Laboratori del Sapere Scientifico - Prodotto realizzato con il contributo della Regione Toscana nell'ambito dell'azione regionale di sistema

Prodotto realizzato con il contributo della Regione
Toscana nell'ambito dell'azione regionale di sistema

           Laboratori del
         Sapere Scientifico

LABORATORIO DEL SAPERE SCIENTIFICO
         I.C. BORSELLINO

  Alla scoperta dello “spazio” geometrico

         Anno Scolastico 2015-16
                Classe 3D
    Scuola secondaria I° grado L. Russo
        Docente: Rossella Battolla

Obiettivi di apprendimento
   Riconoscimento della congruenza di policubi disposti
    diversamente nello spazio
 Determinazione dell’area della superficie di diversi
  policubi mediante conteggio delle facce dei cubetti
  unitari
 Consolidamento dei concetti di area
 Scoperta del volume del solido
 Relazione tra area e volume
 Analisi di solidi di rotazione e costruzione del concetto
  di volume e area della superficie attraverso la
  costruzione di un "vestito " per gli oggetti di uso
  comune

                    ALLA SCOPERTA DELLO «SPAZIO» GEOMETRICO

Obiettivi di apprendimento

 Risoluzione di problemi in contesti diversi
 Riproduzione di figure e disegni geometrici, utilizzando in
  modo opportuno gli strumenti di misura
 Costruzione di poliedri e di piramidi
 Scoperta dell'angoloide e dei limiti di costruibilità
  attraverso l'utilizzo di materiale strutturato (Polidron)

                     ALLA SCOPERTA DELLO «SPAZIO» GEOMETRICO

Materiale utilizzato

 Carta quadrettata da 1 cm
 Cartoncino
 Riga e squadre
 Cubetti con spigolo 2cm
 Polydrom
 Materiale vario di cancelleria: penna, lapis, gomma, forbici,….

                        ALLA SCOPERTA DELLO «SPAZIO» GEOMETRICO

Approccio metodologico
 L’approccio metodologico è di tipo laboratoriale; l'insegnante è
  mediatore e promotore della scoperta attraverso domande
  stimolanti.
 La classe è suddivisa in piccoli gruppi.
 Ciascun alunno può proporre ipotesi,verificarne la validità con
  l’esperienza, e sostenere le proprie idee argomentando le scelte fatte.
 L’ obiettivo è favorire l'attivazione di strategie per la costruzione di
  competenze condivise.
 Confronto "peer to peer" per permettere il trasferimento e la
  condivisione delle conoscenze/ competenze.
 Le attività si sono svolte in classe e nel laboratorio di Scienze in un
  clima stimolante e favorevole all'apprendimento.
 Al termine delle attività gli allievi riportano e argomentano i risultati,
  scrivono riflessioni sui loro quaderni.
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                          ALLA SCOPERTA DELLO «SPAZIO» GEOMETRICO

Elementi salienti dell’approccio
                 metodologico
 Sperimentare concetti geometrici: osservazione ,
  manipolazione, costruzione, disegno.
 Modelli dinamici
 Risolvere problemi reali
 Verbalizzare l’esperienza vissuta
 Condividere con i compagni le conoscenze/competenze
  acquisite

                     ALLA SCOPERTA DELLO «SPAZIO» GEOMETRICO

Tempo impiegato:

 Per la progettazione specifica e dettagliata nella classe:
 6 ore
 Tempo-scuola: Un mese e mezzo per un totale di 12 ore;
 Per la documentazione: 10 ore
 Per la messa a punto preliminare nel Gruppo LSS: 8 ore

                       ALLA SCOPERTA DELLO «SPAZIO» GEOMETRICO

 Se nella geometria del piano non è facile cogliere la nozione di
 area che spesso viene confusa con quella di perimetro, è
 ancora più difficile, nella geometria dello spazio, rendersi conto
 del concetto di volume e superficie di un solido

 Secondo Piaget una causa sta nel fatto che nella nozione di
 volume si crea una confusione tra la quantità di materia, che è
 qualcosa di concreto, e il volume fisico, cioè lo spazio occupato.

