Laboratorio di Teoria dei Giochi a Venezia
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Giorgio Ravagnan
Laboratorio di Teoria dei Giochi a Venezia
Progetto Lauree Scientifiche – matematica
Liceo Scientifico “G.B. Benedetti”, Venezia
anni scolastici 2005/2006 e 2006/2007
Descrizione dell’esperienza e temi affrontati
L’argomento della “Teoria dei Giochi” è stato proposto agli studenti presentandolo come
ambito di studio normalmente non affrontato a livello di liceo, ma interessante ed attuale, dal punto
di vista di analisi matematica anche in relazione a diverse applicazioni, in particolare di tipo
economico. I temi proposti, pur essendo solitamente studiati a livello universitario, possono venir
affrontati, con modalità opportune anche a partire dalle conoscenze liceali, poiché i prerequisiti
indispensabili sono essenzialmente già noti anche all’inizio del triennio della scuola media
superiore.
Nel primo anno di attività il lavoro didattico è stato sviluppato, in un contesto di interattività tra
docenti universitari, docenti di liceo e studenti, attraverso l’individuazione e la risoluzione di
problemi. Sono stati analizzati una serie di semplici giochi da tavolo tra due avversari,
individuando, dopo una serie di partite giocate tra loro dagli studenti, le strategie di gioco possibili
per entrambi gli avversari. Sono stati affrontati giochi sia a scelta sequenziale (dama
unidimensionale; esapedina; dama 4x4; tris; star nim), sia a scelta contemporanea (dama
unidimensionale; gioco delle dita; giochi di bluff; giochi di guerra; calcio di punizione).
L’obiettivo era quello di pervenire ad una costruzione di alberi decisionali, di matrici di gioco e
di algoritmi risolutivi che permettessero di individuare le strategie ottimali (pure o miste). Sono
stati utilizzati, come riferimento, alcuni testi divulgativi e si è mediato rispetto alle presentazioni
presenti in testi universitari, privilegiando l’aspetto operativo e di scoperta, di simulazione di
giochi, di analisi e di costruzione di procedure risolutive, pur impostando anche dei semplici
percorsi dimostrativi a giustificazione di algoritmi utili per la determinazione della strategia
ottimale.
Il lavoro operativo con gli studenti è stato incentrato soprattutto sull’analisi dei giochi strategici
2x2, cioè dei giochi in cui ciascuno dei due avversari dispone di due strategie possibili. Sono stati,
per altro, introdotti sinteticamente esempi di giochi non cooperativi: il “dilemma del prigioniero”
come esempio storico emblematico, ma anche un gioco concreto a squadre, il gioco “pax”, teso ad
evidenziare, nel suo svolgimento, che il risultato migliore si ottiene quando ogni componente del
gruppo fa ciò che è meglio per sé e per il gruppo (accennando così al teorema di Nash). Al lavoro
operativo è stato affiancato anche un momento di riflessione storico – critica a livello elementare
sulla teoria delle decisioni in condizioni di rischio.
L’attività è continuata nell’anno successivo, con un nuovo gruppo di studenti e con docenti del
Liceo, senza la partecipazione di docenti universitari, a causa di diversi loro impegni. Si è
ripercorso, con i nuovi studenti, il lavoro dell’anno precedente, privilegiando ancor più l’aspetto
operativo di analisi di giochi, di simulazioni e di costruzione di algoritmi. Sono stati affrontati
anche i giochi strategici 2xn. Ci si è proposti inoltre, durante il secondo anno, di “tracciare
memoria del percorso fatto”. Sono quindi state costruite, assieme agli studenti, delle schede di
presentazione di temi o problemi, di analisi e costruzione di algoritmi. Le varie schede sono
confluite nella redazione di un ipertesto reperibile nel sito del Liceo Benedetti di Venezia.
1
Metodologia
L’intervento didattico ha avuto una forte connotazione operativa e laboratoriale. Gli incontri con
gli studenti si sono svolti in un laboratorio di informatica dotato di lavagna elettronica interattiva,
come strumento di sostegno alle fasi di presentazione. Gli argomenti sono stati proposti tramite
esempi concreti di giochi, proponendone l’analisi e una ricerca di metodi di risoluzione. Si è
pensato, nelle presentazioni dei vari temi, di visualizzare con disegni il più possibile (avendo a
disposizione in laboratorio una lavagna elettronica interattiva) le varie situazioni, le proprietà e le
procedure. Spesso, fra le varie scelte possibili di software di disegno, è stato scelto di utilizzare
l’ambiente Cabri, noto agli studenti. Anche le scacchiere dei giochi sono state costruite in Cabri per
poter giocare direttamente partite di esplorazione, oppure per creare (in stampa, nascondendo in tal
caso le pedine) delle scacchiere cartacee.
