La Matematica per il 3+2 - UNITEXT
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UNITEXT La Matematica per il 3+2 Volume 133 Editor-in-Chief Alfio Quarteroni, Politecnico di Milano, Milan, Italy, École Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL), Lausanne, Switzerland Series Editors Luigi Ambrosio, Scuola Normale Superiore, Pisa, Italy Paolo Biscari, Politecnico di Milano, Milan, Italy Ciro Ciliberto, Università di Roma “Tor Vergata”, Rome, Italy Camillo De Lellis, Institute for Advanced Study, Princeton, NJ, USA Massimiliano Gubinelli, Hausdorff Center for Mathematics, Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität, Bonn, Germany Victor Panaretos, Institute of Mathematics, École Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL), Lausanne, Switzerland
The UNITEXT – La Matematica per il 3+2 series is designed for undergra- duate and graduate academic courses, and also includes advanced textbooks at a research level. Originally released in Italian, the series now publishes textbooks in English addressed to students in mathematics worldwide. Some of the most suc- cessful books in the series have evolved through several editions, adapting to the evolution of teaching curricula. Submissions must include at least 3 sample chap- ters, a table of contents, and a preface outlining the aims and scope of the book, how the book fits in with the current literature, and which courses the book is suitable for. For any further information, please contact the Editor at Springer: francesca.bonadei@springer.com THE SERIES IS INDEXED IN SCOPUS More information about this series at http://www.springer.com/series/5418
Guido Gentile Introduzione ai sistemi dinamici – Volume 2 Meccanica lagrangiana e hamiltoniana
Guido Gentile Università Roma Tre Roma, Italy ISSN 2038-5714 ISSN 2532-3318 (versione elettronica) UNITEXT ISSN 2038-5722 ISSN 2038-5757 (versione elettronica) La Matematica per il 3+2 ISBN 978-88-470-4013-7 ISBN 978-88-470-4014-4 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-88-470-4014-4 © The Editor(s) (if applicable) and The Author(s), under exclusive license to Springer-Verlag Italia S.r.l., part of Springer Nature 2022 Quest’opera è protetta dalla legge sul diritto d’autore e la sua riproduzione è ammessa solo ed esclu- sivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall’art. 68. Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15% potranno avvenire solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 108, Milano 20122, e-mail segreteria@aidro.org e sito web www.aidro.org. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all’utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilmo in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. L’utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc. anche se non specificatamente identificati, non implica che tali denominazioni o marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti. Questa edizione è pubblicata da Springer-Verlag Italia S.r.l., parte di Springer Nature, con sede legale in Via Decembrio 28, 20137 Milano, Italy.
A Sofia
Prefazione
Il presente volume prosegue lo studio dei sistemi dinamici iniziato nel primo, svi-
luppando teoria e applicazioni del formalismo lagrangiano e del formalismo hamil-
toniano, ovvero di quella branca della fisica matematica che è tradizionalmente nota
come “meccanica analitica” o “meccanica razionale” – anche se l’ultimo termine è
diventato con il tempo sempre più desueto.
Lo spirito di fondo è lo stesso del primo volume: fornire le basi a chi si avvicini
per la prima volta alla materia, specificamente agli studenti di un corso di laurea
triennale in matematica o in fisica. Di conseguenza si è cercato di ridurre al minimo
i prerequisiti indispensabili alla comprensione del testo. In realtà, mantenere l’espo-
sizione a un livello il più elementare possibile, in un testo dedicato alla meccanica
analitica, presenta qualche problema in più rispetto agli argomenti affrontati nel
primo volume. Infatti, se si vuole discutere in modo esauriente e rigoroso sia il for-
malismo lagrangiano che, ancora di più, il formalismo hamiltoniano, non è possibile
evitare di introdurre nozioni di geometria differenziale, di calcolo differenziale e di
analisi complessa; è tutt’altro che improbabile che tali nozioni o non siano mai state
incontrate dal lettore all’interno di insegnamenti seguiti precedentemente nel pro-
prio percorso formativo (non solo in corsi di studio che non siano in matematica) o,
comunque, si siano viste in una forma meno avanzata, o semplicemente differente,
rispetto a quella in cui sono qui dispiegate.
