Elettromagnetismo Università degli Studi di Milano
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Elettromagnetismo
Prof. Francesco Ragusa
Università degli Studi di Milano
4.10.2021
Introduzione
Anno Accademico 2021/2022
Introduzione
• In questo corso tratteremo argomenti quali
• Carica elettrica: forze fra cariche a riposo: elettrostatica
• Correnti elettriche stazionarie: forze magnetiche: magnetostatica
• Campi elettrici e magnetici nella materia
• Induzione elettromagnetica
• Equazioni di Maxwell. Onde elettromagnetiche: elettrodinamica
• ………
• Incontreremo nuove grandezze fisiche, nuovi concetti
• La carica elettrica e la sua conservazione
• Analisi del concetto di azione a distanza e il concetto di campo
• Le trasformazioni delle grandezze elettromagnetiche fra sistemi inerziali
• La Teoria della Relatività Ristretta
• ………
• Avremo bisogno di strumenti matematici avanzati
• Analisi vettoriale: calcolo integrale e calcolo differenziale
• Gradiente, Rotore, Divergenza, Laplaciano; Teoremi vari
• Equazioni differenziali alle derivate parziali
• Trasformate di Fourier
• ………
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 2
Introduzione
• Si tratta di un corso lungo e complesso
• È un corso fondamentale nella formazione di un fisico
• Richiede l'uso di matematica avanzata ma allo stesso tempo la capacita di
distinguere fra la matematica e la fisica
• È indispensabile acquisire la capacità di risolvere problemi
• La capacità di risolvere problemi dipende in modo essenziale dal riuscire a
formulare un modello fisico del sistema e del problema proposto
• Solo dopo aver definito e capito il modello si può capire quali leggi (e quali
formule) vanno usate
• Separare lo studio della parte "teorica" dalla parte "applicativa degli
esercizi" è un grave errore
• Il corso assorbirà molto del vostro tempo di questo anno
• Usate i docenti del corso per rendere più efficiente il vostro studio
• Chiedete durante le lezioni o dopo, o durante le ore di ricevimento
• Superate la paura di fare cattiva figura o di venire giudicati male
• Ripeto: è un corso complesso ed è normale che si incontrino tantissime
cose che non si sanno o che si sono sottovalutate al primo anno
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 3
Introduzione
• Il corso prevede tre lezioni settimanali
• Lunedì 10:30-12:30 Lezione Prof. Francesco Ragusa
• Mercoledì 8:30-10:30 Esercitazione Prof. Giancarlo Maero
• Giovedì 10:30-12:30 Lezione Prof. Francesco Ragusa
• Il corso prevede in totale 15 CFU
• 10 CFU di lezioni: 80 ore 20 settimane
• 5 CFU di esercitazioni 50 ore 25 settimane
• Cercheremo di rimanere entro le 13+13 settimane dei due semestri
• Ci sarà una pausa nelle lezioni nel periodo degli appelli invernali
• Il corso è annuale. L'esame finale verterà su tutto il programma del corso
• Gli appelli inizieranno nella sessione estiva
• 6 appelli in totale secondo il calendario ufficiale
• Verrà reso noto appena il collegio didattico fisserà le date
• L'esame consiste di uno scritto e di un orale
• Lo scritto vale solo per l’appello di esame a cui si riferisce
• Giugno-Luglio
• Settembre
• Gennaio-Febbraio
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 4
Introduzione
• Nello studio di questo corso (ma anche di altri …) riteniamo importante
• Studiare e fare esercizi mentre si frequentano le lezioni
• Non considerare separate "Teoria" ed "Esercitazioni"
• Avere dei momenti di verifica intermedi
• Stiamo valutando se fare due prove in itinere
• Una verso la fine del primo semestre
• Una intorno a metà maggio
• Una possibile alternativa sono prove di autovalutazione in modalità remota
• Se ci saranno problemi di capienza aule per la pandemia
• Ogni prova verte sul programma del semestre in corso
• I compiti saranno risolti in aula
• Verranno forniti i criteri per l'autovalutazione
• Se arriverete ad una autovalutazione negativa dovrete capire
dove state sbagliando
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 5
Ore di studio
•1 CFU lezione
• 8 ore di lezione
• 17 ore di studio
•1 CFU esercitazioni
• 10 ore di esercitazioni in aula
• 15 ore di studio
• 60 CFU pari circa a 480 ore di lezione
• 120 giorni di lezione a 4 ore al giorno
• 24 settimane 5 giorni settimane
• 60 CFU pari a 1020 ore di studio
• 255 giorni 4 ore di studio al giorno, oltre le lezioni
• 4 ore al giorno per tutto l'anno esclusi i sabati e le domeniche
• Molto intenso … forse troppo … sono le disposizioni ministeriali
• Il corso di elettromagnetismo
• 10 CFU Lezioni pari a 170 ore di studio
• 5 CFU di esercitazioni pari a 75 ore di esercizi
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 6Rimandare l'esame?