                       ALLA SCOPERTA DELLO «SPAZIO» GEOMETRICO

Per favorire l'acquisizione del concetto di superficie e di volume
di un solido dovremmo fare due tipi di esperienza:

 Costruire solidi di ugual volume e superficie diversa

Costruire solidi di uguale superficie e volume diverso

                       ALLA SCOPERTA DELLO «SPAZIO» GEOMETRICO

Affinché gli alunni
facessero esperienza con il
materiale ho fornito ai
ragazzi cubetti incastrabili
di spigolo 2cm ed ho
lasciato che iniziassero a
combinarli tra loro
liberamente costruendo
solidi diversi.

                       ALLA SCOPERTA DELLO «SPAZIO» GEOMETRICO

I ragazzi hanno
incominciato a dare
un nome agli oggetti e
alle parti di questi,
riflettendo sulla
diversità tra il
linguaggio specifico e
quello ingenuo
(vertice- spigolo, lato-
spigolo).

                   ALLA SCOPERTA DELLO «SPAZIO» GEOMETRICO

La consegna è di
costruire tutti i solidi
composti da due cubetti.
Le figure ottenute sono
tutte uguali?
La risposta è sì perché è
sempre possibile
portare un solido al
posto di un altro con un
movimento rigido

                 ALLA SCOPERTA DELLO «SPAZIO» GEOMETRICO

Quante e quali diverse configurazioni si possono ottenere
incastrando tre cubetti?

                    ALLA SCOPERTA DELLO «SPAZIO» GEOMETRICO

Ai ragazzi viene ora
chiesto di costruire un
cubo di spigolo 3
utilizzando le
configurazioni ottenute
unendo tre cubetti:
a) solo conformazione a
trenino
b) trenini e solidi angolari
c) solo solidi angolari

                        ALLA SCOPERTA DELLO «SPAZIO» GEOMETRICO

Questo tipo di attività
ha dato la possibilità di
lavorare con il calcolo
combinatorio, e ha
spinto gli studenti ad
una prima
introduzione del
linguaggio algebrico
dopo aver stabilito
l’associazioni tra
l’oggetto reale e la sua
rappresentazione.

                     ALLA SCOPERTA DELLO «SPAZIO» GEOMETRICO

Quante configurazioni è possibile ottenere con quattro
cubetti?
Utilizzando il materiale hanno potuto comporre tutte le
diverse configurazioni. Con quattro cubetti i ragazzi si sono
trovati nella situazione di considerare due solidi congruenti
perché si corrispondono in una simmetria speculare, ma che
non è possibile portare uno al posto dell’altro con un
movimento rigido.

                    ALLA SCOPERTA DELLO «SPAZIO» GEOMETRICO

La proposta di lavoro
successiva è stata:
“Ciascuno dei solidi costruiti
 è formato da 4 cubetti. Si
 possono formare cubi di
 spigolo due unendone due
 alla volta?”
Sara afferma: “ Sì, si
possono costruire ma solo
con le composizioni angolari
o con quelle costituite da
parallelepipedi (2,2,1)

                          ALLA SCOPERTA DELLO «SPAZIO» GEOMETRICO

È possibile costruire un cubo di spigolo 3 utilizzando
policubi costituiti da quattro cubetti?
La risposta, sebbene intuitiva, non è stata immediata e
dopo un tentativo di costruzione che non ha dato esito, c’è
stata una riflessione:
Sara: ”….ho dedotto che ciò non è possibile perché in
questo cubo ho 27 cubetti . 27:4= 6,75 che non è un
numero intero. Quindi 4 non è divisore di 27 “
In un altro contesto, puramente teorico l’allieva non
avrebbe avuto bisogno di “riflettere” e di “dedurre” ma
avrebbe risposto automaticamente.
L’attività pratica ha portato il problema a livello
metacognitivo, da un percorso altrimenti automatico.

                  ALLA SCOPERTA DELLO «SPAZIO» GEOMETRICO

Per migliorare la
“visione” di un solido,
ho proposto alcuni
esercizi in cui era
necessario ricostruirne
uno, partendo dalla
sua rappresentazione
sul piano dai diversi
punti di vista (di lato,
di fronte, dall’alto).
Questa attività
introduce inoltre,
anche se in modo non
esplicito, le tre
dimensioni di un
solido.

                     ALLA SCOPERTA DELLO «SPAZIO» GEOMETRICO

In questa attività
l’obiettivo era
consolidare l’idea
che un
parallelepipedo,
sebbene
composto dallo
stesso numero di
cubetti, potesse
avere forma
diversa, e quindi
dimensioni
diverse.