Come nel primo volume, anche in questo si è avuta cura di richiamare i risultati
di analisi matematica e di geometria che sono stati utilizzati nel corso della tratta-
zione, quali le nozioni di varietà differenziabile, con e senza bordo; le definizioni
e proprietà delle forme differenziali nonché dei teoremi fondamentali sulla loro in-
tegrazione; alcuni dei teoremi più importanti sulle funzioni di variabile complessa,
in particolare sulle funzioni analitiche. Per non appesantire il testo – e per non an-
noiare i lettori che fossero già in possesso di tali nozioni – molti di tali risultati
sono discussi sotto forma di esercizi, spesso con indicazioni più o meno dettaglia-
te su come risolverli; inoltre, sono sempre forniti precisi riferimenti bibliografici
per consentire un eventuale approfondimento. L’impostazione seguìta mira quindi
a fornire un testo che sia accessibile a uno studente di un corso di laurea triennale
e, nel contempo, fruibile anche da chi abbia una preparazione più avanzata e de-
viiviii Prefazione
sideri conoscere argomenti che, andando sicuramente oltre i limiti inevitabili – se
non altro per ragioni di tempo – di un insegnamento di un corso di laurea trienna-
le, possono invece costituire materia di studio per un insegnamento avanzato di un
corso di laurea magistrale. A uno studente di laurea triennale, che comunque in-
tendesse affrontare i paragrafi più impegnativi, potrebbe essere richiesto di colmare
eventuali lacune attraverso gli esercizi guidati; in ogni caso, a una prima lettura,
si possono omettere le parti più tecniche senza pregiudicare la comprensione dei
risultati principali discussi nel testo.
Passando al contenuto del volume, questo è diviso in due parti: la prima sul-
la meccanica lagrangiana, la seconda sulla meccanica hamiltoniana. I primi cinque
capitoli vertono sul formalismo lagrangiano. Nel capitolo 1 sono introdotte le nozio-
ni fondamentali della meccanica lagrangiana, quali il primo principio variazionale
di Hamilton e le equazioni di Eulero-Lagrange, per sistemi meccanici conservativi,
eventualmente soggetti a vincoli, definiti in generale su varietà differenziabili. Il ca-
pitolo 2 è rivolto sostanzialmente alle applicazioni, con un’analisi dettagliata di due
casi paradigmatici e un’ampia raccolta di esercizi alla fine. Nel capitolo 3 si studia
come caratterizzare a livello analitico la presenza di simmetrie in un sistema dina-
mico; in particolare viene discusso uno dei risultati fondamentali della meccanica
lagrangiana: il teorema di Noether. Il capitolo 4 è dedicato alla teoria delle piccole
oscillazioni, mentre nel capitolo 5 si continua, nell’ambito del formalismo lagran-
giano, lo studio della dinamica dei corpi rigidi iniziato nel capitolo 10 del primo
volume.
