Elementi di Psicometria (con laboratorio software 1)

Elementi di Psicometria (con laboratorio software 1)
 03-Alcuni concetti fondamentali della statistica inferenziale
 (v. 1.4a, 17 marzo 2021)

 Germano Rossi1
 germano.rossi@unimib.it

 1
 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca

 a.a. 2020-21

G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico a.a. 2020-21 1 / 65

Sommario

1 Punti z

2 Curva normale

3 Campione e popolazione

4 Probabilità

5 Distribuzioni di probabilità

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Interpretazione dei punteggi grezzi

 Per le variabili quantitative usiamo delle unità di misura (anni, numero di
 errori...)
 I punteggi grezzi (ciò che abbiamo misurato) sono semplici da interpretare se
 conosciamo la scala su cui sono misurati (i metri, i gradi centigradi e simili)
 Non sono facili da interpretare se usano scale non conosciute (ad es.
 intervallo 6-36 oppure 30-180)
 Variabili diverse possono usare unità diverse (età, soddisfazione...) con
 metriche diverse (età -> 0-n; soddisfazione -> 0-10, ...) che possono
 cambiare da una cultura all’altra (kg o libbre, km o miglia, ...)

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Interpretazione dei punteggi grezzi

 Non sono molto utili neppure per confrontare fra loro variabili diverse:
 un 25 in un test di abilità matematica (AM) è migliore o peggiore di
 un 55 in un test di abilità verbale (AV)?
 Dipende dalle relative scale:
 se AM ha un intervallo 1-30
 e AV un range 10-60
 entrambi i punteggi sono abbastanza vicini al valore massimo
 Ma uno è “migliore” (maggiore) dell’altro?
 In termini assoluti, sì: 55 è maggiore di 25
 Ma in termini relativi?

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Confrontare variabili

 Quando misuriamo una lunghezza, usiamo il metro come un’unità di
 misura e ci chiediamo quante volte il metro sta in una certa distanza.
 L’unità di misura ci permette di esprimere lunghezze diverse tramite
 qualcosa di comparabile e confrontabile
 Non posso confrontare fra loro 2 diverse variabili, a meno di non
 sapere in anticipo che hanno uguale unità di misura

Esempio
Un soggetto ha ottenuto il punteggio 25 su una scala di abilità
matematica e il punteggio 55 su una di vocabolario. Qual è migliore?
Non avendo altre informazioni, non possiamo dirlo!

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Confrontare variabili

 Confrontare variabili diverse fra loro non è possibile se non usando la
 stessa scala di misura e lo stesso "metro"
 È come decidere se 3 banane sono di più di 3 arance
 Sono cose diverse e non possiamo confrontarle
 A meno di non trasformarle in una stessa unità di misura
 “3 banane pesano di più di 3 arance?”
 “In 3 banane ci sono più vitamine che in 3 arance?”
 “3 banane occupano più spazio di 3 arance?”
 “ci sono più frutti di tipo ’banane’ o di tipo ’arance’?”
Ma in statistica vorremmo avere un’unica unità di misura che valga per
misurare qualsiasi variabile quantitativa
Quale potrebbe essere questa unità di misura?

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Distanze dalla media
Ipotizziamo una variabile qualunque:
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

L’unità di misura parte da 0 e va fino a 10. (Assumiamo che M=5). Se
sottraiamo 5 a tutti i punteggi otteniamo uno spostamento:
-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5

L’unità di misura parte da -5 e va fino a +5 (la nuova media è 0).
Non cambia nulla, abbiamo trasformato lo zero assoluto in uno zero relativo. La
nuova unità di misura è lo scarto dalla media (Xi − M); in termini più precisi è
“quante unità di misura di questa variabile, ogni punteggio dista dalla media
della variabile”.

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Trasformazioni lineari

 Abbiamo visto che se aggiungo o sottraggo una costante ad una
 distribuzione, la media subisce la stessa trasformazione
 ∑︁ ∑︁ ∑︁ ∑︁
 (solo denominatore) M = Xi ⇒ (Xi + k) = Xi + k

 per cui se io tolgo ad AM e AV la loro media, trasformo le due
 variabili in modo che abbiano entrambe M=0
 (Xi − M)
 ∑︀ ∑︀ ∑︀
 (Xi ) M
 = − =M −M =0
 N N N
 Ho semplicemente spostato le misure in modo che la media di
 entrambe fosse 0.

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Trasformazioni lineari

 Adesso hanno la stessa media (zero) ma hanno ancora varianza diversa
 Come possiamo rendere i campi di variazione uguali?
 Una prima possibilità è di dividere tutto per un determinato valore (ad es. le
 rispettive gamme) e poi moltiplicare tutto per uno stesso valore (ad es. 100)
 Un’altra possibilità è quella di usare la deviazione standard come unità di
 misura
 In pratica, ci chiediamo “Quante deviazioni standard ci sono fra un
 determinato valore X (di una variabile) e la media (di quella variabile)?”

