Capitolo 2: Il Paradgma Il Meccanicismo - Armonicamente 4.0 Arte

Capitolo 2: Il Paradgma

Il Meccanicismo

 Da Newton in poi, si pensava che il mondo funzionasse come un perfetto meccanismo, come
se fosse un orologio perfetto, che scandiva il tempo della vita di ogni soggetto e del mondo stesso.
Lo studio della Meccanica come scienza sperimentale, inventata alla fine del XVII secolo da
Newton, e perfezionata e completata da Eulero, Lagrange e Laplace nel XVIII secolo, ha dominato
la scienza dell’epoca e delle epoche successive, influenzando non solo la visione del mondo di quel
tempo, ma anche il modo in cui esso veniva rappresentato. Il Meccanicismo, supportato dagli
strumenti matematici del Calcolo Differenziale e Integrale, inventato contemporaneamente da
Newton e Leibnitz, corroborato dalle evidenze sperimentali fornite dalla Meccanica Celeste e dal
quadro unificante fornito dalle leggi di Newton, portarono gli studiosi a concludere che ogni evento
accade per una causa o in modo causale per una catena di eventi. La diretta conseguenza filosofica
del determinismo causale è che, in linea teorica, conoscendo le cause che hanno definito un evento,
si possono conoscere gli eventi successivi, pur che siano note le configurazioni iniziali.

 Nel XIX secolo, gli studi sull’evoluzione di Darwin e l’avvento delle teorie termodinamiche -
con particolare riferimento al concetto di Entropia ed all’irreversibilità di molti fenomeni, legati sia
alla vita che ai cambiamenti delle forme di energia - promuovono l’idea che il meccanicismo non
sia in grado di spiegare la complessità dei fenomeni fisici e si riveli largamente deficitario nella
spiegazione dei fenomeni legati alla vita. Fino agli anni ‘60 del secolo scorso, la Meccanica
Newtoniana, pur avendo perduto la sua centralità a causa delle due grandi teorie del XX secolo (la
Meccanica Quantistica e la teoria della Relatività Generale che si occupano rispettivamente
dell’infinitamente piccolo e dell’infinitamente grande) rimaneva ancora un’ottima descrizione dei
fenomeni comunemente osservabili.

 Invece, il mondo contiene molti fenomeni dinamici complessi che gli uomini sono incapaci di
spiegare. Quest’ inadeguatezza è di solito indicata con la parola greca caos. In termini cognitivi, il
caos identifica un’ incapacità generale di comprensione, un limite che non riusciamo a superare e
che ci appare oscuro, inafferrabile, un orizzonte che impedisce l’osservazione1. Infatti nell’antica
Grecia il termine caos era usato in antitesi alla parola cosmos, che vuol dire ordine. Il caos identifica
invece disordine, confusione, scompiglio e persino agitazione. L’uso del termine caos nella scienza
contemporanea ha avuto, in questi ultimi anni, un capovolgimento semantico. Si usa riferirsi a
fenomeni caotici e al Caos Deterministico rispetto al sistema di riferimento precedente - la
meccanica Newtoniana - . E’ difficile fare una previsione di un evento caotico, capire la sua natura
e le leggi che lo regolano, come succede invece nel mondo Newtoniano, che ha una conoscenza

1
 Il concetto di orizzonte è oggi molto utilizzato. Esistono molti tipi di orizzonte: fisico, matematico e sperimentale. Un
orizzonte fisico si realizza si realizza ad esempio nei primi stadi della formazione dell’universo, quando particolari
equilibri termodinamici impediscono ai segnali rilevabili di penetrare. Un orizzonte matematico è legato a singolarità
nelle espressioni matematiche (ad esempio quando il termine al denominatore in una equazione va a zero). Il modello
utilizzato perde allora completamente di significato. Un orizzonte sperimentale è legato a vari aspetti, come quando la
predisposizione di un esperimento richiede un’energia tale che risulta impossibile da ottenere in Laboratorio. E’ il caso
degli esperimenti sulle alte energie che indagano la struttura delle particelle elementari o la natura profonda dei processi
cosmologici. Oppure richiedono una precisione strumentale non disponibile in quella data situazione.

infinita delle dinamiche celesti. Nella scienza contemporanea, di conseguenza, il caos identifica una
serie di fenomeni fisici, sociali, economici, psico-comportamentali, il cui comportamento non è
descrivibile in modo analitico ed il settore attira sia ricercatori sia persone curiose, desiderose di
informarsi sull’argomento. La Teoria del Caos è uno dei paradigmi forti e dominanti nel panorama
della scienza contemporanea.

