Docente del corso: Dott. Per. Ind. Oliva Stefano - SI PREGA DI MANTENERE IL SILENZIO Blog. Prof Oliva ...

Docente del corso: Dott. Per. Ind. Oliva Stefano 1
Mail. stefano.oliva@ipsteleseischia.edu.it
Blog. https://profolivastefano.altervista.org/
SI PREGA DI MANTENERE IL SILENZIO

 Un diagramma cartesiano
 Rappresenta un insieme di coppie di dati statistici.
 I dati statistici che costituiscono la coppia sono legati da una
 relazione
 ( , = )
 Unisce i punti con una linea spezzata nel piano cartesiano allo
 scopo di darci un idea dell’andamento.
 E’ una rappresentazione intuitiva
 Solitamente utilizzato per mettere in evidenza i cambiamenti nel
 tempo

 2

Avete mai sfogliato un quotidiano? Avete mai prestato attenzione alle
 immagini in sottofondo ai commentatori televisivi?
Se «si» avrete notato che di tanto in tanto compaiono dei grafici per
avvalorare la forza comunicativa del linguaggio parlato e che questi
 grafici qualche volta hanno l’aspetto che segue:

 3

Bene se vi avete mai fatto caso quelli sono dei diagrammi cartesiani!
 Normalmente per la vita di tutti i giorni un diagramma cartesiano viene
 rappresentato nel primo quadrante, tuttavia esistono eccezioni nella matematica e
 nella fisica che possono portare ad avere diagrammi cartesiani anche negli altri
 quadranti.
 Costruire questi grafici è estremamente semplice, il diagramma è costituito da due
 semirette positive che si incontrano nell’origine (0,0), su ciascuna semiretta sono
riportati i dati ed il grafico è dato dall’incontro di questi dati segnati solitamente con
 un puntino.
Osserviamo che questo tipo di grafico permette di evidenziare in maniera semplice
e chiara gli andamenti di un determinato evento. Una salita seguita da un massimo e
poi una discesa, possiamo vedere a colpo d’occhio la ripidità di salita o di discesa!

 4

In questi giorni non vi è tg in cui non imperversi un grafico dei
contagiati da coronavirus. Cerchiamo di esaminarlo insieme così
da capire qualcosa. Prendiamo il grafico presente sul sole 24 ore.
 A primo impatto visivo possiamo osservare:
 Sull’asse delle x troviamo il passare del tempo, nel caso
 specifico espresso in giorni.
 Sull’asse delle y troviamo i contagiati giornalieri
 Il diagramma appare abbastanza caotico con molti massimi e
 minimi locali
 Dunque possiamo dedurre:
 Un punto del grafico è dato dalla coppia (giorno, contagiati)
 Il picco massimo di contagiati è avvenuto il 21 Marzo

 5

Se abbiamo detto che il grafico nasce da una serie di coppie
 ordinate è abbastanza evidente che i dati espressi dal grafico
 provengono da una tabella:
 Data Numero
 26/02 78
 27/02 250
 28/02 238
 29/02 240
 01/03 566
 02/03 342
 03/03 466
 … …
 E così via, se volete completare la tabella i dati sono qui:
https://public.flourish.studio/visualisation/1443766/?utm_source
 6
 =embed&utm_campaign=visualisation/1443766

Posso provare ad effettuare una predizione osservando l’andamento del grafico?
 Posso usare gli strumenti dell’analisi matematica per farmi dare una mano?
 Ad entrambe le domande la risposta è si!
 È possibile partendo dai punti di un diagramma cartesiano
 approssimare ad una funzione attraverso le spline.
 Tuttavia, sebbene interessanti, le spline fanno parte di una branca particolare
 del calcolo numerico e nel vostro caso non è contemplata!
 (se dovesse incuriosirvi a questo link trovate delle spiegazioni generiche sulla spline)
Dunque proviamo ad aiutarci intuitivamente per capire come approssimare quel grafico a
 qualche funzione conosciuta.
 La prima cosa che faccio è semplificarmi il grafico e ridurlo solamente ai punti più
 interessanti ovvero «i massimi locali»
 7

Il teorema di Fermat, per essere sintetici, si riassume in:
 L’annullamento della derivata prima di una funzione in un punto 0 del dominio è
 condizione necessaria affinchè 0 sia un punto di massimo o di minimo relativo
 (quindi eventualmente anche assoluto) per la funzione.
 Dunque come troviamo i punti candidati ad essere di massimo o minimo?
1. Calcoliamo la derivata prima della funzione: = ′ ( )
2. Risolviamo l’equazione ′ = 0

Tutto bello e tutto figo, ma direte voi non abbiamo una funzione su cui lavorare
 ma un grafico costituito da tante spezzate come possiamo fare i calcoli?