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Punti z

 Quante deviazioni standard ci sono fra un determinato valore X (di
 una variabile) e la media (di quella variabile)?
 La risposta implica utilizzare la deviazione standard (DS) come nuova
 unità di misura
 Gli scarti dalla media (X − M) vengono divisi per la dev. st.:

 Xi − M
 zi =
 DS
 Il punteggio trasformato in “numero di scarti dalla media” si chiama
 punto z (o punteggio z o punteggio standardizzato), in alcuni libri
 punto u

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Punti z

 Il punto z è una misura standard (come il metro)

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Punti z

 Il punto z è una misura standard (come il metro)
 La media dei punti z è 0 (z = 0), visto che un qualunque punteggio
 corrispondente alla media originale sarebbe a 0 scarti dalla media

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Punti z

 Il punto z è una misura standard (come il metro)
 La media dei punti z è 0 (z = 0), visto che un qualunque punteggio
 corrispondente alla media originale sarebbe a 0 scarti dalla media
 ∑︁
 La somma dei punti z è 0 ( z = 0), perché i punti z sono scarti
 dalla media trasformati in modo uniforme e la somma degli scarti è 0

 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico a.a. 2020-21 11 / 65

Punti z

 Il punto z è una misura standard (come il metro)
 La media dei punti z è 0 (z = 0), visto che un qualunque punteggio
 corrispondente alla media originale sarebbe a 0 scarti dalla media
 ∑︁
 La somma dei punti z è 0 ( z = 0), perché i punti z sono scarti
 dalla media trasformati in modo uniforme e la somma degli scarti è 0
 La deviazione standard dei punti z è 1 (DSz = 1), perché la
 deviazione standard è l’unità di misura

 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico a.a. 2020-21 11 / 65

Punti z

 Il punto z è una misura standard (come il metro)
 La media dei punti z è 0 (z = 0), visto che un qualunque punteggio
 corrispondente alla media originale sarebbe a 0 scarti dalla media
 ∑︁
 La somma dei punti z è 0 ( z = 0), perché i punti z sono scarti
 dalla media trasformati in modo uniforme e la somma degli scarti è 0
 La deviazione standard dei punti z è 1 (DSz = 1), perché la
 deviazione standard è l’unità di misura
 Valori negativi indicano punteggi inferiori alla media

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Punti z

 Il punto z è una misura standard (come il metro)
 La media dei punti z è 0 (z = 0), visto che un qualunque punteggio
 corrispondente alla media originale sarebbe a 0 scarti dalla media
 ∑︁
 La somma dei punti z è 0 ( z = 0), perché i punti z sono scarti
 dalla media trasformati in modo uniforme e la somma degli scarti è 0
 La deviazione standard dei punti z è 1 (DSz = 1), perché la
 deviazione standard è l’unità di misura
 Valori negativi indicano punteggi inferiori alla media
 Valori positivi, punteggi sopra la media

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Punti z

 La trasformazione in punti z, si dice anche “standardizzazione”
 La distribuzione dei punti z si dice “distribuzione standardizzata”
 perché è una delle tante possibili curve di frequenza, ma con M e DS
 conosciute a priori
 I punti z permettono di confrontare fra loro punteggi provenienti da
 diverse distribuzioni di frequenza

Esempio
x=70, M=82, DS=12 (z=-1) x=23, M=35, DS= 6 (z=-2)
23 è 2 DS al di sotto della sua media, mentre 70 è solo 1 DS sotto la sua
media; se fossero punteggi di profitto, confrontandoli, dovremmo dire 23 è
un valore “peggiore” rispetto a 70 non perché è più piccolo ma perché il
suo punto z è inferiore

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Esempi d’uso dei punti z

 Conoscendo media, varianza e il punto z, si può calcolare il valore di
 X (cioè il punto grezzo):

 X = M + zx · DS

Esempio
Se un test di profitto ha M=82 è DS=12, a quale punteggio corrisponde il
punto z=1.2?
 X = 82 + 1.2 · 12 = 96.4

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Scale derivate dai punti z

 Ci sono scale standardizzate utilizzate comunemente in psicologia
 (specie per i test) che derivano dai punti z
 punteggi T: hanno M=50 e DS=10. Si ottengono con T = 10z + 50
 punteggi SAT: hanno M=500 e DS=100. Si ottengono con
 SAT = 100z + 500
 QI o IQ: la maggior parte dei test d’intelligenza (come il WAIS)
 utilizza M=100 e DS=15. Si ottengono con QI = 15z + 100
 QI o IQ: il test d’intelligenza Stanford-Binet utilizza M=100 e
 DS=16. Si ottengono con QI = 16z + 100

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Spss: punti z

 Spss permette di calcolare i punti z di una variabile per ogni unità
 statistica, tramite Analizza | Statistiche descrittive |
 Descrittive... e attivando il flag Salva valori
 standardizzati come variabili

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Spss: punti z

 In fondo ai dati, viene aggiunta una variabile con il nome
 corrispondente preceduto da “Z”

 Questa variabile può essere usata come qualsiasi altra

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Distribuzione normale e standardizzata
La formula della curva normale è:

 Curva normale (sd=.5; 1; 2)
 (x − )2
 1 −

 1.0
 f (x ) = √ e 2 2
 2 

 0.8
dove −∞ < x < ∞

 i parametri della curva sono la

 0.6
 dnorm(x)
 media, la dev.st. e la varianza
 0.4
 Quindi la curva cambierà di
 forma in base alla media e
 alla deviazione standard
 0.2

 la versione standardizzata ha
 0.0

 media=0 e DS=1
 −4 −2 0 2 4

 x

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Distribuzione normale e standardizzata

