocatori hanno di fronte a loro rispettiva-
cia della strategia, come evidente, dipende soprat- mente 5500, 4500, 500 e 4500 chips. In questa
tutto da quanto il giocatore eÁ bravo a valutare la sua situazione (25 ) B ha circa il 30% di probabilitaÁ di
probabilitaÁ di vittoria sulla base delle informazioni arrivare primo, il 31% di arrivare secondo, il 32% di
che ha. arrivare terzo e il 6% di arrivare quarto e non
In un caso piu Á complicato, con piu Á giocatori vincere nulla. CioÁ corrisponde a una speranza di
ancora in gioco e con piu Á possibilitaÁ da analizzare vincita E FOLD 30; 87S.
(ad esempio perche non siamo costretti ad andare CALL: con probabilitaÁ 1 p il secondo giocatore
all-in e quindi vanno considerate svariate possibilitaÁ perde la mano, resta senza chips e arriva quarto
di rilancio), le cose si fanno piuÁ complicate. senza vincere nulla. Con probabilitaÁ p vince la mano,
Nel caso di un cash game, in cui si puntano soldi e quindi i quattro giocatori hanno di fronte a loro
veri, l'analisi finisce qui. Ma nel caso di un torneo, rispettivamente 0, 10000, 500 e 4500 chips. In questa
non siamo in realtaÁ interessati a massimizzare le situazione B ha circa il 67% di probabilitaÁ di arrivare
nostre chips, ma a massimizzare il premio vinto a primo, il 31% di arrivare secondo e il 2% di arrivare
fine torneo. Dobbiamo quindi stabilire ± una volta terzo. CioÁ corrisponde a una speranza di vincita
noti i premi per i vari piazzamenti dei giocatori ± una E(CALL) 43; 09 p S.
corrispondenza tra chips possedute dai giocatori e Se la speranza di vincita per il CALL Áe maggiore
speranza di vincita (in denaro) dei giocatori. Serve di quella per il FOLD, ovvero se p > 71; 6%, convie-
quindi associare ad ogni distribuzione delle chips tra ne vedere, altrimenti ritirarsi.
i giocatori le probabilitaÁ di ogni piazzamento per i La situazione Áe enormemente diversa da prima:
singoli giocatori. affinche andare a vedere sia conveniente in termini
Il modello di solito utilizzato per calcolare tali di chips, basta avere una probabilitaÁ maggiore del
probabilitaÁ si chiama ICM (independent chip mo- 45% di vincere la mano, ma perche lo sia in termini di
premio vinto serve una probabilitaÁ di vincita molto
piuÁ alta, superiore al 71; 6%.
(24) Questa Áe indubbiamente la parte piu Á difficile nel gioco
del poker, e la capacita Á di stimare correttamente tale probabi-
litaÁ a seconda delle situazioni Áe cioÁ che maggiormente distingue (25) Tutte le probabilitaÁ che seguono sono state calcolate
i bravi giocatori dai dilettanti. Tale valutazione si basa anche con un piccolo programmino su un foglio di calcolo. Non
sulla branca della matematica detta teoria dei giochi. scendiamo nei dettagli sul come siano calcolate.
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