Elettromagnetismo Università degli Studi di Milano - Cariche immagine: forza e energia
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Elettromagnetismo
Prof. Francesco Ragusa
Università degli Studi di Milano
Lezione n. 10 – 7.11.2019
Cariche immagine: forza e energia
Campo di un anello di carica
Capacità, condensatori
Anno Accademico 2019/2020Cariche immagine
• Si verifica immediatamente che φ(x,y,0) = 0 z
• Il piano z = 0 è equipotenziale
• Pertanto il potenziale soddisfa una delle
due condizioni al contorno
• Inoltre il potenziale si annulla per r → ∞ y
• La seconda condizione al contorno
• Il potenziale soddisfa l'equazione di Poisson
x
• Pertanto il potenziale è la soluzione del nostro problema
• Inoltre, per il teorema di unicità, è l'unica soluzione
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 216Cariche immagine • Sottolineiamo che la soluzione trovata vale solo nel semispazio superiore • La carica negativa non esiste • Prende il nome di carica immagine • Calcoliamo il campo elettrico sul piano • Semplifichiamo la notazione introducendo due variabili r1 e r2 • La componente z del campo elettrico • Specializzando sul piano (z = 0) • Per z = 0 si ha Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 217
Cariche immagine
• Inoltre si può facilmente verificare
che sul piano
• Possiamo trovare il valore della
densità superficiale di carica
• La densità di carica dipende dalla distanza r dal punto sul piano di minima
distanza dalla carica
• Calcoliamo la carica totale sul piano
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 218Cariche immagine
• Calcoliamo adesso la forza che il piano esercita
sulla carica q
• Consideriamo un anello di raggio r
• La sua area è
• La sua carica
• La carica dell'anello esercita una forza sulla carica pari a
• Introducendo il valore di |σ|
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 219Cariche immagine e forza
• Esaminiamo il risultato appena trovato z
• La forza che il piano esercita sulla carica q y
è la stessa di quella che la carica immagine
esercita sulla carica q
• Due cariche uguali in modulo poste x
a distanza 2h l'una dall'altra
• Il problema appena studiato ci consente di rivedere
criticamente la definizione operativa di campo elettrico
• La forza per unità di carica che si esercita su una carica esploratrice
• Pertanto se avviciniamo una carica ad un piano conduttore scarico la forza
esercitata sulla carica è
SBAGLIATO !!
• La definizione corretta è
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 220Definizione operativa di E
• Come faccio sperimentalmente a fare il limite?
• Detto diversamente, come faccio a sapere se la carica è piccola a
sufficienza?
• Sperimentalmente faccio più misure, con cariche sempre più piccole
e osservo se il campo che misuro dipende dal valore della carica esploratrice
• Nell'esempio studiato
• Si utilizza una carica q e si misura E1 E
• Si utilizza una carica q/2 e si misura E2
• Si utilizza una carica q/4 e si misura E3
• Si estrapola all'origine
• Se il campo non raggiunge un valore stabile
significa che la carica esploratrice è la
causa del campo che misuriamo
q
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 221Cariche immagine e energia
• Un ultimo problema per chiarire ancora una volta un punto importante
• Quanto lavoro è necessario per portare una carica q dall'infinito
a distanza h da un piano conduttore?
• Per rispondere uno studente (o un professore …) ragiona in questo modo:
• Abbiamo visto che la forza è quella che si esercita fra la carica e la sua
immagine
• Analogamente il lavoro fatto è uguale all'energia elettrostatica
immagazzinata nel sistema carica + carica immagine
• Un altro studente (o professore …) preferisce un calcolo meno elegante, più
di "forza bruta"
• Calcola il lavoro fatto contro la forza elettrostatica
• Ad una altezza z avremo
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 222Cariche immagine
• Il lavoro totale si trova integrando
• Il valore trovato è la metà di quello trovato con il primo calcolo
• Chi ha ragione e perché?