L’avvento del Caos
 Nei primi anni ’60 del XX secolo, in un centro di ricerca americano per le osservazioni
meteorologiche (il Massachusetts Institute of Technology, a Cambridge, Massachusetts), avviene un
avvenimento del tutto casuale, grazie a cui il termine ‘caos’ entra a far parte del linguaggio
scientifico. Edward H. Lorenz, come molti altri meteorologi prima di lui, stava cercando di costruire
modelli per la previsione del tempo. Partendo da un set assai complesso di equazioni differenziali 2,
relative ai fluidi che regolano i fenomeni meteorologici, costruisce un modello matematico, basato
su solo tre equazioni differenziali ordinarie, alcune delle quali presentano termini non lineari. Non
esistendo a quei tempi tecniche matematiche in grado di risolvere queste equazioni, Lorenz utilizza
un computer e durante la simulazione fa una scoperta inaspettata. A differenza delle equazioni
lineari, le equazioni non lineari possono essere risolte analiticamente solo in rari casi. Per cui,
devono essere integrate in forma approssimata attraverso processi iterativi, utilizzando il computer,
Questo modo di procedere appartiene alle metodiche dell’Analisi Numerica, che sviluppa concetti,
metodi e strumenti basati su algoritmi, per la risoluzione di problemi matematici.

 Replicando per sbaglio la stessa simulazione, Lorenz si accorge di aver cambiato di molto
poco, e in modo casuale, i dati iniziali, approssimando solo alcune delle dodici variabili del
programma, prima a sei cifre decimali, poi a tre, con uno scarto minimo tra la prima e la seconda
simulazione. Le due previsioni sono nettamente differenti, anche se si differenziano solo per
qualche cifra decimale. Nella prima simulazione la previsione dà come risultato una piccola
perturbazione, nella seconda il risultato è completamente alterato. Non solo, i due risultati si
differenziano tra loro per vari ordini di grandezza.3

 Il risultato ottenuto da Lorenz è sconvolgente nel quadro della Meccanica Newtoniana! In
Fisica è ben noto che, se un evento avviene ad una determinata scala (spaziale o temporale), i
fenomeni su scala inferiore sono quasi sempre trascurati. Se si descrive il moto della Terra attorno
al Sole, i moti che avvengono al livello della scala terrestre (moti di macchine, aerei, persone,
animali), sono trascurati. Anche moti più importanti, come il moto di rivoluzione della Luna o il
moto di rotazione della Terra, non influiscono, se non in modo trascurabile, sul moto di rivoluzione
terrestre. E’ proprio la possibilità di trascurare i fenomeni che avvengono su scala differente che
rende la Meccanica Newtoniana così funzionale. Questo approccio esemplificativo è noto come
riduzionismo newtoniano, ed è comune a molti settori della Fisica. In questo contesto, una piccola

2
 A partire da Newton, i modelli matematici relativi alle Teorie Empiriche, cioè teorie capaci di interpretare fenomeni
fisici, hanno utilizzato il calcolo differenziale e integrale (scoperto da Leibniz contemporaneamente a Newton). Data
una grandezza fisica, un’equazione differenziale mette in relazione il valore della grandezza alle sue variazioni. Una
relazione di questo tipo si chiama “equazione differenziale”. Dato il valore della grandezza e delle sue eventuali
variazioni in un determinato istante,il processo di integrazione consente di trovare il valore della grandezza a tutti i
tempi successivi. In questo senso un sistema basato su un tale approccio è detto “deterministico”.
3
 L’ordine di grandezza di un fenomeno è una scala di riferimento, rispetto alla quale variano le grandezze fisiche
coinvolte nel fenomeno stesso. I fenomeni terrestri o celesti avvengono su scale differenti. Nel microcosmo, le scale di
riferimento sono ancora differenti e, a livello nanometrico, queste scale sono ancora più piccole.