N Matricola SCRITTO FINALE N Matricola SCRITTO FINALE
1 811XXX SUFF RES 1 828XXX INS RES
2 811XXX 19 RES
3 828XXX INS RES
2 830XXX INS RES
4 830XXX INS RES 3 832XXX INS RES 2014
214
5 832XXX 24 27 4 848XXX INS RES
6 832XXX SUFF RIT 5 850XXX INS RES
7 835XXX INS RES
6 866XXX 24 23.0
8 848XXX INS RES
9 866XXX INS RES 7 867XXX INS RES
10 867XXX INS RES 8 867XXX INS RES 2015
11 867XXX 21 25 9 872XXX INS RES
12 867XXX INS RES 2015 10 877XXX INS RES
13 867XXX INS RES
14 872XXX 18 RES
11 885XXX 25 27.0
15 875XXX INS RES 12 885XXX INS RES
16 885XXX 18 RIT 13 885XXX 19 25.0
17 886XXX INS RES 14 885XXX 20 27.0 2016
18 886XXX INS RES
2016 15 885XXX INS RES
19 886XXX 19 24
20 887XXX 21 18 16 886XXX INS RES
21 891XXX 18 22 17 886XXX INS RES
22 907XXX 18 RIT 18 903XXX 19 23.0
23 907XXX 28 30 19 903XXX 29 30L
24 907XXX 27 30L
20 907XXX SUFF RIT
25 908XXX INS RES
26 912XXX 21 26 21 907XXX SUFF RIT
27 912XXX INS RES 22 907XXX 19 27.0
2017 2017
28 916XXX 25 30 23 908XXX SUFF RIT
29 916XXX 24 25 24 908XXX 27 30.0
30 916XXX INS RES
31 918XXX 21 25
25 912XXX INS RES
32 918XXX 23 23 26 916XXX 29 26.0
33 919XXX 27 27 27 916XXX 24 26.0
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 7Introduzione
• Libri di testo
• P. Mazzoldi - M. Nigro - C. Voci
Fisica Volume II
Edises
• David Griffiths
Introduction to electrodynamics,
fourth ed.
Pearson; 4th ed. (2012)
• Sembra che contenga molti errori
• Cambridge; 4th ed. (2017)
• David Griffiths • Sembra OK
Introduction to electrodynamics, third ed.
