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CONSIDERAZIONI IN MARGINE ALLE PROVE INVALSI DI MATEMATICA PER F. BRUNELLI
L’ESAME DI LICENZA MEDIA DEL GIUGNO 2012
Considerazioni in margine alle prove Invalsi di
matematica per l’esame di licenza media
del giugno 2012
Summary
The author focuses the written paper Invalsi delivered in June 2012,
for eleven years old students, attending the first year of Secondary
School. The article presents the text of some of the questions
considered the most interesting ones.
The results given by a small sample of students are commented on
according to the standard didactic practice and to the school book.
Fabio Brunelli
169L'INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA VOL.36 A N.2
E DELLE SCIENZE INTEGRATE MARZO 2013
Considerazioni in margine alle prove Invalsi di matematica per
l’esame di licenza media del giugno 2012
Fabio Brunelli, Istituto Comprensivo Masaccio - Firenze
brunelli1950@libero.it
Introduzione
Ero molto incerto su quale titolo dare a questo articolo; il dubbio
era tra “La talpa” (dal quesito E8), “Estate a Pittulongu” (dal
quesito E22), oppure anche “Durante matematica i miei neuroni
hanno preso una corda e si sono impiccati”, frase “twittata” in rete
da Franci, quattordicenne della provincia di Caserta. Alla fine ho
scelto un titolo più adatto ad una rivista di matematica.
La “talpa” del quesito E8
170CONSIDERAZIONI IN MARGINE ALLE PROVE INVALSI DI MATEMATICA PER F. BRUNELLI
L’ESAME DI LICENZA MEDIA DEL GIUGNO 2012
Fa un certo effetto leggere i titoli dei giornali italiani del 19 giugno
scorso: “Medie, il test con 9 superdomande”, “I quesiti (difficili)
per scovare i più bravi”, “Invasi da folli, il web insorge e scoppia il
caso Pittulongu”.
I giornalisti sono persone a volte divertenti e simpatiche. Ma
sicuramente in questi casi hanno poco tempo per approfondire e
riflettere. La realtà è sempre più complicata. In internet poi si crea
facilmente una “onda”, un “effetto-traino” e nascono così le
“leggende metropolitane”.
Le prove Invalsi 2012 nella mia classe
La mia terza di quest’anno era composta da 27 alunni, 14 maschi e
13 femmine: una terza considerata “brillante” per il buon numero di
ragazzi “bravi” (tra l’altro quest’anno si è segnalata a livello
regionale in gare di matematica a squadre). Tuttavia non
mancavano alunni con difficoltà di apprendimento in generale e in
particolare in matematica.
Il 18 giugno scorso hanno affrontato la prova Invalsi di italiano e di
matematica insieme a quasi altri 600.000 studenti italiani. Come
consiglio di classe avevamo deciso di aiutarli in sede di ammissione
agli esami e anche durante il colloquio. Per quanto riguarda le
prove scritte la nostra “linea politica” era stata quella di farli
lavorare da soli, senza dar loro “imbeccate”.
Una delle domande che mi pongo tutti gli anni è se esiste una
correlazione tra il voto di ammissione di matematica, il voto della
prova scritta di matematica “interna” e il voto della prova scritta di
matematica “esterna” (Invalsi). Penso che questo sia un problema
per tutti gli insegnanti: cercare il senso e la validità delle proprie
valutazioni.
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E DELLE SCIENZE INTEGRATE MARZO 2013
Nella tabella che segue ho raccolto le valutazioni dei miei alunni.
Al posto dei nomi ho riportato nella prima colonna un numero
progressivo da 1 a 27.
Numero Voto Voto scritto Voto
progressivo ammissione di “interno” di Invalsi
dell’alunno Mat. Mat. di Mat.
01 7 9 6,8
02 9 10 9,2
03 9 9 9,2
04 6 6 7,8 copiato
05 5 portato a 6 5 5,8
06 9 9 9,2
07 8 8 7,4
08 9 9 8,8
09 6 7 7,2
10 6 6 6,4
11 6 6 7,2
12 5 portato a 6 6 8,8 copiato
13 5 portato a 6 6 4,4
14 7 8 7,4
15 9 10 8,2
16 9 9 7,2
17 5 portato a 6 5 3,8
18 4 portato a 6 5 5,4
19 4 portato a 6 5 5,4
20 7 7 6,4
21 5 portato a 6 5 9,2 copiato
22 6 9 copiato 5,8
23 6 6 8,2 copiato
24 5 portato a 6 6 8,2 copiato
25 5 portato a 6 5 7,2 copiato
172CONSIDERAZIONI IN MARGINE ALLE PROVE INVALSI DI MATEMATICA PER F. BRUNELLI
L’ESAME DI LICENZA MEDIA DEL GIUGNO 2012
26 6 5 8,8 copiato
27 5 portato a 6 6 4,4
Nella seconda colonna ho riportato il voto di matematica di ogni
allievo alla fine del secondo quadrimestre; in qualche caso ho
riportato il voto “del registro” e il voto di ammissione deliberato dal
Consiglio di Classe nello scrutinio finale (non è possibile
ammettere agli esami alunni con valutazioni insufficienti).