variazione nello stato iniziale di un sistema (il margine d’errore), provoca una piccola variazione
corrispondente, al suo stato finale. Il margine d’errore, nel computo dei dati iniziali, è controllabile
e calcolabile rispetto al risultato finale che si ottiene. Il modello Newtoniano predice l’accadere di
determinati eventi a partire da un dato iniziale; questo non è noto in modo esatto, in quanto soggetto
ad errore sperimentale, e, pertanto, anche le previsioni sono in qualche modo legate a tale errore.
Affinché le previsioni siano possibili, l’errore deve mantenersi all’interno di un certo intervallo,
cioè non può propagarsi in modo esplosivo. Il fenomeno non può cambiare in modo drammatico per
piccole differenze nel dato iniziale, diversamente tutte le previsioni risultano invalidate.

 Laplace, alla fine del XVIII secolo, concepiva il determinismo come la possibilità di
conoscere esattamente lo stato futuro di un sistema, a partire dall’indicazione precisa del suo stato
attuale. Il fenomeno scoperto da Lorenz, presuppone invece che ci sia una “dipendenza sensibile
dalle condizioni iniziali” che influenza l’evoluzione del fenomeno stesso. Tale caratteristica
impedisce di prevedere lo stato futuro dei sistemi, contrariamente a ciò che pensava Laplace.
Infatti, se anche piccole perturbazioni nello stato iniziale del sistema modificano completamente il
suo comportamento futuro, qualsiasi previsione è impossibile, poiché nessun dato iniziale, per
quanto accuratamente misurato, è esente da errore sperimentale e quindi conosciuto esattamente.

 La differenza tra le due previsioni realizzate da Lorenz non è un errore sperimentale. L’errore
sperimentale rientra nel sistema di approssimazione usato dai ricercatori, nello strumento che è stato
costruito per realizzare un determinato esperimento. E, generalmente, anche se presente nel
fenomeno in modo più o meno evidente, non implica un cambiamento eclatante nel risultato finale.
L’errore osservato da Lorenz, oggi anche noto come effetto farfalla, può essere racchiuso in una
frase ormai diventata famosa: “il battito delle ali di una farfalla in Brasile può produrre un tifone
sulle coste della Florida”, che è l’essenza dei fenomeni caotici.

L’effetto farfalla e le suo conseguenze

 L’insieme delle scoperte legate alle simulazioni e le conseguenti considerazioni sono
presentate dallo studioso nel 1979, alla Conferenza annuale della American Association for the
Advancement of Science dove evidenzia l’elaborazione dei dati ottenuti, a seguito dell’errore
commesso durante la simulazione condotta nel suo laboratorio. In questa relazione, i suoi allievi
usano una splendida metafora per spiegare in modo più semplice il risultato ottenuto. Si ipotizza
infatti che, il battito d’ali di una farfalla in Brasile, possa scatenare una catena d’eventi, tali da
provocare un uragano nel Texas. L’insolita e altrettanto suggestiva relazione tra i due fenomeni, dà
il nome al cosiddetto ‘effetto farfalla’ (the butterfly effect), che diventerà in seguito una icona della
scienza contemporanea. L’effetto evocativo di questa metafora è enorme. Influenza il modo
attraverso il quale gli scienziati guardano il mondo. E’ utilizzata da contesti non scientifici e
rappresentata in vari films ("The Butterfly Effect" , "Sliding doors", "A Sound of Thunder").
Addirittura, nel film “Jurassic Park” di Spielberg, il matematico immaginario, Malcom, spiega le
caratteristiche del caos e della sua imprevedibilità, illustrando il comportamento di una goccia
d’acqua che scorre sulla pelle dell’attrice protagonista. L’effetto farfalla è anche utilizzato nel film
"The Oxford Murders", la cui trama si sviluppa sulle possibili conseguenze di piccoli e differenti
fattori. In Figura 2.1 si riporta una scena della danza delle farfalle, della piéce teatrale l’AttrAttore
Strano, rappresentata per la prima volta al Workshop Matematica, Arte e Industria Culturale nel

2005. Per esemplificare gli effetti del caos, le due ballerine intrecciano la loro danza, a volte
sincronizzandosi, a volte seguendo percorsi differenti.