Prentice Hall; 3rd edition (1999)
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 8Introduzione
• Libri per consultazione
• Richard P. Feynman
The Feynman Lectures on Physics, Vol. II
varie edizioni; di recente
Basic Books; New Millennium edition (2011)
• Edizione online ad accesso libero
• http://www.feynmanlectures.caltech.edu/
• Edward M. Purcell, David J. Morin
Electricity and Magnetism, third edition
Cambridge University Press;
3 edizione (21 gennaio 2013)
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 9Introduzione
• Le diapositive del corso sono disponibili in formato PDF
• Consultare l'indirizzo
• http://www.mi.infn.it/~ragusa/2021-2022/elettromagnetismo/
• Sono disponibili le diapositive dello scorso anno
• http://www.mi.infn.it/~ragusa/2020-2021/elettromagnetismo/
• Le diapositive saranno disponibili PRIMA della lezione
• Cercherò di rendere disponibili le diapositive delle due lezioni
• Le lezioni saranno inoltre registrate
• Allo stesso indirizzo, nella directory /registrazioni, dopo la lezione, sarà
disponibile un file in formato mp4 che contiene la registrazione della lezione
• Potete avere un colloquio con noi in qualsiasi momento
• Fissare un appuntamento via e-mail
• Francesco.Ragusa@unimi.it, Giancarlo.Maero@unimi.it
• Ribadisco …
• UTILIZZATE la possibilità di colloquio con i docenti
• La materia è complessa, è normale non capire subito alcune cose
• Non abbiate timore di essere giudicati
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 10Alfabeto greco α Α alfa ι Ι iota ρ Ρ rho β Β beta κ Κ kappa σ Σ sigma γ Γ gamma λ Λ lambda τ Τ tau δ Δ delta μ Μ mu/mi υ Υ upsilon ε Ε epsilon ν Ν nu/ni φ Φ fi ζ Ζ zeta ξ Ξ xi χ Χ chi η Η eta ο Ο omicron ψ Ψ psi θ Θ theta π Π pi ω Ω omega
Elettromagnetismo
Prof. Francesco Ragusa
Università degli Studi di Milano
Lezione n. 1 – 4.10.2021
Struttura elettrica della materia
Elettrostatica. Legge di Coulomb
Anno Accademico 2021/2022La Forza Elettrica
• La Forza Elettrica si manifesta in fenomeni noti fino da tempi molto antichi
• Oltre lo spettacolare fenomeno del fulmine erano noti
agli antichi scienziati greci altri fenomeni interessanti
• Elettrificazione di oggetti mediante strofinamento
• Forze attrattive e forze repulsive
• La stessa parola elettricità deriva dalla parola
ηλεκτρον (electron) che in greco significa ambra,
uno dei primi materiali studiati e che può essere facilmente elettrificato
• Solo in tempi relativamente recenti si è scoperto che moltissimi altri
fenomeni di cui abbiamo esperienza quotidiana sono dovuti alla forza
elettrica
• Dal congelamento dell’acqua al battito cardiaco
• Gli scienziati del XIX secolo (Ampere, Faraday, Maxwell …) hanno formulato
la teoria dell’elettromagnetismo come la conosciamo oggi
• La teoria dell’elettromagnetismo ha poi condizionato gli studi di chimici e
fisici che hanno scoperto la struttura della materia
• Non seguiremo la storia dell’elettricità
• Inizieremo dai risultati degli studi di Coulomb della seconda metà del ‘700
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 13L’Elettromagnetismo Classico
• In questo corso studieremo l’elettromagnetismo classico
• La parola "classico" è intesa nel senso di "non quantistico"
• L'Elettromagnetismo Classico che studieremo è in pratica la formulazione
di Maxwell della metà del 1800, prima dell'avvento della meccanica
quantistica
• La teoria di Maxwell è sopravvissuta piuttosto bene alla rivoluzione della
meccanica quantistica
• L'Elettromagnetismo Classico non ha richiesto revisioni neppure a seguito
dell'introduzione della Teoria della Relatività Ristretta
• Piuttosto, storicamente, è stata la Teoria della Relatività Ristretta
che è nata dall'Elettromagnetismo Classico
• Le Equazioni Maxwell, formulate prima del lavoro di Lorentz e di Einstein,
sono già compatibili con la Teoria della Relatività Ristretta
• L'Elettromagnetismo Classico non ha richiesto modifiche sostanziali fino a
distanze dell'ordine di 10−12 m, circa 1/100 della dimensione dell'atomo
• Per distanze inferiori è necessaria una teoria che fonda l'elettromagnetismo
con i principi della meccanica quantistica
• Elettrodinamica Quantistica, una delle teorie più precise mai formulate
• Teoria Quantistica dei Campi ⎪⎧⎪ 0.002 331 841 21 ± 0.000 0 00 000 82 esperim.