Nella terza colonna ho riportato il voto nella prova “interna” di
matematica. Il testo della prova è preparato dai docenti di
matematica della scuola e comprende un quesito con due equazioni
di primo grado, un quesito di geometria piana e solida (in genere si
parte da un quadrilatero e si arriva ad un solido di rotazione), un
quesito su figure o rette nel piano cartesiano e un quarto e ultimo
quesito di probabilità legata alla genetica.
Nella quarta colonna ho riportato il punteggio conseguito
dall’alunno nella prova Invalsi di matematica. Questi punteggi
“nascono” in partenza in cinquantesimi (ai fini della valutazione
d’esame questi punteggi vengono sommati ai punteggi della prova
di lingua italiana e infine arrotondati). Io li ho riportati in decimi
senza arrotondamenti per un più facile confronto con i voti delle
prime due colonne.
Prima di procedere ad un confronto dei voti sulle varie colonne va
qui chiarito un fatto imbarazzante. Come consiglio di classe
eravamo d’accordo di non aiutare i ragazzi durante le prove scritte;
lo avevamo fatto in sede di ammissione e lo avremmo fatto ancora
in sede di colloquio orale. Prima delle prove Invalsi io stesso ho
preparato l’aula più grande della scuola, allontanando per quanto
possibile i banchi e raccomandando alle due colleghe sorveglianti di
173L'INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA VOL.36 A N.2 E DELLE SCIENZE INTEGRATE MARZO 2013 stare con “gli occhi aperti”. Ebbene alla fine abbiamo avuto degli “8” e dei “9” non accettabili. E intervistando i ragazzi (ho un rapporto buono e franco con i miei allievi) abbiamo avuto ammissioni di aiuti e scambi di risultati anche a grande distanza all’interno dell’aula. Presumibilmente le colleghe sono state un po’ “distratte”, o “stanche”, o non sufficientemente motivate ad una oculata sorveglianza. Non oso immaginare cosa accade nelle scuole dove gli insegnanti decidono loro di intervenire durante le prove per influenzarne i risultati … Concludendo, dove in tabella si legge “copiato” è da intendersi non una presunzione del docente valutatore, ma un caso di “reo confesso”. A mio parere per copiare occorrono due competenze, la prima di tipo cognitivo: saper copiare, la seconda di tipo sociale: avere qualcuno disponibile ad aiutarti. Ho l’impressione, e sono triste nel dirlo, che alcuni alunni di livello basso siano sguarniti di entrambe queste competenze. Lascio agli statistici la misurazione rigorosa della correlazione tra i dati delle tre colonne. Anche senza calcolare particolari coefficienti di dispersione possiamo osservare che la correlazione è evidente. Aggiungo da ultimo che in linea di massima gli alunni non si sono “rovinati la media” con i risultati delle prove Invalsi (come spesso viene riportato da molti, ma in genere senza dati oggettivi). Alcuni quesiti visti da vicino Confesso che a me piace la geometria. Prenderò qui in considerazione nel dettaglio le risposte fornite dai miei alunni a tre quesiti di geometria. Uno di geometria solida e due di geometria piana. 174
CONSIDERAZIONI IN MARGINE ALLE PROVE INVALSI DI MATEMATICA PER F. BRUNELLI
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Cominciamo con la famigerata “talpa” che si è mangiata quasi tutta
la mia classe. Ecco il quesito:
Per rispondere correttamente alla domanda a) avrebbero dovuto
calcolare il volume di un cilindro
3,40 * 3,40 * π * 10 = 115,6 π ~ 362,984.
La risposta giusta è pertanto la “C”.
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Dire che è stata una “Caporetto” è poco: hanno indicato “C” solo 13
alunni su 27 (~ 48%). Tra essi ci sono alunni di tutti i livelli (delle
copiature abbiamo già detto).
Durante gli orali ho fatto qualche intervista. Una ragazza brava mi
ha detto: “Le gallerie non hanno forma cilindrica, ma
semicilindrica, quindi per un po’ pensavo di dover dividere il
volume del cilindro per due”, un altro ragazzo pure bravino mi ha
detto: “Di solito nella misura del volume del cilindro c’è il π. Tra le
soluzioni proposte dal quesito il π mancava e questo mi ha
disorientato, per questo ho scelto 120 .