Figura 2.1. Il ballo delle farfalle nella piéce teatrale l’”AttrAttore Strano”

 Le conseguenze dell’effetto farfalla sono di grande portata in quanto minano alle fondamenta
il meccanicismo. All’interno della logica Newtoniana, l’errore sperimentale non modifica il quadro
dei risultati. In altre parole, si ha sempre la possibilità di fare una previsione. Nella Teoria del Caos
invece, piccoli cambiamenti nel dato iniziale cambiano in modo drammatico il tipo di moto che ne
segue e, di conseguenza, nessuna previsione è possibile. E comunque, le leggi che regolano il
fenomeno continuano ad essere deterministiche, come quelli della Meccanica Classica. In un certo
senso, la Meccanica Newtoniana continua a valere ma non è più operativa in quanto non è in grado
di fare alcuna previsione attendibile. Il risultato in cui si è imbattuto Lorenz, è il primo fenomeno
che rientra in quella sfera d’eventi oggi noti come Caos Deterministico. Con Lorenz nasce di fatto
la Teoria del Caos.

 I sistemi che manifestano dinamiche caotiche sono di solito detti “sistemi complessi”, come
appunto le grandi masse d’aria che solcano il cielo, le dinamiche di popolazione su larga scala,
l’andamento dei mercati azionari, il comportamento umano di un singolo soggetto o di gruppi di
soggetti e altri ancora. Le dinamiche caotiche hanno alcune caratteristiche. Prima fra tutte, l’estrema
sensibilità ai dati iniziali. Per estrema sensibilità ai dati iniziali si intende il fenomeno secondo il
quale piccole differenze nei dati iniziali inducono comportamenti completamente differenti nel

sistema. E’ proprio questo effetto che rende il sistema caotico e imprevedibile. Anche piccole
imperfezioni nella conoscenza iniziale impediscono di predire il comportamento futuro del sistema.
E’ questo che rende i dati meteorologici non utilizzabili dopo un certo tempo. Non è il modello
matematico ad essere imperfetto, ma è la caoticità e complessità del fenomeno che impedisce
previsioni su scala temporale lunga (Figura 2.2).

Figura 2.2. Differenti andamenti di una grandezza caotica, ottenuti a partire da dati iniziali che
differiscono di pochissimo.

Gli attrattori strani

Un’altra caratteristica del comportamento caotico è rappresentato dalla presenza di attrattori strani.
Il concetto di attrattore è legato alla teoria dei sistemi dinamici. Un sistema dinamico è
rappresentato da una serie di grandezze che variano nel tempo. Il comportamento del sistema
dinamico si realizza in uno spazio astratto nel quale esistono delle regioni che in un certo senso
“catturano” il moto di tale sistema, una volta che esso giunga in queste regioni particolari, dalle
quali non può più allontanarsi. Le dimensioni di questo spazio astratto sono pari al numero di
grandezze coinvolte. Se le grandezze sono due,come nel caso del pendolo (angolo rispetto alla
verticale e velocità) il comportamento del sistema sarà rappresentato da un punto che si muove in
un piano (detto piano delle fasi), descrivendo una curva; se le grandezze sono tre, come nel caso del
sistema di Lorenz, il comportamento del sistema sarà rappresentato in uno spazio a tre dimensioni,
che è detto spazio delle fasi. La dimensione dello spazio astratto dove i comportamenti dei sistemi
dinamici sono rappresentati può avere anche dimensione maggiore di tre, com’è il caso del doppio
pendolo (un pendolo con un altro pendolo attaccato). In questo caso la dimensione dello spazio
astratto è 4 (due rappresentano gli angoli dei due pendoli con la verticale, e le altre due la velocità
dei due pendoli). Anche in questo caso, il comportamento del sistema è descritto da una curva, solo
che ora tali curve si sviluppano in un iperspazio di dimensione 4.