 Se cambia M (ma non DS), non Se cambia la DS, cambia la forma:
 cambia la forma all’aumentare di DS, la curva si
 Curve normali con medie diverse (5, 10, 15) e s=1
 appiattisce e si allarga
 Curva normale (sd=.5; 1; 2)
 0.5

 1.0
 0.4

 0.8
 0.3
Probabilità

 0.6
 dnorm(x)
 0.2

 0.4
 0.1

 0.2
 0.0

 0.0

 0 5 10 15 20

 Valore di X
 −4 −2 0 2 4

 x

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Relazione fra Normale standardizzata e Punti z

La Curva normale standardizzata animata mostra la relazione fra l’area
sottesa alla curva e i punti zeta, in base al punto di riferimento (ovale
arancione con freccia).
 0 to Z mostra la % di
 area fra z=0 e
 z=riferimento
 Up to Z mostra la %
 di area fra la coda
 negativa e il
 riferimento
 Z onwards mostra la
 % di area fra la coda
 positiva e il riferimento

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Tavole della distr. normale

 La curva normale è simmetrica
 Quindi ogni metà è il 50%
 Allontanandoci da z=0 abbiamo
 aree identiche per z identici su
 entrambi i lati della media
 z=-0.10 corrisponde a un’area del
 3.98% sotto la media
 z=0.10 a un’area del 3.98% sopra
 la media

Esistono delle tabelle che riportano il valore dell’area corrispondente a vari
valori di z

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Tavole della distr. normale
 Welkowitz, Cohen, Ewen Tavola A (p. 473 ss.)
 La tavola riporta la proporzione di area sottesa alla curva normale
 calcolata a partire dalla media 0 (ricordarsi che l’intera area è
 simmetrica)

 Per ogni punto z viene indicata
 l’area fra z=0 e il punto z
 stesso (area in grigio)
 La proporzione di area è
 indicata come percentuale
 (34,13) con due decimali
 Si può trasformare facilmente
 in proporzione (.3413) con 4
 decimali

https://www.germanorossi.it/mi/file/elem/Tavole_Welkowitz.pdf

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Tavole della distr. normale (Welkowitz)

Una copia in TavoleWelkowitz.pdf
 La prima colonna indica il primo decimale del punto z, ogni colonna successiva
 indica il secondo decimale
 All’incrocio fra una riga (ad es. 0,3) e una colonna (0,05) troviamo l’area
 corrispondente
 Es. l’area fra z=0,35 e 0 è pari a 13,68

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Tavole della distr. normale (Aron)

Aron, Coups, Aron - Tavola A.1 La prima colonna indica il
(p. 587 ss.) punto z (con 2 decimali)
 La seconda colonna riporta
 l’area fra il punto z e la media
 (espressa come %)
 Es. l’area fra z=0,05 e 0 è pari
 a 1,99
 La terza colonna riporta l’area
 fra il punto z e la coda positiva
 (espressa come %)
 Es. l’area fra z=0,05 e la coda
 positiva è pari a 50-1,99=48.01

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Tavole della distr. normale (Field)

 Un’altro possibile modo di
 presentare la tabella
 La prima colonna indica il punto z
 (con 2 decimali)
 La seconda colonna riporta l’area fra
 il punto z e la coda negativa (area
 bianca del grafico)
 Es. l’area fra z=0,05 e la coda
 negativa è pari a 50+1,99=51.99
 La terza colonna riporta l’area fra il
 punto z e la coda positiva (area
 azzurra): per z=0,05 è pari a
 50-1,99=48.01
 La quarta colonna riporta il valore
 dell’ordinata corrispondente al punto
 z

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Tavole della distr. normale: Punti z particolari

 Punti z particolari
 Fra -1 e +1 DS
 corrisponde un 68.26%
 di area
 fra -2 e +2 DS
 corrisponde un 95.44%
 di area
 z≤1.64 corrisponde al
 95% / 5%
 z≤1.96 corrisponde al
 97.5% / 2.5%

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Tavole della distr. normale: Punti z particolari

Punti z particolari
 l’area fra -1.96 e + 1.96
 è del 95% attorno alla
 media
 l’area fra -2.57 e + 2.57
 è del 99% attorno alla
 media

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Esempi d’uso dei punti z (1)

Qual è la % di soggetti con un punteggio inferiore a 120 (M=100, s=20)?

 calcolo il punto z [(120-100)/20=1]
 consulto una tavola della normale e
 cerco il punto z=1.00, quindi leggo
 l’area corrispondente [34,13 o
 .3414]
 poiché questa è l’area fra z=0 e
 z=1 e mi interessa anche la metà
 inferiore, sommo 50 [50,00 + 34.13
 = 84.13%]

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Esempi d’uso dei punti z (2)

Qual è la % di soggetti con un punteggio inferiore a 80 (M=100, s=20)?

 calcolo il punto z [(80-100)/20=-1]
 il punto z è negativo perché sotto
 la media
 consulto le tavole della normale e
 cerco il punto z=1.0
 in base alle tavole che utilizzo,
 posso leggere l’area fra la z=0 e
 z=1 corrispondente [34,13] oppure
 l’area fra z=1 e la coda [15.87]
 nel primo caso faccio il
 complemento a 50,00 [50,00 -
 34,13 = 15.87%]

