Robust and Decentralized Control of Positive Systems: A Convex Approach

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Robust and Decentralized Control
of Positive Systems: A Convex
Approach

 Doctoral Thesis

 Author(s):
 Colombino, Marcello

 Publication date:
 2016

 Permanent link:
 https://doi.org/10.3929/ethz-a-010736004

 Rights / license:
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Dissertation ETH No. 23687

    Robust and Decentralized Control of
             Positive Systems
                     A Convex Approach

        A dissertation submitted to attain the degree of

               Doctor of Sciences of ETH Zürich

                     (Dr. sc. ETH Zürich)

                         presented by

                   Marcello Colombino
       MEng Imperial College London, United Kingdom

                   born 29.08.1988 in Biella
                        citizen of Italy

              accepted on the recommendation of

               Prof. Dr. Roy S. Smith (examiner)
            Prof. Dr. Florian Dörfler (co-examiner)
         Prof. Dr. Mihailo R. Jovanović (co-examiner)

                             2016

Abstract
This thesis focuses on robust and decentralized control problems for
positive systems. We begin by revisiting a classical modeling frame-
work that allows us to model uncertain systems in a systematic way
and, using tools from convex analysis, we derive tractable necessary and
sufficient conditions for robust stability of uncertain positively domi-
nated systems. These conditions involve only the system’s static gain
and can be verified using convex optimization. We illustrate our results
by deriving conditions for the robust stability of the Foschini-Miljanic
algorithm, with applications to power control for communication sys-
tems with uncertain interference matrix.
   We then derive equivalent necessary and sufficient state-space condi-
tions for the robust stability of positive systems. We use these condi-
tions to show that designing structured controllers that enforce robust
stability and close-loop positivity is a tractable problem that can be
solved using convex optimization. We further extend our results to
a class of systems with sector-bound nonlinearities, proving that the
S-Procedure is lossless for positive systems.
   In the second part of the thesis we study a class of decentralized
control problems for positive systems with application to biology and
network theory. We show that, despite the structural constraints, these
problems are convex both in the nominal and in the robust case and
can be solved efficiently using custom descent algorithms. We provide
several examples from leader selection in directed networks to robust
optimal drug therapy for HIV.
   In the final part of the thesis we tackle the problem of analyzing
the robustness properties of a class of systems that do not fall into the
standard modeling framework for uncertain systems. These problems
arise naturally in the study of directed networks with uncertain edge
weights. Exploiting powerful results from duality theory of linear pro-
gramming, we show that the problem of assessing robust performance
for transportation and consensus networks with respect to the induced
L1 and L∞ norms is tractable and can be solved using linear program-
ming. We further extend this result to optimal robust network design
in case the weights of a number of edges are left as decision variables.

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Sommario
Questa tesi si concentra su diversi problemi di controllo robusto e de-
centralizzato per sistemi positivi. Come prima cosa è rivisitato un
framework classico che permette di modellare sistemi incerti in modo
sistematico. Usando strumenti di analisi convessa, si derivano con-
dizioni necessarie e sufficienti per garantire la stabilità robusta per
i sistemi positivamente dominati. Tali condizioni riguardano solo il
guadagno statico del sistema e possono essere verificate risolvendo un
problema di ottimizzazione convesso. I risultati sono illustrati con uno
studio della stabilità dell’algoritmo di Foschini e Miljanic applicato al
controllo della potenza di trasmissione per network di comunicazione
nel caso in cui la matrice di interferenza sia incerta.
   Successivamente sono derivate condizioni sulle matrici di stato del
sistema che sono necessarie e sufficienti per la stabilità robusta dei
sistemi positivi. Tali condizioni sono utili per la sintesi di controllori
distribuiti o decentralizzati che impongono positività all’anello chiuso e
garantiscono la stabilità robusta del sistema. Questi risultati sono infine
estesi a una classe di sistemi positivi incerti non-lineari e illustrati con
esempi numerici.
   Nella seconda parte della tesi si studia una classe di problemi decen-
tralizzati per sistemi positivi che trova applicazioni nella teoria delle reti
e in biologia. Si dimostra come, nonostante i vincoli strutturali, questi
problemi siano convessi sia nel caso nominale sia nel caso robusto. Tali
problemi possono essere risolti in modo efficiente utilizzando algoritmi
di ottimizzazione del primo ordine sviluppati appositamente. I risul-
tati sono illustrati tramite numerosi esempi tra cui la selezione di nodi
leader in grafi direzionali e il controllo ottimo della terapia per l’HIV
in presenza di incertezza nel modello di mutazione del virus.
   Nella parte finale della tesi si affronta il problema dell’analisi di per-
formance robusta per una classe di problemi che riguardano sistemi
positivi incerti che non può essere modellata con il framework classico
utilizzato per i risultati precedenti. Questa classe di problemi deriva
dallo studio di reti con pesi incerti sugli spigoli. Sfruttando la teoria
della dualità dei programmi lineari, si dimostra che il problema di sta-
bilire se una rete di consenso o una rete di trasporto incerte soddisfano

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Sommario

       un certo livello di performance rispetto alle norme L1 and L∞ indotte
       è convesso e può essere risolto con un programma lineare.

viii