Se consideriamo un pendolo, qualunque sia la configurazione di partenza, dopo un tempo
sufficientemente lungo, a causa della forza di attrito, esso raggiungerà il punto più basso e su quella
posizione il pendolo si stabilizzerà. Questo punto è un attrattore per il sistema rappresentato dal
pendolo. Questi punti particolari sono noti in letteratura come punti fissi. I punti fissi non sono gli
unici attrattori. Per alcuni sistemi, come il circuito di Van der Pol, il sistema può stabilizzarsi in un
ciclo senza fine. Tali cicli sono noti in letteratura come cicli limite. Le grandezze del sistema
assumeranno un insieme di valori predefiniti, con un periodo particolare, in un eterno divenire e
ritorno sulle proprie posizioni. Tali cicli si rappresentano nel piano cartesiano delle variabili del
sistema come curve chiuse. Una volta che il sistema arriva su una di tali curve la percorrerà senza
fine.

Lorenz ha scoperto un altro tipo di attrattore, l’attrattore strano, che non appartiene a nessuna delle
categorie precedenti, cioè non è né un punto fisso né un ciclo limite. La regione che attrae il moto
del sistema di Lorenz è un volume finito, nello spazio; il comportamento dinamico del sistema è
rappresentato da un punto che descrive una certa traiettoria in questo spazio. Quando il punto arriva
in questa regione, esso rimarrà intrappolato per tutto il tempo, e descriverà una curva particolare che
si avvolgerà su se stessa, senza intersecarsi mai in alcun punto. Queste curve, man mano che il
sistema cambia nel tempo, diventeranno sempre più complesse, annodandosi su se stesse,
stratificandosi, e dando vita a forme particolari. Lorenz vede per la prima volta queste curve nelle
sue simulazioni ed impiega un po’ di tempo per riconoscerle. Gli attrattori che osserva hanno la
forma tipica di una farfalla, con un corpo centrale e due ali attorno, su piani leggermente sfasati
l’uno rispetto all’altro (Figura 2.3). In Figura 2.4, è riportata un’altra visualizzazione dell’attrattore
di Lorenz, che utilizza una rappresentazione a punti nello spazio delle fasi, che si manifesta ad ogni
passo temporale della simulazione. Se gli intervalli di tempo tra un punto e l’altro sono molto
piccoli, questi punti si avvicineranno sempre di più gli uni agli altri, intersecandosi e facendo
comparire una curva analoga a quella di Figura 2.3. Il tipo di rappresentazione di Figura 2.4 è

tuttavia più coerente al processo computazionale utilizzato, in quanto la simulazione dà i valori
delle variabili del sistema ad intervalli finiti, mentre per ottenere le curve avremmo bisogno di un
intervallo temporale infinitamente piccolo.

Figura 2.3. L’attrattore strano di Lorenz, con la sua caratteristica forma a farfalla

Figura 2.4. L’attrattore scoperto da Lorenz. Il punto che descrive la configurazione del sistema è
individuato nello spazio delle fasi, a vari istanti di tempo. Questi punti, se calcolati a tempi
estremamente ravvicinati, si uniscono in una curva.

Gli attrattori strani si manifestano nei sistemi caotici la cui principale caratteristica è la dipendenza
sensibile dai dati iniziali. Nella teoria dei sistemi dinamici, l’aggettivo “strano” è introdotto proprio
per distinguere questa nuova classe di attrattori da quelli precedentemente noti (punti fissi e cicli
limite). Questo termine contribuisce ad aumentare l’interesse verso la teoria del caos. Partendo dal
punto fisso, l’attrattore immediatamente più complicato è il ciclo limite, che nello spazio delle fasi è
una curva chiusa. Questo descrive oscillazioni stabili. Gli attrattori caotici (o strani) sono forme
geometriche che caratterizzano il comportamento a lungo termine di un sistema dinamico
complesso, come quelli emergenti dal Circuito di Chua. L’attrattore strano ha una struttura molto
più complicata di un punto fisso o di un ciclo limite. La via di mezzo è un attrattore detto “toro”. Il
toro ha una struttura più complessa rispetto al punto fisso e al ciclo limite, descrivendo un
comportamento quasi periodico, che può essere previsto con una precisione arbitraria. Al contrario
gli attrattori caotici (che per comodità chiameremo solo attrattori) sviluppano forme geometriche
inaspettate e di straordinaria bellezza. Quando ingrandiamo un attrattore, si presenta come una
superficie non regolare, ricca di pieghe e strane evoluzioni.