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Esempi d’uso dei punti z (3)

Qual è la % di soggetti con punteggio compreso fra 80 e 120?

 calcolo i punti z [-1 e +1]
 consulto le tavole della normale e
 cerco il punto z=1.00, e leggo
 l’area corrispondente [34,13]
 poiché questa è l’area fra la z=0 e
 z=1 (ma sonoenteressato ad
 entrambi i lati della curva, conto
 l’area 2 volte [34,13 + 34,13 =
 68.26%]

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Esempi d’uso dei punti z (4)

A quale punto z corrisponde l’area con il 10% di punteggi superiori?
 Usando le tavole che indicano l’area
 fra z=0 e z=x, devo trovare il resto
 di 10,00% [50,00-10,00=40,00] e
 cerco dentro le tavole una
 proporzione che si avvicini a 40,00
 Usando le tavole che indicano l’area
 fra z=x e la coda, cerco il valore
 più vicino a 10%
 in entrambi i casi corrisponde a
 z=1.28
 i punteggi il cui z è >= di 1.28,
 rientrano nel 10% superiore

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Esempi d’uso dei punti z (5)

Per una prima selezione dei candidati all’assunzione in una azienda, si
decidere di scartare il 70% dei punteggi inferiori ottenuti tramite uno
strumento di valutazione (che si distribuisce normalmente) con M=80 e
DS=10. Qual è il punteggio minimo per essere ammessi alla seconda
selezione?
 Un’area del 70% va cercata all’interno delle tavole della normale (che
 però considerano solo metà dell’area), quindi ci interessa il 20%
 Se le tavole indicano l’area fra z=0 e z=x, cerco dentro le tavole una
 proporzione che si avvicini a 20,00. [corrisponde a z=.52 o (0.53)]
 Se le tavole indicano l’area fra z=x e la coda, cerco il valore più vicino
 a 50-20=30% dentro le tavole [corrisponde a z=.52 o (0.53)]
 usando la formula inversa dei punti z, troviamo che il punteggio
 minimo è x = 80 + .52 × 10 = 85.2

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Esempi d’uso dei punti z (6)

Per l’assunzione in una grande grupo bancario e per una specifica
mansione, si decidere di selezionare i candidati il cui punteggio è compreso
nel 22% attorno alla media, ottenuti tramite uno strumento di valutazione
(che si distribuisce normalmente) che ha M=120 e DS=25. Qual è il
punteggio minimo e massimo per considerare gli ammessi?
 L’area va cercata nella tavola della normale (simmetrica) e mi
 interessa un’area pari a 22/2=11%
 se le tavole indicano l’area fra z=0 e z=x, cerco una proporzione che
 si avvicini a 11,00... [corrisponde a z=.28]
 usando la formula inversa dei punti z, troviamo che il punteggio
 minimo è x = 120 − .28 × 25 = 113 e quella massima è
 x = 120 + .28 × 25 = 127

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Campione e popolazione (1)

 Chi si occupa di comportamento necessita di studiare il
 comportamento delle persone e di trarre delle conclusioni
 Gli psicologi, di solito, possono misurare solo una piccola parte di
 queste persone
 Per questo motivo, la maggior parte della ricerca in psicologia si basa
 su un piccolo campione di dati da cui derivano affermazioni generali
 La statistica descrittiva si applica a dati di qualsiasi ampiezza (in
 termini di casi statistici)
 Per cui le statistiche descrittive valgono sia per un campione sia per
 una popolazione
 Le statistiche descrittive calcolate (o stimate) su una popolazioni, si
 chiamano parametri

 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico a.a. 2020-21 33 / 65

Campione e popolazione (2)

 Un campione (ricordiamo) è una piccola parte della popolazione
 Ricordiamo anche che una popolazione è l’insieme di tutti i casi
 statistici possibili che presentano le caratteristiche che intendiamo
 studiare
 In altre parole: il campione è costituito da tutte le misurazioni che
 ho fatto in “questa” raccolta di dati
 La popolazione è costituita da tutte le misurazioni che avrei potuto
 fare in questa raccolta dati
 Il campione è sempre finito
 La popolazione può essere finita o infinita

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Campione e popolazione (3)

 Il termine “finito” indica che esiste un numero che rappresenta il
 massimo dei casi statistici considerabili (Ad es. tutti gli studenti
 immatricolati a Psicologia nell’a.a. 2014/15)
 Il termine “infinito” che non esiste un numero massimo di casi
 statistici (Ad es. tutti i tempi di reazione a un certo stimolo)
 Il campionamento è l‘estrazione di un campione dalla popolazione
 (secondo determinati criteri) per poterla studiare più agevolmente
 Se conosciamo le caratteristiche della popolazione (parametri), sarà
 facile estrarre un campione che ben la rappresenti
 oppure riconoscere se il campione in esame rappresenta bene la
 popolazione oppure no

 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico a.a. 2020-21 35 / 65

Campione e popolazione (4)

 Molto spesso nelle scienze sociali non si conoscono le caratteristiche
 della popolazione
 Se non le conosciamo dovremo cercare di estrarre un campione che
 sia una buona stima della popolazione
 Dal momento che non sempre conosciamo i parametri della
 popolazione, le statistiche descrittive dei campioni sono usate come
 stima dei corrispondenti parametri
 Non abbiamo la certezza che queste stime siano “vere” ma sono le
 stime “migliori” dal momento che non conosciamo nulla!