Per rispondere alla domanda b) avrebbero dovuto risolvere la
relazione
1800 (kg/ = x : 250
250 * 1800 = 450.000 kg
Solo due (7,4%) alunni hanno fornito la risposta corretta (due
alunni tra i più bravi della classe promossi poi con il nove e con il
dieci e lode). Abbiamo avuto queste altre risposte errate: 45.000 kg
(7 alunni), 2.200 kg (cinque alunni), 7 kg (tre alunni), 2520 kg (un
alunno), infine sette alunni non hanno risposto. Tenendo presente
che gli alunni hanno collaborato tra loro, possiamo anche
immaginare perversi “effetti domino” che hanno trascinato in
risposte errate gruppi interi di alunni. In pratica l’unico dato
attendibile a questo punto è che hanno sbagliato quasi tutti a
rispondere alla seconda domanda del quesito.
Riflettiamo ancora brevemente sui deludenti risultati relativi al
calcolo del volume del cilindro. Questo argomento è “trattatissimo”
in terza media e i ragazzi sono ben allenati a calcolare volumi dei
più strani solidi di rotazione. E allora? Cosa accade? Dobbiamo
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forse registrare un “divario epistemologico” tra i cilindri della
prassi didattica e i cilindri dell’Invalsi…?
Passiamo ora alla geometria piana. Consideriamo un quesito facile,
da scuola primaria direi:
La risposta corretta è la “C”: Sì, perché i quattro triangoli di vertice
O sono equivalenti.
Venti alunni (74%) hanno risposto correttamente (due di questi
avevano dato una risposta errata e poi si sono corretti), tre alunni
hanno risposto “A”, due alunni hanno risposto “B” e due alunni
hanno risposto “D”. I sette alunni che hanno sbagliato a rispondere
sono tutti della fascia medio-bassa o bassa della classe.
Si nota anche una certa “soggezione” degli alunni nel confronto
delle figure stampate nel fascicolo Invalsi. Non disegnano sulle
figure con matita e righello, non le completano per aiutarsi nei
ragionamenti. Il protocollo seguente è l’unico della classe, relativo
177L'INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA VOL.36 A N.2 E DELLE SCIENZE INTEGRATE MARZO 2013 al quesito E6, dove un allievo (ragazza di livello alto) ha osato accennare ad una suddivisione dei triangoli che evidenzia la loro equiscomponibilità: Ecco infine il secondo quesito di geometria piana che vogliamo prendere in considerazione: 178
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La risposta corretta alla domanda a) è 25 cm.
Venti alunni della classe (74%) hanno risposto correttamente a
questa domanda. Dei sette alunni che hanno sbagliato a rispondere
uno ha scritto 31,40 (alunno di livello basso) e altri sei non hanno
risposto nulla (tutti alunni di livello basso). La risposta 31,40 è stata
poi giustificata dallo stesso allievo con la frase “Perché il perimetro
si calcola con diametro per π”.
Per quanto riguarda la domanda b) del quesito, in cui si chiede di
giustificare il procedimento, tra i venti che hanno risposto
correttamente due non rispondono alla domanda b), (sono alunni di
livello basso). Due forniscono giustificazioni inaccettabili, oppure
si limitano a dire che il raggio è metà del diametro. Dodici
descrivono il trapezio o perlomeno forniscono tutte le misure dei
lati del trapezio. Tre alunni osservano che il trapezio ABCD è
formato da tre triangoli equilateri (uno di questi è di livello basso –
“copiato reo confesso”). Un solo spiega che le corde sono lati di un
esagono regolare (allieva da dieci e lode).
Intervistato più tardi uno afferma: “Il segmento DC non era
disegnato in figura e quindi non capivo se faceva parte del
quadrilatero …”
Nel seguente protocollo il disegno di uno dei due allievi che ha
giustificato la sua risposta disegnando tre triangoli equilateri:
179L'INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA VOL.36 A N.2 E DELLE SCIENZE INTEGRATE MARZO 2013 In quest’ultimo protocollo vediamo il lavoro di un alunno, di livello medio-alto e che ha risposto correttamente, il quale tuttavia ha disegnato un rettangolo, poi risultato estraneo al problema: 180
CONSIDERAZIONI IN MARGINE ALLE PROVE INVALSI DI MATEMATICA PER F. BRUNELLI
L’ESAME DI LICENZA MEDIA DEL GIUGNO 2012
Conclusioni
I fascicoli delle prove Invalsi compilati dai nostri allievi sono una
miniera di spunti che potrebbero essere utili nell’insegnamento
della matematica. Andrebbero meglio studiati e discussi, sia tra
colleghi di matematica che con gli allievi. Purtroppo sembra che il
maggiore interesse sia per i punteggi finali. Quanto ai fascicoli essi
vengono frettolosamente archiviati.
A mio parere gli insegnanti di matematica in Italia (io non mi
chiamo fuori da questi) sono un poco adagiati su una certa
tradizione didattica: “spiego bene la regola ora fate tanti esercizi”.