 8

Vero non possiamo fare i calcoli ma ricordiamo cosa significa geometricamente la
derivata di una funzione in uno specifico punto 0 e cosa significa quando questa
 derivata sempre in 0 si annulla?
 Significato geometrico della derivata:
 La derivata prima di una generica funzione ( ) in un punto 0 è il coefficiente
 angolare della retta tangente alla funzione ( ) proprio in 0
 Ricordando l’equazione esplicita di una retta: = + 
Dire che la derivata prima in 0 si annulla significa dire che si annulla il coefficiente
angolare dunque geometricamente la retta tangente la funzione nel punto 0 è una
 retta parallela all’asse delle !
Siamo quindi in grado di cercare visivamente e geometricamente tali punto su
 un grafico disegnato?
 OVVIO CHE SI! 9

Osserviamo i punti
 cerchiati sono i nostri
 candidati quelli che
avrebbero retta tangente
 orizzontale.
 Osserviamo anche che
non tutti sono «utili» per
 una eventuale
approssimazione per cui
escludo quelli arancioni.

 10

 Dal 26 Feb al 21 Mar
 Sembrerebbe proprio
 una funzione
 esponenziale nello
 specifico
 1
 = 2 ∈ [0,26[
 Dove ho numerato i
 giorni da 0 a 26
 partendo con 0 = 26 Feb
 Dal 21 Mar al 10 aprile
 Sembrerebbe un
 andamento piuttosto
 lineare nella discesa

 11

Semplicemente prendiamo i due punti di inizio e fine considerando di aver
numerato i giorni con numeri interi partendo da 0 che corrisponde al 26 Febbraio
 A(26; 6557) e B(50; 2972)
 Ricordiamo l’equazione di una retta passante per due punti?
 − 1 − 1
 =
 2 − 1 2 − 1
 Facendo i dovuti calcoli troveremo:
 
 = − +
 
 = − , + . , 
 Potete fare voi la controprova sostituendo i punti A e B nell’equazione.

 12

Riassumendo il mio metodo alquanto rozzo mi permette, dato il grafico e identificato
 l’andamento, di riassumere lo stesso con delle funzioni analitiche che, salvo
 imprevisti, mi danno anche un presunto andamento del grafico stesso.
 Quindi riassumendo possiamo scrivere:
 1
 2 
 = ∈ ℝ ∈ [0,26[
 = � 1195 83526
 = − + ∈ [26, +∞]
 8 8
Osserviamo che nella prima parte ho identificato che è un esponenziale ma non ho
calcolato il moltiplicatore in quanto il grafico fino al suo massimo assoluto è noto e
 non ho bisogno di fare previsioni.

Nella seconda parte dove c’è la possibilità di avere delle previsioni ho calcolato in
 maniera precisa la retta.
 13

Possiamo fare una previsione utilizzando questo metodo «grezzo» di sintetizzare i
 punti del diagramma cartesiano?
 Ebbene si, possiamo ipotizzare quale sia il giorno con contagi zero.
Badate bene «ipotizzare» in quanto il modello matematico che abbiamo estratto dal
 grafico cartesiano è piuttosto semplicistico non tiene conto delle variazioni (tutti i
punti arancioni che abbiamo escluso) del grafico ne dei possibili comportamenti del
 popolo in riferimento alle ordinanze restrittive.
 Calcoliamolo:
 1195 83526 83526 8
 − + = 0 → = − �− → = 69,89 ≈ 70
 8 8 8 1195
 Secondo il nostro modello al settantesimo giorno avremo contagi zero
 ovvero il 04/05/2020 data in cui scade il DPCM di lockdown dell’Italia

 14

 Abbiamo visto com’è fatto un grafico cartesiano
 Abbiamo visto il grafico cartesiano e la relativa tabella dei dati
 Abbiamo ripetuto il massimo e minimo di una funzione e come si
 trovano i punti candidati ad essere punto di massimo e di minimo
 Abbiamo visto come è possibile approssimare un grafico cartesiano
 con funzioni note anche se la metodologia è abbastanza rozza
 Come è possibile fare una «previsione» sull’andamento del grafico

 15