 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico a.a. 2020-21 36 / 65

Rappresentatività (1)

 Generalizziamo il concetto di “buona stima” dicendo che il campione
 dev’essere rappresentativo
 Il campione selezionato “dovrebbe” rappresentare “in piccolo” la
 popolazione che si vuol studiare. . . quindi il campione dovrebbe avere
 le stesse caratteristiche della popolazione (e nella stessa proporzione)

 Gruppo Omeo- Gruppo
 concreto morfi- teorico che
 che studio smo voglio studiare

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Rappresentatività (2)

 Sulla base del campione rappresentativo, estendiamo i dati ottenuti
 all’intera popolazione, tramite l’inferenza statistica
 Campione Popolazione
 inferenza

 Una volta selezionate le variabili che ci interessa studiare (che saranno
 chiamate variabili dipendenti), si individuano anche delle variabili che
 si ritengono importanti o che possono essere/produrre influenza su
 (che verranno chiamate variabili indipendenti). Il campione deve
 distribuirsi (in queste variabili) proporzionalmente alla popolazione

 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico a.a. 2020-21 38 / 65

Rappresentatività (3)

 Un modo generalmente usato per avere la rappresentatività è quella
 della selezione casuale dei casi statistici dalla popolazione
 Questi campioni sono chiamati casuali ma...
 In italiano, “casuale” ha più un significato di arbitrario, informale,
 quello che capita...
 Ma ha anche un significato diverso
 Quando metto la mano nel sacchetto con i numeri della tombola, non
 guardo dentro al sacchetto per poter estrarre un numero casuale...
 Casuale (in statistica) significa appunto che non uso strategie per
 selezionare un caso statistico a scapito di un altro...

 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico a.a. 2020-21 39 / 65

Casuale o randomizzato

 Il vostro libro usa sia casuale sia randomizzato.
 È lo stesso concetto
 In inglese, “random” enfatizza il fatto che tutti gli eventi possibili
 debbano avere la stessa possibilità di essere selezionati
 Un campione casuale (o randomizzato) è quindi uno dei possibili
 campioni estraibili da quella popolazione
 Inoltre, tutti i casi selezionati per quel campione devono avere la
 stessa probabilità di essere selezionati

 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico a.a. 2020-21 40 / 65

Estrazione casuale (1)

 Esistono numerosi modi per selezionare un campione casuale
 In molti casi si tratta di identificare ogni caso in qualche modo (ad es.
 con un numero)
 Poi è possibile (ad es.)
 mettere tutti gli identificatori in un “contenitore”, da cui si selezionano
 “alla cieca” fino a raggiungere il numero di casi stabilito per il campione
 usare un numero casuale (computer, calcolatrice, tavole dei numeri
 casuali) per selezionare i singoli casi
 si ordinano gli identificatori e si selezionano quelli che sono in una certa
 posizione (ad es. 1 ogni 20)
 È necessario avere a disposizione un elenco della popolazione
 (problematico con le leggi sulla privacy se i casi statistici sono
 individui)

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Estrazione casuale (2)

 In teoria, dopo aver selezionato un caso, dovremmo ri-immetterlo nel
 mucchio; altrimenti gli altri non avranno la stessa probabilità dei
 precedenti
 1 1 1
 , , , ...
 n n−1 n−2
 non si fa, perché
 se stiamo scegliendo un campione, non possiamo usare due volte la
 stessa unità statistica
 (con popolazioni grandi o infinite) la diversa probabilità è piccolissima
 1 su 1.000.000 = 0.0000010000 (1 milione)
 1 su 999.900 = 0.0000010001 (1 milione-100)

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Statistiche e parametri

 Le statistiche finora studiate [media, dev. st.,. . . ], sono calcolate sui
 campioni e vengono normalmente chiamate “statistiche”
 Le statistiche calcolate sul campione si possono usare come “stime”
 delle stesse informazioni della popolazione. Le informazioni [media,
 dev. st.,] della popolazione sono chiamate “parametri”
 In genere, per i parametri si usano lettere greche, mentre per le
 statistiche si usano lettere normali

 Statistica Parametro
 Media M, X (mu, mi)
 Varianza DS 2 , s 2 2 (sigma quadro)
 dev. st. DS, s, SD (sigma)
 correlazione r (rho)

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Probabilità di un evento

 Nel linguaggio comune, usiamo parole come “sicuro, certo, probabile,
 possibile, impossibile...” per parlare dell’accadere di un fatto (evento):

 possibile, probabile
 0 1
 impossibile certo, sicuro

 Un evento “sicuro, certo” accadrà sicuramente (e sarà un evento con
 probabilità uguale a 1, p(x ) = 1)
 un evento impossibile non accadrà mai (non ci saranno eventi, e la
 sua probabilità si indica con zero, p(x ) = 0)
 Dal momento che la probabilità di un evento è compresa fra 0 e 1, di
 solito si ometto lo 0 davanti al punto decimale (.50 anziché 0.50)
 usando, in genere, almeno 2 decimali (meglio 3)