• Il risultato corretto è il secondo
• Nel primo caso infatti c'è un vincolo
su come costruire il sistema
• Occorre spostare le due cariche in modo simmetrico rispetto al piano
altrimenti il campo elettrico non è più perpendicolare al piano
• Se spostiamo entrambe le cariche il lavoro da considerare è solo metà:
quello fatto per spostare solo una delle due cariche
• Alternativamente si può ricordare che
• La formula Presuppone un integrale su tutto lo spazio
• Nella nostra soluzione il campo è definito solo in metà dello spazio
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 223Campo generato da un anello di carica
• Consideriamo nuovamente l'anello di carica Q e di raggio R
• L'anello è rappresentabile con una distribuzione
lineare di carica di densità λ = Q/(2πR)
• Vogliamo calcolare il potenziale e il campo elettrico
in un generico punto r, non necessariamente sull'asse
• Consideriamo un elemento di carica sull'anello
• La lunghezza dell'elemento è dl = R dφ′
• La carica dell'elemento è dQ = λdl
• Chiamiamo il potenziale V(r) per evitare
confusione con l'angolo azimutale φ
• Il contributo al potenziale dell'elemento di anello dl è
• Nell'ultima espressione abbiamo sviluppato il prodotto scalare fra r e r′
tenendo conto che r′ giace nel piano x − y (r'z = 0)
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 224Campo generato da un anello di carica • Il prodotto scalare può essere facilmente calcolato • Il potenziale generato da tutto l'anello è • È evidente che l'integrale non dipende da φ che può essere posto uguale a 0 • Si tratta di un integrale che non conduce a espressioni contenenti funzioni elementari • Richiede l'introduzione degli integrali ellittici Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 225
Campo generato da un anello di carica
• Trasformiamo l'integrale in una forma opportuna rispetto alle definizioni
standard degli integrali ellittici
• Prima di tutto operiamo un cambio di variabile: φ = π + 2t
• I limiti di integrazione diventano
• φ = 0 → t = −π/2 φ = 2π → t = +π/2. Inoltre dφ =2dt
• La funzione trigonometrica: cos(π+2t) = −cos2t = −1 + 2sin2t
• Chiamiamo A il radicando
• Definiamo
• Osserviamo che per 0 ≤ θ ≤ π e 0 ≤ r < ∞ abbiamo 0 ≤ k ≤1
• Otteniamo
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 226Campo generato da un anello di carica
• Si definisce integrale ellittico completo di primo tipo
• Per la definizione e le proprietà degli integrali ellittici si veda
• NIST – Digital Library of Mathematical Functions – capitolo 19
https://dlmf.nist.gov/
• Introduciamo la variabile ridotta ρ
• In funzione di ρ il parametro k è
• Infine
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 227Integrali ellittici • Per il calcolo del campo elettrico è necessaria la derivata della funzione K(k) • Vedi NIST DLMF 19.4 • La funzione E(k) è l'integrale ellittico completo di secondo tipo • Notiamo infine che Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 228
Campo generato da un anello di carica • Calcoliamo il valore del potenziale al centro dell’anello • Al centro dell’anello • Abbiamo pertanto • A grandi distanze dal centro dell’anello • Abbiamo pertanto • A grandi distanze è il potenziale della carica dell’anello posta nell’origine Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 229
Campo generato da un anello di carica
• Visualizziamo il potenziale con alcuni grafici
• Consideriamo il potenziale nel piano y = 0
• Una sezione x−z
• Normalizziamo il potenziale al suo valore
nel centro dell’anello
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 230Campo generato da un anello di carica • Altri grafici nella sezione x−z Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 231
Capacità di un conduttore
• Consideriamo un conduttore isolato
• Ad esempio una sfera
• Supponiamo che sul conduttore sia depositata
una certa quantità di carica q
• La carica si distribuisce sulla superficie del
conduttore con una densità superficiale σ
• Abbiamo utilizzato una sfera solo per convenienza
• Non è detto che la densità sia uniforme
• Ovviamente avremo (S è la superficie del conduttore)
• Se il punto r si muove sulla superficie del conduttore il potenziale
assumerà sempre lo stesso valore V = φ(r)
• La superficie del conduttore è equipotenziale
• Supponiamo adesso di variare la quantità di carica sul conduttore q → k q
• Anche la densità di carica sarà moltiplicata per k: σ → k σ
• Anche il potenziale sul conduttore sarà moltiplicato per k: V → k V
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 232Capacità di un conduttore
• Ne consegue che il rapporto fra la carica sul conduttore e il potenziale della
superficie è indipendente dal valore della carica
• Questo rapporto dipende dalla geometria del conduttore e prende il nome di
capacità del conduttore
• Dipende anche dal mezzo che circonda il conduttore
• Per adesso supponiamo che sia il vuoto
• L'unità di misura della capacità (Coulomb/Volt) è il Farad
• Vedremo che un Farad è una capacità enorme e quindi
normalmente si usano dei sottomultipli
• milliFarad 10−3 F mF
• microFarad 10−6 F μF
• nanoFarad 10−9 F nF
• picoFarad 10−12 F pF
• femtoFarad 10−15 F fF
• Calcoliamo la capacità di una sfera di raggio R