              ALLA SCOPERTA DELLO «SPAZIO» GEOMETRICO

Le domande a cui hanno dovuto rispondere i ragazzi
sono state:
Quanti e quali sono i parallelepipedi che si possono
costruire con 27 cubetti?
L’area della superficie cambia nei diversi
parallelepipedi? Come?
E con 19 cubetti?
Immediatamente hanno risposto all’ultimo quesito
dicendo che se ne poteva costruire uno solo perché 19
è un numero primo e si ottiene un solido (19,1,1).

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Più interessante è stato il lavoro che hanno fatto per
rispondere al primo gruppo di domande; intanto hanno
costruito una tabella in cui riassumere tutte le possibili
combinazioni.
Si sono confrontati sul fatto che una delle combinazioni
(3,3,3) corrispondesse ad un cubo e alcuni sollevato il
dubbio questo fosse un parallelepipedo.
Hanno detto che come il quadrato è un rettangolo
particolare anche il cubo doveva essere un caso
particolare.
Alcuni hanno avuto la necessità di approfondire e hanno
dato al cubo il nome di solido platonico.

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Ancora una volta analizzando la tabella,come fatto per il
solido composto da 24 cubetti, i ragazzi si accorgono che,
pur restando costante il volume, l’area della superficie varia
da un massimo ad un minimo e che questo ultimo coincide
con l’area del cubo.
Evidenziano essi stessi un parallelismo con il quadrato che
tra i rettangoli equiestesi ha il perimetro minore.

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Mentre nell’attività precedente
avevano ottenuto il valore dell’area
contando il numero di facce del
solido costruito con 24
cubetti(4,3,2), ora devono
ottenere una formula generale da
poter utilizzare tutte le volte che
hanno un solido di questo tipo.
Come si può vedere nell’immagine
a lato e in quella successiva,
l’alunna procede indicando i
tentativi per raggiungere
l’obiettivo. Interessante è leggere
come giustifica il suo percorso,
fatto insieme ai compagni.

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È molto interessante che
l’alunna analizzi quale sia stata la
sua difficoltà iniziale e come
abbia cercato una soluzione per
indicare nel modo più efficace le
aree delle diverse superfici.
Riconosce alla scrittura algebrica
un valore fondamentale per
tenere sotto controllo tutti i
passaggi.
Al termine dichiara di essere,
“alla fine”, riuscita a passare da
una formula ”grossolana” ad una
formula sintetica e chiara.

                           ALLA SCOPERTA DELLO «SPAZIO» GEOMETRICO

Questo allievo, sempre del
solito solido, ne fa lo sviluppo
sul quaderno. Dall’ uso della
pagina si capisce che non ha
idea di quanto sarà grande e
sviluppa il disegno sfruttando
in modo inadeguato la pagina
a disposizione.
Usa però le lettere in modo
corretto anche se non
immediatamente come
racconta il ragazzo
nell’argomentazione
successiva.

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Anche lui descrive il percorso
fatto: prima capisce che per
trovare l’area della superficie
basta calcolare l’area di tre facce,
sommarla e raddoppiarla.
Dice di aver messo però da parte
questo procedimento non appena
ha dato il nome alle tre
dimensioni chiamandole a,b,c.
Si è reso conto che l’area del
parallelepipedo non è altro che la
somma di due rettangoli più
grandi che si vedono nello
sviluppo meno il rettangolo che
hanno in comune.

                        ALLA SCOPERTA DELLO «SPAZIO» GEOMETRICO

L’alunno passa quindi ad
una scrittura algebrica
sviluppando una formula
iniziale, operando
semplificazioni,
utilizzando un linguaggio
personale, chiamando
l’area di base ”area
basilare”.
Per verificare la bontà
della formula calcola
l’area di solidi con spigoli
scelti a suo piacere.

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Lo scopo dell’attività
successiva è quella di
favorire la formalizzazione
di procedure partendo da
situazioni problematiche.
Ho fornito ai ragazzi, divisi
in gruppi, un solido tra
quelli presenti nel nostro
laboratorio di Scienze e ho
chiesto di calcolarne l’area
della superficie.
Ho chiesto inoltre che
provassero a scrivere una
formula generale.