Negli ultimi cinque capitoli si illustra il formalismo hamiltoniano. Dopo aver
introdotto, nel capitolo 6, le basi della meccanica hamiltoniana, nel capitolo 7 si di-
scutono diffusamente le trasformazioni canoniche, le loro proprietà fondamentali, le
loro relazioni con le parentesi di Poisson, l’invariante integrale di Poincaré-Cartan,
la condizione di Lie, e infine i procedimenti utilizzati per costruire trasformazioni
canoniche. Nel capitolo 8 si descrive il metodo di Hamilton-Jacobi, si studiano i
sistemi integrabili, si introducono le variabili azione-angolo, e si presenta uno dei
risultati più importanti sui sistemi integrabili: il teorema di Liouville-Arnol0d. In-
fine, gli ultimi due capitoli sono rivolti allo studio dei sistemi quasi-integrabili: il
capitolo 9 è dedicato alla teoria delle perturbazioni a tutti gli ordini, che spesso
nelle applicazioni pratiche è sufficiente per descrivere le soluzioni delle equazio-
ni del moto entro l’approssimazione desiderata, mentre nel capitolo 10 si affronta
il problema della convergenza dell’approccio perturbativo, in vista di risultati che
valgano esattamente e non solo a livello perturbativo. Questo culmina nel risulta-
to chiave sui sistemi quasi-integrabili: il teorema KAM sulla persistenza dei moti
quasiperiodici quando si perturba un sistema integrabile. Infine, sempre nei capi-
toli 9 e 10, si esamina in modo sistematico il problema della costruzione e dello
studio della convergenza delle serie perturbative (le cosiddette serie di Lindstedt)
per le soluzioni quasiperiodiche delle equazioni del moto. È questo un aspetto che
raramente viene discusso a fondo nei testi dedicati ai sistemi quasi-integrabili, e
che quindi costituisce una novità rispetto alla – per altro vastissima – letteratura
sull’argomento.Prefazione ix Come già osservato nel primo volume, si segnala che esistono molti libri che hanno come tema lo studio della meccanica analitica. Nella bibliografia sono elen- cati tutti quelli a cui è fatto riferimento esplicito nel corso dell’opera, più altri che possono essere utili per approfondire alcuni argomenti e per vederne di nuovi. Al- cuni dei testi citati in bibliografia sono stati seguìti da vicino per la presentazione, ma si è sempre cercato di mantenere la notazione e lo stile uniformi, indipenden- temente dalla fonte. Rispetto ai temi discussi nel primo volume, quello che si nota in generale nell’ambito della meccanica analitica, proprio a causa della complessità della materia, è che spesso i testi sull’argomento o richiedono conoscenze prelimi- nari molto avanzate, e sono quindi di difficile accesso a chi ne affronti lo studio per la prima volta, o rimangono a un livello più qualitativo, evitando di entrare troppo nei dettagli matematici e rinunciando quindi a parte del rigore che sarebbe inve- ce necessario. In entrambi i casi, il lettore rischia di trovarsi disorientato di fronte a risultati che sono discussi in modo non rigoroso oppure, al contrario, con me- todi troppo astratti e sofisticati: alcuni degli argomenti di maggiore rilievo, quali il teorema di Noether nel caso di coesistenza di più simmetrie, il teorema di Liouville- Arnol0d, il teorema KAM o lo studio delle serie perturbative, rischiano o di essere discussi solo di sfuggita (se non addirittura di essere tralasciati) o di essere trattati in modo troppo tecnico, sicuramente più tecnico degli altri argomenti per i quali tipicamente sono sufficienti le nozioni apprese negli insegnamenti di base. Rinnovo infine i ringraziamenti, già espressi nel primo volume, a M. Bartuccelli, A. Berretti, L. Corsi, G. Gallavotti e V. Mastropietro. Roma Guido Gentile Ottobre 2021
Alcune parole sulle notazioni
Per le notazioni di base utilizzate nel testo rimandiamo ai brevi commenti intro-
duttivi del primo volume. Aggiungiamo qui che il termine funzionale è usato per
indicare una funzione definita su un insieme di funzioni, i.e. una funzione il cui
argomento è esso stesso una funzione.