• Mettiamo una carica q sulla superficie della sfera e calcoliamo il potenziale
sulla sua superficie
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 233Capacità di un conduttore
• Sappiamo che il potenziale sul conduttore è uguale a quello di una carica q
posta al centro della sfera
• Pertanto il potenziale sulla superficie sarà
• E la capacità
• Come preannunciato dipende solo dalla geometria (R)
• Notiamo che il prodotto ε0R ha le dimensioni del Farad
• È abitudine (ed è anche comodo) utilizzare per
le unità di ε0 il F/m (Farad per metro)
• Qualche esempio numerico
• R = 0.1 m → C = 1.11 × 10−11 F = 11 pF
• R = 6700 Km → C = 0.74 × 10−3 F = 0.74 mF (raggio della terra)
• R = 9 × 106 Km → C = 1F (il sole dista 150 × 106 Km, la luna 0.4 × 106 Km)
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 234Condensatore
• Il concetto di capacità è utile e importante anche per sistemi di più conduttori
• Uno dei sistemi a più conduttori più diffusi e utilizzati è quello
costituito da due conduttori: il condensatore
• Studieremo in seguito i sistemi a più di due conduttori
• Consideriamo un sistema composto da due conduttori
piani di area A posti a distanza ravvicinata
• I due conduttori prendono il nome di
elettrodi o armature
• Supponiamo di depositare una carica +q
sull'elettrodo superiore e una carica −q
sull'elettrodo inferiore
• Se la distanza d fra gli elettrodi è molto piccola le cariche si distribuiscono
uniformemente sulle superfici interne degli elettrodi
• In queste condizioni possiamo approssimare
il campo fra gli elettrodi come il campo fra
due distribuzioni superficiali di carica
uniforme e infinite
• Una soluzione esatta del problema
mostrerebbe una configurazione del campo
elettrico come indicata in figura Effetti di bordo
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 235Condensatore
• Trascuriamo gli effetti di bordo: il campo elettrico fra due piani di carica è
uniforme e perpendicolare agli elettrodi
• Il suo modulo è
Tutte le linee di campo che partono
• La densità di carica è da un piano finiscono sull'altro.
• A questo punto è immediato calcolare Induzione completa
la differenza di potenziale fra gli elettrodi
• V+ il potenziale dell'elettrodo con la carica positiva
• V− il potenziale dell'elettrodo con la carica negativa
• Introducendo i valori di E e di σ
• Analogamente a quanto fatto per il conduttore
singolo definiamo capacità del condensatore il
rapporto fra la carica e il potenziale
• Notiamo che ancora una volta dipende
solo dalla geometria
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 236Condensatore
• Ci aspettiamo che il calcolo fatto sia tanto più accurato quanto
più vicini sono i due piani
• Nel caso in cui l'approssimazione non sia buona allora occorre calcolare
esattamente la differenza di potenziale il funzione della carica
• Troveremmo qualcosa di "leggermente" differente dalla formula trovata
• Sul libro di Purcell è riportato il risultato di un calcolo della capacità di un
condensatore con armature circolari
• La capacità calcolata esattamente viene
confrontata con la formula approssimata
• La tabella mostra il rapporto f fra la capacità
esatta e quella approssimata in funzione di s/R
• Ribadiamo che due conduttori formano
comunque un condensatore
• Mantenere sotto controllo la geometria
permette di costruire dispositivi utilizzati
in circuiti elettronici
• Se la capacità è indesiderata si parla di effetto parassita
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 237Energia immagazzinata nel condensatore
• I condensatori sono dispositivi utili perché possono
immagazzinare (e conservare) energia
• Consideriamo un condensatore di capacità C
• Consideriamo per semplicità l'elettrodo
inferiore a potenziale nullo e quello superiore
a potenziale V
• La carica sulle armature è (per definizione)
• Supponiamo adesso di volere aumentare la carica sull'armatura superiore da q
a q + dq trasportandola dall'elettrodo inferiore che passa da −q a −q −dq
• Naturalmente è necessaria una forza non elettrostatica
• Questa forza compie lavoro contro il campo elettrico per spostare
una carica positiva dall'elettrodo inferiore a quello superiore
• Il lavoro fatto per trasportare dq è dato semplicemente da
• Il lavoro totale per "caricare" un condensatore da 0 a Q è pertanto
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 238Energia immagazzinata nel condensatore
• Il lavoro W è naturalmente uguale all'energia immagazzinata U = W
• Possiamo inoltre esprimere il risultato ottenuto in funzione della differenza di
potenziale fra le armature de condensatore
• Abbiamo infatti
• L'energia trovata è naturalmente l'energia elettrostatica delle cariche sulle
armature del condensatore
• Tuttavia può essere interpretata come l'energia immagazzinata nel campo
elettrostatico presente fra le armature del condensatore
• In un condensatore piano, assumendo che possano essere trascurati gli
effetti di bordo, il campo elettrico è uniforme
• Il suo modulo è
La densità di energia
• Moltiplicando per il volume Ad del condensatore
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 239Esempi di condensatori Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 240