Gli allievi dal canto loro sono abituati ad una certa “frettolosità”;
vogliono capire subito quale formula applicare per risolvere
l’esercizio; non hanno la pazienza di leggere, rileggere e riflettere
sul testo di un quesito.
Oggi tutto questo non basta più. La bozza delle “Indicazioni
nazionali per il curricolo della scuola dell’infanzia e del primo ciclo
di istruzione”, resa nota da pochi giorni dal MIUR, parla di una
matematica che contribuisce “alla formazione culturale delle
persone e delle comunità, sviluppando le capacità di mettere in
stretto rapporto il “pensare” e il “fare” e offrendo strumenti adatti
a percepire, interpretare e collegare tra loro fenomeni naturali,
concetti e artefatti costruiti dall’uomo, eventi quotidiani.
In particolare, la matematica dà strumenti per la descrizione
scientifica del mondo e per affrontare problemi utili nella vita
quotidiana; contribuisce a sviluppare la capacità di comunicare e
discutere, di argomentare in modo corretto, di comprendere i punti
di vista e le argomentazioni degli altri.”
Mi pare che la matematica richiesta oggi alla scuola sia più vicina
alla “talpa” e a “Pittulongu” che non ai tradizionali esercizi a cui i
nostri allievi sono avvezzi.
Concludo con uno stralcio della lettera scritta da Paolo Boero
(Università di Genova) alla fine dello scorso giugno:
181L'INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA VOL.36 A N.2 E DELLE SCIENZE INTEGRATE MARZO 2013 “Mi chiedo se gli insegnanti che contestano la prova INVALSI hanno letto le vigenti indicazioni ministeriali per il curricolo della "scuola media", in quanto i quesiti della prova INVALSI sono palesemente finalizzati ad accertare in che misura sono state acquisite le competenze in esse previste. Ad esempio 7 quesiti su 25 riguardano la padronanza dell'argomentare (comprendere e produrre ragionamenti in forma verbale per sostenere una posizione) in problemi di matematica "pura" o applicata a situazioni reali. E aggiungo che tali competenze sono anche rilevanti se vogliamo adeguare la preparazione dei nostri ragazzi agli standard dei Paesi più avanzati. O qualcuno pensa che nella scuola italiana le priorità formative per la matematica sono quelle dettate da certi libri di testo purtroppo assai diffusi, che nulla hanno a che fare con i bisogni formativi dei futuri cittadini italiani e con le vigenti indicazioni per il curricolo? Sempre con riferimento a episodi che mi sono stati riportati, mi sembra significativa questa posizione espressa da diversi insegnanti: "non c'è tempo per preparare i ragazzi a queste prove, con il programma impegnativo che bisogna svolgere nella classe terza". Tale posizione esprime bene il fatto che per certi insegnanti esiste un "programma da svolgere" che non ha nulla a che fare con i contenuti della prova INVALSI (e quindi nemmeno con le indicazioni ministeriali per il curricolo), e che la preparazione alla prova INVALSI è un di più rispetto alla propria programmazione. In effetti una adeguata preparazione a una prova INVALSI come quella di quest'anno non può essere fornita in poche settimane di lavoro; occorre quindi che certi insegnanti riconsiderino le priorità del loro insegnamento della matematica in funzione di obiettivi 182
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importanti per i cittadini di domani, adeguando ad essi le loro
programmazioni per l'intero triennio della "scuola media".
Apprendimenti meccanici e nozionistici, uno studio della
matematica avulso da collegamenti significativi con situazioni
d'uso realistiche, l'applicazione automatizzata di regole e tecniche
non dovrebbero più avere lo spazio (e occupare il tempo)
attualmente preponderante in moltissime classi.
A mio avviso indurre gli insegnanti a riflettere su queste cose è una
delle ricadute positive che la prova nazionale INVALSI può avere
nella scuola, soprattutto se si creano (nella scuola, ma anche fuori)
situazioni di discussione aperta sulla prova e sulle competenze che
essa si propone di accertare e valorizzare.”
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Un grazie a tutti i miei alunni (nella foto vincitori di una gara di
matematica per classi) senza i quali questo articolo non sarebbe mai
stato scritto
Bibliografia
F. Brunelli, “La prova nazionale di matematica nella scuola
secondaria di primo grado”, Archimede, Le Monnier, Anno LXII
gennaio-marzo 2010, pag. 6 - 15.
F. Brunelli, “Un quadrato metà di un altro”, Rivista ALICE, 2010 –
III vol. XI n° 33 pag. 407 - 425.
Invalsi, Prime evidenze del rapporto tra voto della prova nazionale
e apprendimenti in italiano e matematica. Prova nazionale A. S.
2011 – 2012
http://www.invalsi.it/esamidistato2012/documenti/Prime_evidenze_
PN2012.pdf
184Puoi anche leggere