Concludiamo con qualche parola sulla regola di scrittura dei nomi russi: ab-
biamo seguito la translitterazione comunemente utilizzata in italiano (la cosiddetta
translitterazione scientifica), che porta a scrivere, per esempio, Arnol0d, Brjuno, Če-
taev e Nechorošev in corrispondenza degli equivalenti Arnold, Bryuno, Chetaev e
Nekhoroshev che si trovano invece nei testi in lingua inglese (dove si adotta la trans-
litterazione anglosassone). Lo stesso criterio è del resto già stato utilizzato nel primo
volume: si pensi ai teoremi di Ljapunov (e non Lyapunov) e di Barbašin-Krasovskij
(e non Barbashin-Krasovsky). Il fenomeno è ben noto, del resto, sia in campo
musicale – in cui abbondano compositori russi e si alternano le forme Dargomiž-
skij/Dargomyzhsky, Musorgskij/Mussorgsky, Čajkovskij/Tchaikovsky, e così via –
sia in campo letterario – dove convivono le forme Puškin/Pushkin, Gogol0 /Gogol
e Dostoevskij/Dostoevsky, per fare qualche esempio. In realtà, per qualche strano
motivo, il nome di Brjuno costituisce un’eccezione, in quanto anche nella letteratura
in lingua inglese risulta dominante la translitterazione scientifica; probabilmente la
ragione va individuata nel fatto che i suoi primi lavori sono apparsi su riviste russe
(segnaliamo che molto diffusa in letteratura è anche la grafia ‘alla francese’ Bruno,
forse dovuta al fatto che lo stesso autore ha iniziato a scrivere così il proprio nome
negli articoli in lingua inglese).
xiIndice
1 Meccanica lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Primo prinicipio variazionale di Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Principio variazionale per moti su varietà . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Formalismo lagrangiano per sistemi vincolati . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Formalismo lagrangiano per sistemi non conservativi . . . . . . . . 23
1.5 Vincoli approssimati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Un criterio di perfezione per vincoli approssimati . . . . . . . . . . 30
1.7 Applicazione ai corpi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 Studio di sistemi lagrangiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.1 Stabilità delle configurazioni di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.2 Variabili cicliche e metodo di Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.3 Studio di un sistema lagrangiano: primo esempio . . . . . . . . . . . 84
2.3.1 Lagrangiana ed equazioni di Eulero-Lagrange . . . . . . . . 86
2.3.2 Configurazioni di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.3.3 Determinazione delle forze vincolari . . . . . . . . . . . . . . 91
2.3.4 Piano rotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.4 Studio di un sistema lagrangiano: secondo esempio . . . . . . . . . 94
2.4.1 Quadrato libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.4.2 Quadrato con un punto fisso: configurazioni di equilibrio . 97
2.4.3 Quadrato con un punto fisso: analisi qualitativa . . . . . . . 101
2.4.4 Sistema in presenza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3 Simmetrie e costanti del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.1 Teorema di Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.2 Simmetrie che dipendono da più parametri . . . . . . . . . . . . . . . 196
3.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
xiiixiv Indice
4 Teoria delle piccole oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
4.1 Linearizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
4.2 Piccole oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
4.3 Piccole oscillazioni per pendoli accoppiati . . . . . . . . . . . . . . . 233
4.3.1 Pendoli uguali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
4.3.2 Pendoli diversi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
4.4 Piccole oscillazioni per sistemi vincolati . . . . . . . . . . . . . . . . 240
4.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
5 Moto dei corpi rigidi pesanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
5.1 Trottola di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
5.2 Studio del sistema ridotto della trottola pesante . . . . . . . . . . . . 282
5.2.1 Caso 1: b ¤ 0, a ¤ ˙b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
5.2.2 Caso 2: b ¤ 0, a D b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
5.2.3 Caso 3: b ¤ 0, a D b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
5.2.4 Caso 4: b D 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
5.2.5 Trottola di Lagrange in assenza di forze . . . . . . . . . . . . 290
5.3 Trottola addormentata e trottola veloce . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
5.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
6 Meccanica hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
6.1 Sistemi hamiltoniani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
6.2 Metodo di Routh nel formalismo hamiltoniano . . . . . . . . . . . . 314
6.3 Secondo principio variazionale di Hamilton . . . . . . . . . . . . . . 316
6.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
7 Trasformazioni canoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
7.1 Trasformazioni canoniche e simplettiche . . . . . . . . . . . . . . . . 327
7.2 Parentesi di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