Forza fra le armature
• Consideriamo un condensatore carico sulle cui
armature è presente una carica ±Q
• Le armature pertanto si attraggono
• Naturalmente è presente una forza non elettrica
che mantiene fissa la distanza L fra le armature
• Calcoliamo la forza con cui si attraggono
• Iniziamo facendo il calcolo considerando il condensatore carico
ma isolato da un eventuale generatore
• La carica sulle armature è costante
• Supponiamo di innalzare di un tratto dz l'armatura superiore
• Per farlo applichiamo una forza meccanica Fm che bilancia esattamente la
forza elettrica Fe
• Il lavoro fatto dalla forza meccanica è
• Se la distanza fra le armature aumenta l'energia immagazzinata aumenta
• Infatti la capacità diminuisce
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 241Forza fra le armature
• Naturalmente l'aumento di energia è uguale al lavoro fatto dalla forza
meccanica
• Uguagliando
diretta verso il basso
le armature si attraggono
• Calcoliamo adesso la forza nel caso in cui la differenza di potenziale fra le
armature è costante
• Se procediamo superficialmente troviamo un risultato errato
• L'energia del condensatore è
• Uguagliando
• Ha il segno opposto !! SBAGLIATO
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 242Forza fra le armature
• Naturalmente non è possibile che scollegando (o collegando) il condensatore a
un generatore la forza cambi segno
• L'errore sta nel non aver considerato tutto il lavoro fatto per allontanare
l'armatura di dz
• Infatti se vogliamo mantenere costante la tensione dobbiamo far variare la
carica sulle armature
• Se la capacità cambia di dC (positivo o negativo) la carica sulle armature
deve cambiare di conseguenza: dQ = VdC
• Per trasportare una carica dQ sulle armature il generatore G compie un
lavoro
• Il bilancio energetico corretto è pertanto
• Ricordiamo che
• In accordo con il primo calcolo
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 243Forza sulle armature
• Consideriamo un altro problema con condensatore a facce parallele
• Supponiamo che le armature siano fissate in
modo che la loro distanza non possa variare
• Inoltre l'armatura superiore può muoversi
orizzontalmente mentre quella inferiore è
fissa
• Supponiamo infine che l'armatura superiore sia spostata verso destra
• Vogliamo adesso mostrare che se sul condensatore c'è una carica Q
sull'armatura superiore si esercita una forza da destra verso sinistra
• Sia x la lunghezza della regione di sovrapposizione
• La carica Q e la carica −Q si dispone solo nella parte di sovrapposizione delle
due armature
• Infatti la carica negativa a sinistra sarebbe attratta verso destra dalle
cariche positive in alto
• La carica positiva a destra, analogamente, sarebbe attratta verso sinistra
• Di fatto si tratta di un condensatore di capacità variabile
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 244Condensatori variabili • I condensatori variabili erano utilizzati nel sistema di sintonia delle vecchie radio • Servivano per generare un segnale sinusoidale di frequenza variabile • Oggi si utilizzano circuiti digitali per la sintesi di onde sinusoidali Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 245
Forza sulle armature • Scriviamo l'energia del condensatore in funzione della carica • Consideriamo costante la carica • Facciamo variare la lunghezza di dx • L'energia varia a sua volta • Se dx è positivo la regione di sovrapposizione cresce • La capacità aumenta • La derivata di 1/C è negativa • L'energia diminuisce • Se l'energia del sistema diminuisce significa che sta facendo lavoro contro una forza che bilancia F • Abbiamo pertanto Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 246
Forza sulle armature
• Cosa succede se invece di mantenere costante
la carica manteniamo costante la differenza
di potenziale V?
• La manteniamo costante con una batteria
• In questo caso scriviamo l'energia come
• Se variamo la sovrapposizione di dx
• Vediamo che questa volta se dx è positivo l'energia aumenta
• L'energia è fornita dalla batteria
• La carica deve aumentare
• Infatti se C aumenta e V rimane costante Q = CV
• La batteria trasporta carica dall'armatura inferiore a quella superiore
• Nel fare questo compie un lavoro dW = V dQ
• La carica necessaria per un aumento di capacità dC è dQ = V dC
• Pertanto il lavoro fatto dalla batteria è
• Notiamo che è il doppio di quanto è aumentata l'energia del condensatore
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 247Forza sulle armature
• L'energia in eccesso viene spesa in lavoro contro la forza esterna
• Come nel caso precedente uguagliamo il lavoro contro la forza esterna con la
energia in eccesso fornita dalla batteria
• Un'ultima osservazione
• Se il campo elettrico è perpendicolare alle armature chi fornisce la forza
orizzontale?
• In realtà non è vero che il campo sia sempre perpendicolare
• Per comprendere l'origine della forza sono essenziali gli effetti ai bordi
• Tuttavia gli effetti ai bordi non
influenzano la derivata di C
• È comunque interessante notare che nel
calcolo fatto trascuriamo gli
effetti ai bordi
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 248Puoi anche leggere