g −2 = ⎨
⎪⎪ 0.002 331 836 20 ± 0.000 000 000 86 teoria
⎩
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 14Struttura elettrica della materia
• Come già accennato, uno dei primi fenomeni legati all'elettricità che ha
attratto l'attenzione dell'uomo è l'elettrificazione per strofinamento
• Esistono delle sostanze (oggi classificate come isolanti) che, se sottoposte a
strofinamento, ad esempio con un panno, esibiscono la
capacità di attrarre o respingere altri oggetti
• Ad esempio, due barrette di bachelite strofinate
con un panno si caricano e si respingono
• Una barretta di bachelite e una di vetro strofinate
con un panno si caricano e si attraggono
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 15Struttura elettrica della materia
• Questi esperimenti mostrano alcuni fatti importanti
• Esiste una forza fondamentale
• Oltre alla forza gravitazionale
• Oggi aggiungiamo oltre alla forza debole e alla forza nucleare forte
• Questa forza può essere attrattiva o repulsiva
• La sorgente di questa forza è la carica elettrica
• La carica elettrica può essere positiva o negativa
• Due cariche dello stesso segno si respingono
• Due cariche di segno opposto si attraggono
• La distinzione fra positivo e negativo è arbitraria
• Non c'è nulla di intrinsecamente positivo o negativo
• È solo la distinzione fra i due tipi di carica osservati in natura
• Gli esperimenti di elettrificazione si comprendono facilmente se si assume un
semplice modello sulla struttura della materia
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 16Struttura elettrica della materia
• La materia è composta di atomi
• L'atomo è composto da un nucleo dove risiede la
carica positiva e da elettroni, dotati di carica negativa,
che formano un stato legato con il nucleo
• In termini classici, inesatti e anche inconsistenti,
si direbbe che "orbitano" intorno al nucleo
• Il nucleo è a sua volta composto da protoni (carichi positivamente) e da
neutroni (neutri); neutroni e protoni sono detti nucleoni
• La carica elettrica del protone qp e la carica elettrica dell'elettrone qe
sono perfettamente uguali in valore assoluto
q p = +e qe = −e e = 1.602 × 10−19 C
• Un atomo è indicato con un simbolo chimico X (H, C, O, U)
• Vengono anche indicati il numero dei nucleoni A (numero di massa)
e il numero degli elettroni Z uguale al numero dei protoni Z
AX
6
12C
• L'atomo è neutro
• La notazione è ridondante
• Le proprietà chimiche ( e quindi il simbolo X ) sono determinate da Z
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 17Struttura elettrica della materia
• La massa di neutroni e protoni è molto simile
m p = 1.6726 × 10−27 Kg mn = 1.6749 × 10−27 Kg mN ≈ 1.67 × 10−27 Kg
• La massa degli elettroni è circa 1800 volte più piccola
me = 9.1094 × 10−31 Kg
• In pratica la massa di un atomo è determinata dalla massa del nucleo e in
definitiva dal numero di nucleoni A
• La dimensione di un atomo è determinata dalla
dimensione della regione occupata dagli elettroni
• Dalla "dimensione" delle orbite degli elettroni RAtomo ∼ 10−10 m
• La dimensione del nucleo è notevolmente inferiore RNucleo ∼ 10−15 m
• Gli elettroni sono particelle puntiformi Relettrone ∼ 0
• I nucleoni hanno una dimensione Rprotone ∼ 10−15 m
• Per i nostri scopi possiamo considerare anche i nucleoni puntiformi
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 18Struttura elettrica della materia
• Quanti elettroni ci sono in 1 cm3 di materia … diciamo 1 cm3 di acqua ?