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Hanno cominciato a misurare gli oggetti per poterli
rappresentare sul quaderno, ma per alcuni di questi
oggetti non era facile rappresentarne lo sviluppo.
Ho quindi suggerito di “fare il vestito del solido” con la
carta che avevano a disposizione

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Matteo affronta il problema considerando
i singoli triangoli ma nello sviluppare le
formule, relative all’altezza della faccia del
tetraedro, inizia introducendo la lettera l
per indicare il lato del triangolo equilatero
e nel passaggio successivo compare al
posto di l la lettera s(per spigolo?).
Arriva alla formalizzazione del
procedimento ma sebbene sia stato uno
dei più precoci nell’uso della simbologia
algebrica e nel pensiero astratto dimostra
ancora difficoltà a gestire la nomenclatura
dei solidi.

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L’alunna traccia sul “vestito” del
tetraedro le quattro facce del
solido e per ciascuna di loro ne
disegna l’altezza. Si rende conto
che lo sviluppo è un triangolo
equilatero in cui il lato
corrisponde al doppio dello
spigolo del tetraedro e che
anche l’altezza è il doppio
dell’altezza di ogni singola faccia
e arriva ad una formalizzazione
personale

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Giungere invece alla formula
relativa all’area di un cilindro è
stato più intuitivo rispetto al
caso del parallelepipedo.
Più allievi, anche se il disegno
non è molto curato, hanno
ottenuto il prodotto finale. In
uno dei due esempi la
studentessa padroneggia la
proprietà distributiva e mette
a fattore 2π dimostrando di
saper utilizzare il linguaggio
algebrico.

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Introdurre il tetraedro, caso
particolare di piramide, ci porta
ad esplorare questo tipo di
solido, caratterizzato da una sola
base e dall’angoloide vertice del
solido.
Ho fornito ai ragazzi triangoli
equilateri, isosceli (α ≈40°)e
isosceli rettangoli, per far
scoprire quali sono le condizioni
necessarie affinché
dall’intersezione di
piani(rappresentati dai triangoli)
si possano costruire diedri e
angoloidi.

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Unendo sei triangoli
equilateri ottengono
un esagono regolare
appartenente al
piano

                       E se uniscono degli esagoni regolari
                       nuovamente non ottengono un angoloide
                       ma una “tassellazione” del piano.
                       Concludono che la somma degli angoli, al
                       fine di costruire un angoloide, deve
                       essere minore di 360°.

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È subito chiaro che con triangoli
rettangoli possiamo avere un
solo caso e che il numero
massimo di triangoli e minimo
coincidono. L’ampiezza
dell’angoloide sarà quindi 270°.

                      ALLA SCOPERTA DELLO «SPAZIO» GEOMETRICO

ALLA SCOPERTA DELLO «SPAZIO» GEOMETRICO

Un allievo inizia a
combinare insieme dei
quadrati e dopo aver
osservato che ha
ottenuto “metà” cubo a
voce alta dichiara, quasi
sorpreso: “ Ma allora
ogni vertice di un solido
è un angoloide”.

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Verifica finale

Negli esempi di tre alunni diversi si
evidenzia uno stile che precedentemente
non c’era:
 l’uso di rappresentazioni dei vari casi
 strategie per la risoluzione
 argomentazione scritta per giustificare la
  risoluzione di problemi.

ALLA SCOPERTA DELLO «SPAZIO» GEOMETRICO

Verifica degli apprendimenti

 Discussione all’interno dei
  gruppi e condivisione di
  quanto appreso.
 Argomentazione scritta
  delle scelte fatte
 Problem solving
 Questionario in itinere
 Questionario finale

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Risultati ottenuti
 L’attività proposta ha stimolato l’interesse e la motivazione alla
  partecipazione di tutti gli alunni, e spesso nei gruppi con allievi
  in difficoltà si sono avuti i migliori risultati.
 Allo stesso tempo ha dato loro l’opportunità di parlare di
  geometria e di riflettere sulla geometria.
 La necessità di argomentare le loro osservazioni e sostenere le
  loro ipotesi li ha avvicinati al linguaggio algebrico, che si è
  rivelato uno strumento potente per formalizzare le idee.
 L’uso del materiale strutturato e non, ha favorito il
  comprendere il diverso “punto di vista” dell’osservatore e
  quindi la necessità di utilizzare un linguaggio condiviso che non
  generi fraintendimenti.

                        ALLA SCOPERTA DELLO «SPAZIO» GEOMETRICO