Il circuito di Chua produce una grande quantità di attrattori caotici. In figura 2.5 il più famoso di tali
attrattori noto come Doppio Scroll.

Figura 2.5. Il più famoso attrattore strano prodotto dal circuito di Chua: il doppio scroll.

Nelle tavole a colori di questo volume (Tavola I, II) proponiamo una galleria di attrattori prodotti
dal circuito di Chua.

Biforcazioni e Strade verso il caos
 Altra caratteristica tipica dei sistemi caotici, anche se poco conosciuta al grande pubblico, è
ciò che gli studiosi chiamano strade al caos. I sistemi caotici dipendono da parametri che nella
letteratura scientifica si chiamano parametri di controllo. Variando tali parametri, cambia il
comportamento qualitativo del sistema. Nel circuito fisico di Chua, che produce dinamiche
caotiche, tutti i valori dei componenti passivi (resistenze, capacità e induttanza) possono variare. Il
doppio scroll si manifesta sono per un intervallo molto piccolo dei valori di tali componenti e si
distrugge anche per variazioni molto piccole. L’unico parametro che consente delle variazioni senza
distruggere immediatamente la struttura è la resistenza. Se variamo lentamente questo valore, ci
accorgiamo che il comportamento del sistema subisce delle graduali trasformazioni, passando dal
doppio scroll (Figura 2.5) ad una forma a spirale (Figura 2.6), che è un altro attrattore caotico, oggi
noto come spirale di Chua.

Figura 2.6. Spirale di Chua.

 Figura 2.7. Ciclo limite che si manifesta al variare del valore della resistenza, nel circuito di
Chua.

 Continuando ad aumentare ulteriormente la resistenza, le strutture caotiche scompaiono ed
iniziano ad apparire cicli limite di complessità decrescente (Figura 2.7), fino a quando il
comportamento del sistema non subisce un ulteriore cambiamento, assestandosi su un punto fisso.
In un certo senso, cambiando lentamente il valore della resistenza, abbiamo percorso all’inverso una
strada che ci porta dal caos all’ordine. Invertendo il verso di percorrenza, otteniamo il seguente
percorso, che è la strada verso il caos:

Punto fisso → ciclo limite → spirale di Chua → doppio scroll → saturazione.

 La saturazione è l’orizzonte del sistema fisico, in quanto rappresenta il massimo valore di
energia che il sistema può raggiungere. Esso si manifesta come un ciclo limite.

 Questo percorso che il sistema compie dall’ordine al caos, fino a raggiungere il confine fisico
del sistema (il comportamento caotico a questo punto si distrugge) è noto come strada verso il caos.
Per cui, tecnicamente il caos non appare subito, ma è raggiunto attraverso una serie di cambiamenti
comportamentali del sistema. Quando il comportamento di un sistema dinamico cambia
radicalmente per alcuni valori dei parametri di controllo, si dice che per quel valore è occorsa una
biforcazione. La strada verso il caos, prima descritta, presenta molte biforcazioni. La prima quando
il sistema passa da un punto fisso al ciclo limite; un’altra quando passa dal ciclo limite alla spirale
di Chua; successivamente quando si passa dalla spirale di Chua al doppio scroll. Quello che
abbiamo scoperto da osservazioni empiriche simulate è che esiste un numero praticamente infinito
di biforcazioni. Per esempio, quando il sistema passa dal ciclo limite alla spirale, di fatto possiamo
rilevare una cascata di biforcazioni, che si susseguono in continuazione, ad un ritmo sempre più
incalzante. il primo ciclo ha un solo anello; successivamente appare un ciclo con due anelli, e poi
con quattro, poi con 8, poi con 16, poi con 32, fino a quando il numero di anelli è praticamente
indistinguibile ed il sistema si assesta sulla tipica forma a spirale di Figura 2.6. Il numero degli
anelli raddoppia ad ogni passaggio, per variazioni del parametro sempre più piccoli. Questo
comportamento è noto in letteratura come raddoppio del periodo, e questa tipologia di biforcazione
è detta biforcazione di Hopf.