• Iniziamo con una sostanza molto semplice, l'idrogeno 1
1H
• Approssimiamo la massa di un atomo di idrogeno con quella del protone
• Trascuriamo la massa dell'elettrone e la correzione
derivante dall'energia di legame
• L'energia di legame atomica è trascurabile
• L'energia di legame del nucleo ha un piccolo effetto (non per 11 H )
• Una mole di idrogeno monoatomico pesa un grammo
m p = 1.67 × 10−27 Kg N A = 6.022 × 1023
M H = N A × m p = 1.67 × 10−27 × 6.022 × 1023 = 1.006 × 10−3 Kg ≈ 1 g
• Quindi una mole di sostanza di numero di massa A pesa A grammi
• Inoltre, se una sostanza ha densità ρ g/cm3 allora ρ/A (A grammi di sostanza)
dice quante moli ci sono per cm3
• Notiamo che dimensionalmente A in questa formula rappresenta una massa
• Per ottenere il numero di atomi per cm3 basta moltiplicare ρ
il numero di moli per cm3 per il numero di Avogadro ρatomi = N A
A
• Per finire, se l'atomo ha Z elettroni
• Notiamo che per nuclei non molto pesanti Z/A ≈ 1/2 ρ
ρelettroni = Z NA
A
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 19Struttura elettrica della materia
• Tornando alla domanda iniziale, la densità di elettroni nell'acqua
• Il peso atomico della molecola d'acqua è H2O A = 16 + 2= 18
• Il numero degli elettroni Z = 8 + 1 + 1 = 10
• La densità dell'acqua è 1 g/cm3
ρ 1
ρelettroni = Z N A = 10 6.022 × 1023 = 3.35 × 1023 el . / cm 3
A 18
• Si tratta di un numero estremamente elevato
• A livello macroscopico, trattare la carica della materia come una grandezza
che varia in modo continuo e non discreto è un'ottima approssimazione
• Consideriamo un cubo di lato 1 μm
• Un volume estremamente piccolo su scala macroscopica
• 1 cm = 104 μm
• 1 μm3 = 10−12 cm3
• Un'ottima approssimazione di volume infinitesimo dv = dxdydz
• Contiene comunque un numero enorme di elettroni ρelettroni = 3.35 × 1011 el . / μm 3
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 20Struttura elettrica della materia
• La materia è composta di atomi tenuti insieme da forze elettriche
ed effetti quantistici
• Sotto opportune condizioni lo strofinamento di due sostanze diverse o
addirittura il loro semplice contatto provoca il passaggio di elettroni
da una sostanza all'altra
strofinamento
• La sostanza che perde elettroni diventa carica positivamente
• La sostanza che acquista elettroni diventa carica negativamente
• Queste semplici considerazioni permettono di comprendere qualitativamente gli
antichi esperimenti dell'elettrificazione della materia
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 21La Legge di Coulomb
• L'interazione fra le cariche elettriche a riposo è descritta dalla
Legge di Coulomb
• I risultati degli studi di Coulomb sono
• Le cariche hanno due segni, convenzionalmente
segno positivo e segno negativo
• Le forze sono dirette lungo la linea congiungente le due cariche
• Cariche di segno uguale si respingono
• Cariche di segno opposto si attraggono
F2 q2
• Il modulo della forza è proporzionale al
prodotto delle due cariche (modulo)
F1
• Il modulo della forza è inversamente r
proporzionale al quadrato della distanza
• Il modulo della forza è q1
q1q 2
F1 = F2 = k stiamo supponendo che le dimensioni delle
2
r cariche siano trascurabili rispetto a r
• Le forze obbediscono alla terza legge di Newton: F1 = − F2
• Discuteremo fra breve la costante k
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 22La Legge di Coulomb
• Esprimiamo la Legge di Coulomb in forma vettoriale
• Introduciamo un sistema di coordinate
• I vettori posizione delle due cariche r1 e r2
• Il vettore differenza rij giace sulla retta y
che congiunge le due cariche: rij = ri − rj
r2 = r1 + r21 F2
• Il versore della congiungente
ˆr21
rij rij r21
ˆrij = =
rij rij
F1 r2
• Per un generico vettore w r1
w =w = wx2 + wy2 + wz2
• La Legge di Coulomb è x
q1q 2 q1q 2
F1 = k ˆr12 F2 = k ˆr21