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Teorie della probabilità N

Usiamo il termine probabilità per indicare “quanta possibilità vi sia che un
evento accada” fra diversi altri possibili (più di 0 e meno di 1,
0 < p(x ) < 1)
Esistono, sostanzialmente, 3 approcci teorici:
 classica: gli eventi possibili sono equiprobabili oppure la loro
 probabilità è teoricamente calcolabile o conoscibile (è stata sviluppata
 soprattutto per i giochi d’azzardo)
 frequentista: la probabilità dipende dalla frequenza con cui un certo
 evento è accaduto nel passato
 soggettiva: il rischio che siamo disposti a correre, la probabilità che
 associamo (senza fare calcoli espliciti) all’accadere di un evento

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Probabilità classica

 Esistono diversi eventi possibili, ma uno solo può accadere; alcuni
 eventi possono essere utili ai nostri scopi, tutti gli altri no
 La probabilità si calcola dividendo gli eventi che ci servono rispetto a
 tutti gli eventi egualmente possibili
 casi favorevoli f
 p(x ) = =
 casi possibili n

Esempio
Ottenere un numero superiore o uguale a 5 tirando un dado:
 se il dado non è truccato, la probabilità di ogni numero è identica
 due sono gli eventi utili (5 e 6), 6 gli eventi possibili
 p(5, 6) = 2/6 = 1/3 = .33

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Probabilità frequentista N

 Si usa quando gli eventi possibili non hanno la stessa probabilità (ad
 es. colore dei capelli o degli occhi)
 La loro probabilità dipende dalle esperienze passate (frequenza
 empirica)
 Si chiama “frequentista” perché usiamo la frequenza (o meglio la
 proporzione) di una categoria come stima della probabilità del
 verificarsi di quella categoria
 È ampiamente usata dalle assicurazioni

Esempio
Se su 100 compiti di un esame, 15 sono insufficienti; in base alla
probabilità frequentista, la probabilità di superare quell’esame sarebbe di
85/100=.85 oppure la probabilità di NON superare quell’esame sarebbe di
15/100=.15

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Probabilità soggettiva N

 È la stima che ciascuno di noi fa, sull’accadere di un evento su cui
 non abbiamo informazioni sicure
 Normalmente si usa nelle scommesse: “quanto scommetti che...”
 oppure nei giudizi: “mi consigli di fare...”, “devo fare così... o così...”

Esempio
 Decidere di affrontare un’esame universitario, dipende dalla
 probabilità soggettiva di superarlo.
 Accelerare o rallentare quando un semaforo diventa giallo, dipende
 dalla stima soggettiva (probabilità) di riuscire a passare prima che
 diventi rosso.

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Regole della probabilità

 Una volta trovata la probabilità di un evento (classica, frequentista o
 soggettiva) le regole che si applicano sono le stesse
 La somma delle probabilità di tutti gli eventi alternativi (e possibili) è
 (dev’essere) pari a 1 (uno solo è l’evento che può accadere)
 La probabilità di ciascuno degli eventi possibili è la distribuzione di
 probabilità di quel tipo di evento
 Le regole sono:
 addizionale o della somma (OR, o)
 moltiplicativa o del prodotto (AND, e)

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Regola della somma (OR, o) 1

La probabilità che accada un evento A oppure un evento B è pari a:
 somma delle singole probabilità meno la probabilità dell’intersezione:
 p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
 se A e B sono mutualmente escludentisi fra di loro cioè se
 p(A ∩ B) = 0 (l’intersezione dei due eventi è nulla), allora:

 p(A) + p(B)

Esempio
Probabilità di ottenere un numero pari con un lancio del dado:
lanciando un solo dato, p(2 ∩ 4 ∩ 6) = 0
p(2) + p(4) + p(6) − 0 = 1/6 + 1/6 + 1/6 − 0 = 3/6 = 1/2 = .50

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Regola della somma (OR, o) 2

 se A e B non sono mutualmente escludentisi: p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
 (esistono eventi che cadono in entrambe le categorie)

Esempio
Probabilità di ottenere almeno un 5 o un Le possibili combinazioni
6 con 2 dadi con due dadi
 11 21 31 41 51 61
 1 dado 1: p(A = 5, 6) = 2/6 = .33
 12 22 32 42 52 62
 2 dado 2: p(B = 5, 6) = 2/6 = .33 13 32 33 43 53 63
 3 entrambi i dadi: p(A ∩ B = 4/36 14 24 34 44 54 64
 4 p(A) + p(B) − p(A ∩ B) = 15 25 35 45 55 65
 2/6 + 2/6 − 4/36 = 16 26 36 46 56 66
 (12 + 12 − 4)/36 = 20/36 = .55

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Regola della somma (OR, o) 2

 se A e B non sono mutualmente escludentisi: p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
 (esistono eventi che cadono in entrambe le categorie)

Esempio
Probabilità di ottenere almeno un 5 o un Le possibili combinazioni
6 con 2 dadi con due dadi
 11 21 31 41 51 61
 1 dado 1: p(A = 5, 6) = 2/6 = .33
 12 22 32 42 52 62
 2 dado 2: p(B = 5, 6) = 2/6 = .33 13 32 33 43 53 63
 3 entrambi i dadi: p(A ∩ B = 4/36 14 24 34 44 54 64
 4 p(A) + p(B) − p(A ∩ B) = 15 25 35 45 55 65
 2/6 + 2/6 − 4/36 = 16 26 36 46 56 66
 (12 + 12 − 4)/36 = 20/36 = .55