 In molti sistemi caotici è presente la biforcazione di Hopf, che è una forma inconfondibile
della presenza del caos. Se facciamo il rapporto delle differenze tra i valori dei parametri tra due
biforcazioni vicine, ci accorgiamo che questo tende ad un numero costante, detto costante di
Feigenbaum, dal nome di chi lo scoprì, nel 1975, in un altro sistema caotico, noto come mappa
logistica. Questo numero rappresenta la firma inconfondibile del caos, considerato ormai come una
delle costanti numeriche fondamentali quali il , la costante di Nepero e la sezione aurea.

 Torniamo alla strada verso il caos. Dato un particolare valore del parametro di controllo, è
possibile ottenere rappresentazioni delle funzioni del tempo, per le grandezze fisiche relative al
sistema dinamico considerato. Nel circuito di Chua, le grandezze sono 1 , 2 ed 3 , cioè la
differenza di potenziale ai capi dei condensatori e l’intensità di corrente che circola all’interno del
diodo. Per una di queste funzioni, individuiamo i massimi e i minimi e disegniamo questi valori.
Facendo variare la resistenza, otterremo un diagramma come quello in Figura 2.8, noto come
diagramma di biforcazione o mappa di biforcazione. Man mano che ci si sposta verso destra, i punti
di biforcazione appaiono chiaramente. Il primo passaggio avviene per = 1,16 quando il
sistema passa da un punto fisso al ciclo limite.

Figura 2.8. Diagramma di biforcazione, dal quale si evince una strada verso il caos nel
circuito di Chua.

 Il secondo passaggio avviene quando il sistema inizia la serie di biforcazioni a cascata. In
Figura 2.9, si riporta un ingrandimento della mappa di Figura 2.8, nel quale si osserva questa
cascata di biforcazioni ad intervalli empre più piccoli.

 Figura 2.9. Il diagramma illustra la biforcazione di Hopf con il tipico raddoppio del periodo.

 Le mappe di biforcazione sono uno dei principali strumenti a disposizione degli scienziati per
ottenere informazioni sul sistema dinamico e trovare nuove forme di attrattori.

Frattali
 Una manifestazione che rende il caos veramente straordinario è la sua natura frattale. Il
termine frattale deriva dal latino fractus (aggettivo che vuol dire rotto, interrotto). Questo tipo di
strutture sono così chiamate, perché la figura frattale si presenta molto discontinua. Infatti, sono
figure geometriche molto complesse e di difficile interpretazione. Quando queste figure furono
scoperte, per la loro incredibile natura furono considerate alla stessa stregua di “mostri”, e furono
praticamente considerate come semplice curiosità o stravaganze, per poi essere immediatamente

dimenticate. Bisogna aspettare gli anni ’70 del XX secolo, perché vengano riconsiderate. In Figura
2.10, è riportato il fiocco di neve di Koch ed in Figura 2.11, il triangolo di Sierpinski, due tra i più
classici frattali.

 Figura 2.10. Sviluppo del Fiocco di neve di Koch, partendo da un triangolo.

 Il fiocco di neve di Koch si ottiene partendo da un triangolo (figura 2.10a). Se dividiamo
ciascun lato in tre segmenti e sostituiamo al segmento centrale gli altri due lati del triangolo isoscele
corrispondente, otteniamo la figura 2.10b. Riapplicando la stessa procedura ai nuovi segmenti
(divisione in tre parti e sostituzione della parte centrale, otteniamo la figura 2.10c). Reiterando più
volte il processo (6 volte nel caso di figura 2.10d), otteniamo una figura più complessa, che
assomiglia ad un fiocco di neve, da cui prende il nome.