r122 r122 z q1q 2 r
12
q1q 2
F1 = k =k 3
r12
2 r
r12 12
( r122 x + r122 y + r122 z )2
• Ovviamente ˆr12 = −ˆr21 F1 = −F2
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 23La Legge di Coulomb
• Il fatto che la forza di Coulomb sia diretta lunga la retta che passa per le
posizioni delle due cariche è conseguenza dell'isotropia dello spazio
• Consideriamo la forza fra due cariche come prevista dalla legge di Coulomb
• Qualsiasi altra direzione violerebbe l'isotropia dello spazio
• Infatti, se la forza fosse diretta in un'altra direzione arbitraria …
• … esisterebbero infinite altre direzioni possibili tutte equivalenti
• Differenti per una rotazione intorno alla congiungente
• Ma una legge fisica deve individiduare una sola direzione
• Se la forza fosse diretta lungo una sola delle infinite direzioni equivalenti
allora esisterebbe una direzione privilegiata nello spazio
• Lo spazio non sarebbe isotropo
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 24La Legge di Coulomb
• La costante k dipende dal sistema di unita di misura
• Dipende anche dalle proprietà del mezzo che separa le cariche
• Per il momento supponiamo che le cariche siano nel vuoto
• Utilizzeremo il Sistema Internazionale di unita di misura (SI)
• Nel Sistema Internazionale la carica elettrica
è una grandezza fisica fondamentale Tempo T s
Lunghezza L m
• La sua unita di misura è il Coulomb Massa M Kg
• Nel Sistema Internazionale la costante k vale Carica Q C
9 Nm2
k = 8.988 ⋅ 10
C2
• La carica elementare (carica dell'elettrone) è e = 1.602 ⋅ 10−19 C
• La costante k viene ridefinita nel modo seguente
1 −12 C2
k = ε0 = 8.854 ⋅ 10
4πε0 Nm2
• La costante ε0 prende il nome di costante dielettrica del vuoto
o permettività elettrica del vuoto (o anche permittività)
• Il fattore 4π semplifica alcune equazioni: ad esempio la legge di Gauss
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 25Linearità della Forza Elettrica
• Un'altra importante proprietà della Forza Elettrica è la linearità
• Non è contenuta esplicitamente nella legge di Coulomb
• Deriva dalle osservazioni sperimentali
• Supponiamo di avere tre cariche: q1, q2, q3
• Misuriamo la forza fra due cariche con la terza posta
a distanza infinita in modo che non influisca sulla forza fra le altre due
• q3 in rA e q2 in rB (q1 posta all'infinito) y
• q3 in rA e q1 in rC (q2 posta all'infinito)
• La forza fra q3 in rA e q2 in rB (q1 a infinito)
F32 rB
q 3q 2 F
F32 = k ˆrAB rC
2
rAB F31
rA
• La forza fra q3 in rA e q1 in rC (q2 a infinito)
q 3q1
F31 = k ˆrAC z x
2
rAC
• Se adesso misuriamo la forza fra q3 in rA e q1 e q2
contemporaneamente in rB e in rC misuriamo F
q 3q1 q 3q2
• La F risulta F = F31 + F32 F=k ˆrAB + k ˆrAC
2 2
rAB rAC
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 26Linearità della Forza Elettrica
• La proprietà appena illustrata vale per un numero arbitrario di cariche
• Indipendentemente dal numero di cariche presenti nel sistema in esame
• La legge di Coulomb permette di calcolare la forza fra ogni coppia di
cariche
• La forza su una data carica si trova sommando (sovrapponendo) le forze di
tutte le altre cariche accoppiate una a una, indipendentemente dalle altre
con la carica data
• Questa è la base del Principio di Sovrapposizione che vale per i sistemi lineari
• Un sistema con N cariche nel quale vogliamo calcolare la forza su una data
carica, diciamo q1 dovuta alle restanti N − 1 cariche può essere pensato
come la sovrapposizione di N − 1 sistemi indipendenti
• Un sistema per ogni coppia di cariche (q1, qj) j = 2 … N
• Ogni singolo sistema si risolve semplicemente (legge di Coulomb)
• L'effetto totale su q1 è la sovrapposizione dei singoli effetti
• Utilizzeremo ancora il principio di sovrapposizione
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 27Puoi anche leggere