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Regola della somma (OR, o) 2

 se A e B non sono mutualmente escludentisi: p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
 (esistono eventi che cadono in entrambe le categorie)

Esempio
Probabilità di ottenere almeno un 5 o un Le possibili combinazioni
6 con 2 dadi con due dadi
 11 21 31 41 51 61
 1 dado 1: p(A = 5, 6) = 2/6 = .33
 12 22 32 42 52 62
 2 dado 2: p(B = 5, 6) = 2/6 = .33 13 32 33 43 53 63
 3 entrambi i dadi: p(A ∩ B = 4/36 14 24 34 44 54 64
 4 p(A) + p(B) − p(A ∩ B) = 15 25 35 45 55 65
 2/6 + 2/6 − 4/36 = 16 26 36 46 56 66
 (12 + 12 − 4)/36 = 20/36 = .55

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Regola della somma (OR, o) 2

 se A e B non sono mutualmente escludentisi: p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
 (esistono eventi che cadono in entrambe le categorie)

Esempio
Probabilità di ottenere almeno un 5 o un Le possibili combinazioni
6 con 2 dadi con due dadi
 11 21 31 41 51 61
 1 dado 1: p(A = 5, 6) = 2/6 = .33
 12 22 32 42 52 62
 2 dado 2: p(B = 5, 6) = 2/6 = .33 13 32 33 43 53 63
 3 entrambi i dadi: p(A ∩ B = 4/36 14 24 34 44 54 64
 4 p(A) + p(B) − p(A ∩ B) = 15 25 35 45 55 65
 2/6 + 2/6 − 4/36 = 16 26 36 46 56 66
 (12 + 12 − 4)/36 = 20/36 = .55

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Regola della somma (OR, o) 2

 se A e B non sono mutualmente escludentisi: p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
 (esistono eventi che cadono in entrambe le categorie)

Esempio
Probabilità di ottenere almeno un 5 o un Le possibili combinazioni
6 con 2 dadi con due dadi
 11 21 31 41 51 61
 1 dado 1: p(A = 5, 6) = 2/6 = .33
 12 22 32 42 52 62
 2 dado 2: p(B = 5, 6) = 2/6 = .33 13 32 33 43 53 63
 3 entrambi i dadi: p(A ∩ B = 4/36 14 24 34 44 54 64
 4 p(A) + p(B) − p(A ∩ B) = 15 25 35 45 55 65
 2/6 + 2/6 − 4/36 = 16 26 36 46 56 66
 (12 + 12 − 4)/36 = 20/36 = .55

 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico a.a. 2020-21 51 / 65

Regola della somma (Esercizio 1) N

Esercizio
Lanciando 4 monete qual è la probabilità di ottenere almeno 3 Teste? [3 o
4 T]

Soluzione
p(3t) + p(4t) = .25 + .0625a = .3125

Esercizio
Non più di 1 Testa?

Soluzione
p(0t) + p(1t) = .125a + .0625a = .1875
a
 Vedi slide 54

 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico a.a. 2020-21 52 / 65

Regola della somma (Esercizio 2) N

Esercizio
Estraendo una carta da un mazzo di 40 carte (4 semi, 7 numeri e 3 figure,
qual è la probabilità che sia una figura oppure una carta di cuori?

Soluzione
Ci sono 3 figure per seme e 10 carte per seme, quindi
p(figura) + p(cuori) − p(figura di cuori) = 12/40 + 10/40 − 3/40 =
19/40 = .475

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Regola del prodotto (AND, e) 1

 La probabilità che accadano contemporaneamente 2 eventi (fra loro
 indipendenti oppure con re-immissione) è pari al prodotto delle
 singole probabilità p(A e B) = p(A) p(B)

Esempio
Lanciando 4 monete, qual è la probabilità di ottenere 4 teste
simultaneamente?
Ogni faccia della moneta (se non è truccata) ha la stessa probabilità,
quindi p(A)=1/2 o p=.50
 (︂ )︂4
 1 1 1 1 1
 * * * = = .54 = .0625
 2 2 2 2 2

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Regola del prodotto (AND, e) 2 N

Esempio
E la probabilità di rispondere correttamente (e casualmente) ad un
questionario a scelta multipla di 30 domande? (4 scelte)
 (︂ )︂30
 1
 = 8.67E −19 = 0.000000000000000000867
 4

 Se gli eventi non sono indipendenti fra loro, si usa la probabilità
 condizionata
 Ovvero la probabilità di un evento condizionato dall’accadere di
 un’altro evento: p(A/B)