7.3 Invariante integrale di Poincaré-Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
7.4 Funzioni generatrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
7.4.1 Condizione di Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
7.4.2 Procedimento di prima specie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
7.4.3 Procedimento di seconda specie . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
7.4.4 Altri procedimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
7.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
8 Metodo di Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
8.1 Equazione di Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
8.2 Separazione di variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
8.3 Variabili azione-angolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
8.4 Un esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
8.4.1 Hamiltoniana ed equazione di Hamilton-Jacobi . . . . . . . 447
8.4.2 Variabili d’azione e frequenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449Indice xv
8.5 Dimostrazione del teorema di Liouville-Arnol0 d . . . . . . . . . . . 451
8.5.1 Dimostrazione del punto 1 del teorema di Liouville-Arnol0 d 452
8.5.2 Interludio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
8.5.3 Dimostrazione del punto 2 del teorema di Liouville-Arnol0 d 456
8.6 Variabili azione-angolo di alcuni sistemi integrabili . . . . . . . . . 462
8.6.1 Oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
8.6.2 Oscillatore cubico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
8.6.3 Pendolo semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
8.6.4 Problema dei due corpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
8.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
9 Teoria delle perturbazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
9.1 Teoria delle perturbazioni al primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . 507
9.2 Teoria delle perturbazioni a tutti gli ordini . . . . . . . . . . . . . . . 520
9.2.1 Perturbazioni di sistemi isocroni . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
9.2.2 Perturbazioni di sistemi anisocroni . . . . . . . . . . . . . . . 527
9.3 Un esempio semplice di teoria delle perturbazioni . . . . . . . . . . 530
9.3.1 Primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
9.3.2 Secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
9.4 Serie di Lindstedt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
9.4.1 Primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
9.4.2 Secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
9.4.3 Ordini superiori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
9.5 Rappresentazione grafica della serie di Lindstedt . . . . . . . . . . . 551
9.5.1 Grafi e alberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
9.5.2 Regole grafiche e costruzione degli alberi . . . . . . . . . . . 558
9.5.3 Rappresentazione dei coefficienti in termini di alberi . . . . 564
9.5.4 Condizione di compatibilità per la solubilità formale . . . . 571
9.5.5 Problema dei piccoli divisori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
9.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
10 Il teorema KAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631
10.1 Esistenza di moti quasiperiodici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631
10.1.1 Notazioni ed enunciato del teorema KAM . . . . . . . . . . . 633
10.1.2 Primo passo: trasformazione canonica . . . . . . . . . . . . . 635
10.1.3 Primo passo: stime della nuova hamiltoniana . . . . . . . . . 641
10.1.4 Primo passo: blocco della frequenza . . . . . . . . . . . . . . 643
10.1.5 Primo passo: dominio della nuova hamiltoniana . . . . . . . 645
10.1.6 Passo generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647
10.2 Stabilità dei moti quasiperiodici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651
10.2.1 Notazioni ed enunciato del teorema di Nechorošev . . . . . 652
10.2.2 Aspetti analitici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656
10.2.3 Aspetti geometrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669
10.2.4 Conclusioni e relazione con il teorema KAM . . . . . . . . . 674xvi Indice
10.3 Convergenza delle serie di Lindstedt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677
10.3.1 Analisi multiscala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677
10.3.2 Cancellazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689
10.3.3 Rinormalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697
10.3.4 Stime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709
10.4 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720
10.4.1 Sul modello Fermi-Pasta-Ulam . . . . . . . . . . . . . . . . . 720
10.4.2 Sul sistema solare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721
10.4.3 Sulla condizione di non degenerazione . . . . . . . . . . . . . 722
10.4.4 Sulla condizione di non risonanza delle frequenze . . . . . . 723
10.4.5 Sulla regolarità dell’hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . 723
10.4.6 Sul fato dei tori risonanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724
10.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725
Riferimenti bibliografici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747
Indice analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751Puoi anche leggere