 Figura 2.11. Sviluppo del triangolo di Sierpinski.

 Un’altra famosa struttura frattale è il triangolo di Sierpinski, rappresentato in Figura 2.11.
Dividiamo un triangolo (figura 2.11a) in 4 triangoli più piccoli ed eliminiamo la figura centrale
(Figura 2.11b). Ripetiamo la stessa procedura per i tre triangoli rimanenti, eliminando sempre il
triangolo centrale (Figura 2.11c) e ripetiamo iterativamente la stessa procedura (in Figura 211d il
processo è stato ripetuto per 6 volte). Quello che emerge è una nuova figura la cui struttura diventa
più complessa, anche se possiamo individuare schemi ripetitivi a vari livelli di scala. L’auto-
similarità è una caratteristica intrinseca delle strutture frattali.

 Il termine frattale fu coniato da Mandelbrot nel 1975, e identifica una struttura geometrica in
cui un identico motivo si ripete, a diversi livelli di scala. Ingrandendo o diminuendo la figura, si
ottengono forme ricorrenti. Egli riflette sull’inadeguatezza della geometria euclidea nel descrivere
la natura. Infatti le nuvole, le montagne, le coste marine non sono le forme geometriche semplici
che ritroviamo nella Matematica Euclidea. Mandelbrot attribuisce il nome a queste nuove strutture e
diviene il padre fondatore della Teoria dei Frattali. Tale teoria s’inserisce prepotentemente nello
scenario degli studi matematici del Caos Deterministico, poiché gli attrattori strani risultanti da un
comportamento caotico, hanno strutture frattali.

Una caratteristica fondamentale dei frattali è l’auto-similarità. In queste strutture le parti
richiamano il tutto. Esistono molte forme naturali che hanno struttura frattale. Se stacchiamo un
pezzo di cavolfiore, esso rassomiglierà in modo indistinguibile al cavolfiore di partenza. Una
porzione ingrandita di una montagna o di una scogliera assomiglierà in modo sorprendente
all’intera montagna o alla scogliera. Da qui il concetto d’invarianza di scala, tipico dei frattali. Se
osserviamo l’andamento della Borsa valori nel tempo, raccogliendo i dati e riordinandoli in una
serie temporale, e non specifichiamo la scala di riferimento, non saremo in grado di capire se
stiamo osservando andamenti giornalieri, mensili o su scale di tempo più lungo.

 I frattali fanno ormai parte del nostro patrimonio scientifico e stanno cambiando anche altri
aspetti fondamentali della nostra cultura. Nel capitolo 5 illustriamo come le strutture frattali creino
forme di indescrivibile bellezza, aprendo nuovi e importanti filoni artistici, che rientrano nel più
generale campo dell’Arte contemporanea e dando vita a nuovi artefatti ai quali si fa riferimento
con il nome di Arte Elettronica o Digital Art.

Conclusioni
 Dal lavoro pionieristico di Lorenz, la Teoria del Caos, si è venuta affermando come uno dei
paradigmi scientifici della Scienza Contemporanea. Le sue conferme sperimentali sono molteplici e
in settori variegati, come nella Scienza del Comportamento, nella Fisica della Materia, in Ingegneria
Elettronica, nella Scienza della Terra, oltre ovviamente che nei fenomeni meteorologici. Persino le
dinamiche degli andamenti della Borsa Valori si pensa siano regolati da fenomeni caotici, tanto da
aver creato nuove discipline come quella dell’Econofisica, insegnata anche in vari corsi universitari.
Questo straordinatorio successo della Teoria del caos e la sua pervasività in così tanti fenomeni ha
indotto alcuni studiosi a parlare dell’ubiquità del caos. In poche parole, la teoria del Caos e le
manifestazioni caotiche che ogni giorno a nostra insaputa viviamo nell’ambiente stanno cambiando
il modo in cui gli scienziati vedono il mondo, tanto che attualmente si considera il caos come uno
dei paradigmi esplicativi della scienza contemporanea