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Probabilità condizionata (eventi dipendenti) N
 Anni
 Esempio
 Genere Età esperienza
 lavorativa Qual è la probabilità che, avendo
 1 M 43 14 estratto una femmina (F), questa abbia
 2 M 36 6 più di 10 anni di esperienza (B)? (eventi
 3 F 56 28 dipendenti)
 4 F 47 12 Corrisponde alla probabilità
 5 F 28 1 dell’intersezione (p(B ∩ F )) diviso la
 6 F 37 6 probabilità dell’evento condizionato
 7 M 46 5
 (p(F )).
 8 F 30 2
 9 M 28 2 ovvero
 10 F 26 1 p(B/F ) = p(B ∩ F )/p(F )
 F M 2 6 2 10 2
 A(10) 2 1 3
 6 4 10

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Probabilità condizionale N

 Probabilità di ottenere un certo evento dopo che si è verificato un
 primo evento:
 p(A ∩ B) fA∩B
 p(A/B) = =
 p(B) fB

Esempio
Probabilità che, un asso estratto da un mazzo di 52 carte, sia di cuori
(eventi indipendenti)
p(asso)=4/52=0.077
p(cuori)=13/52=0.25
p(asso ∩ cuori) = 1/52 = 0.0192
 1 13 1 52 1
 p(A/B) = / = = = .077
 52 52 52 13 13

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Probabilità di 2 eventi indipendenti N

 Due eventi sono indipendenti fra loro se:

 p(A/B) = p(A) e contemporaneamente p(B/A) = p(B)

 ovvero se la probabilità del primo evento (condizionata dal secondo) è
 uguale a quella del primo

Esempio
 p(A ∩ B) = 1/52
p(asso)=4/52=1/13 p(cuori)=13/52=1/4
p(asso/cuori)=(1/52) / (13/52) = p(cuori/asso)=(1/52) / (4/52) =
1/13 1/4
Il concetto di indipendenza fra due variabili, ci servirà quando
affronteremo la statistica di 2 (chi-quadro, al capitolo 13)

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Applicare entrambe le regole N

 Con 4 monete, probabilità di 3 teste e 1 croce
 p(t) = p(c) = .5
 Approccio classico: eventi favorevoli (tttc, ttct, tctt, cttt) / eventi
 possibili 4/16 = .25
 Approccio alternativo:
 AND - 4 eventi simultanei = .54 = .0625
 OR - 4 possibili combinazioni (tttc, ttct, tctt, cttt)
 ciascuna con probabilità .54 = .0625

 .0625 + .0625 + .0625 + .0625 = .0625 * 4 = .25

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Distribuzioni di probabilità

 Tutte le alternative possibili di Probabilità con 100 lanci di una moneta

 un “evento” costituiscono i

 0.08
 “valori” di quell’evento
 I valori di un evento possono

 0.06
 essere trattati come

 Probabilità
 “misurazioni” e rappresentate

 0.04
 come distribuzioni di frequenza
 (in questo caso di proporzioni)

 0.02
 Esistono delle distribuzioni di
 probabilità le cui caratteristiche
 0.00
 sono conosciute 0 20 40 60 80 100

 Numero di teste

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Distr. di prob. note

 La distribuzione binomiale
 la distribuzione ipergeometrica*
 la distribuzione normale
 la distribuzione normale standardizzata
 la distribuzione di chi-quadro ( 2 )
 la distribuzione F di Snedecor
 la distribuzione t di Student
 la distribuzione campionaria

*
 Non la affronteremo

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Distribuzione normale e standardizzata

 Formula della famiglia di Curva normale (sd=.5; 1; 2)
 curve normali

 1.0
 (x − )2
 −
 1 2 2

 0.8
 f (x ) = √ e
 2 

 dove −∞ < x < ∞;

 0.6
 dnorm(x)
 I parametri della curva sono
 la media, la dev.st. e la
 varianza 0.4

 Quindi la curva cambierà di
 0.2

 forma in base alla media e
 alla deviazione standard
 0.0

 La Normale standardizzata
 ha media 0 e dev.st. 1 −4 −2 0 2 4

 x

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Distribuzione binomiale (con p=.5)

 Probabilità con 100 lanci di una moneta
 Formula della famiglia di curve
 binomiali
 0.08

 (︂ )︂
 m
 P(x ) = p x (1 − p)m−x
 x
 0.06

 dove x = 1, 2, · · · m; m è il valore
 massimo possibile; e p è la
Probabilità

 probabilità dell’evento “successo”
 0.04

 la curva è simmetrica solo con
 p=.5
 0.02
 0.00

 0 20 40 60 80 100

 Numero di teste

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Distribuzione di chi-quadro ( 2 )

 Curve di chi quadro per 1,2,3,4,5 e 10 g.l
 2−k/2 (k−2)/2 −x /2
 f (x ) = x e
 0.6

 Γ(k/2)
 0.5

 dove k è il valore dei gradi di
 libertà
 0.4
 Probabilità

 0.3
 0.2
 0.1
 0.0

 0 5 10 15 20 25 30

 Valore di chi

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Caratteristiche

 Essendo distribuzioni di probabilità note, per ciascuna, noi
 conosciamo non solo la media e la deviazione standard, ma anche la
 porzione di area corrispondente ad ogni valore che compone la
 distribuzione (ascissa)
 Viceversa, conoscendo una porzione di area possiamo risalire al valore
 (ascissa) che vi è associato
 Il valore in ascissa (z, t, F, 2 ) può quindi essere associato ad un’area
 e ad una probabilità
 La statistica inferenziale si baserà su alcune di queste distribuzioni di
 probabilità conosciute

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