Sono state predisposte dagli insegnanti varie simulazioni con fogli elettronici per analizzare con
gli studenti la matrice di un gioco, per trovare le soluzioni del gioco in presenza di punto di sella o,
altrimenti, per determinare le strategie miste ottimali, nei casi 2x2 e 2xn, ed infine, per aiutare
l’esplorazione, dei risultati di gioco raggiungibili, al variare delle strategie miste adottate dai due
avversari, simulando più partite nel caso di giochi 2x2 al fine di osservare l’evolversi del guadagno
medio per entrambi i giocatori.
Negli ultimi tre incontri di laboratorio del secondo anno è stato affrontato assieme, studenti ed
insegnanti, il problema della costruzione di un programma che risolvesse con metodi aritmetici i
giochi 2xn, qualsiasi fosse la matrice di gioco assunta in partenza. Si deve tener conto che del
gruppo di lavoro facevano parte studenti, che avevano conoscenze solo elementari di
programmazione, anche se poi nel lavoro sono stati attivi e propositivi. Così, man mano che si
costruiva il programma, si procedeva nel contempo ad apprendere l’uso di nuovi strumenti
informatici. Nell’ipertesto segnalato il programma viene presentato, discutendone il listato, e si può
utilizzarlo direttamente, tramite una versione eseguibile, per ricercare le soluzioni su di un esempio
scelto dall’utente a piacere.
Per alcuni percorsi dimostrativi è stato usato anche Derive (nella versione presente nelle
calcolatrici grafico simboliche). In questo modo dal punto di vista informatico sono stati usati
diversi ambienti, scegliendo, di volta in volta, l’ambiente più adatto allo scopo.
Un gioco guida emblematico del percorso didattico: la dama unidimensionale.
Questo gioco è servito, come situazione guida, per affrontare gli altri giochi proposti agli
studenti. Prima è stato utilizzato per introdurre all’analisi, tramite il gioco diretto di varie partite,
delle varie strategie possibili, poi per passare alla loro rappresentazione in forma di albero e di
matrice ed infine per trovare un criterio (maxmin) per individuare una soluzione di strategia ottimale
per il primo giocatore e di conseguente risposta per il secondo giocatore nel caso di scelta
sequenziale. Il principio del maxmin (o criterio di Neumann – Wald) si basa sulla supposizione che
ogni giocatore si comporti con “razionalità” e “prudenza”, in modo da assicurarsi il massimo
vantaggio possibile, nel caso che il suo avversario giochi nel migliore dei modi.
Una successiva modifica delle regole di gioco ha portato ad un significativo esempio di
situazione a scelta contemporanea, priva di strategie pure vincenti. L’esempio è servito ad
introdurre il concetto di strategia mista.
La dama unidimensionale
2Regole di gioco:
I due giocatori dispongono di una pedina (bianca o nera) ciascuno, che sono collocate nelle
caselle estreme della scacchiera (una sola riga di sei caselle).
I giocatori muovono i pezzi alternativamente. Inizia il bianco.
Con la prima mossa il giocatore può spostare la sua pedina di una o due caselle; in tutte le
mosse che seguono può spostarla di una sola casella.
Se la casella successiva è occupata dalla pedina dell’avversario, il giocatore deve
scavalcarla.
Vince chi riesce a collocare per primo la sua pedina all’altra estremità della scacchiera,
purché il suo avversario non lo faccia alla mossa successiva. In quest’ultimo caso infatti la
partita termina con un pareggio.
Gli studenti hanno esplorato la situazione nei vari casi possibili, pervenendo poi assieme alla
descrizione del gioco sotto forma di albero, dove le mosse dei 2 giocatori (B: bianco, N: nero) sono
codificate nel seguente modo:
B1 = il bianco muove di 1 casella
B2 = il bianco muove di 2 caselle
N1 = il nero muove di 1 casella
N2 = il nero muove di 2 caselle
salto = mossa di 2 caselle scavalcando la pedina avversaria.
Il giocatore B, che inizia il gioco, dispone di 2 strategie possibili:
i1 = il bianco muove di 1 in prima mossa, le mosse successive (muove di 1 o salta) sono
obbligate;
i2 = il bianco muove di 2 in prima mossa, le mosse successive (muove di 1 o salta) sono
obbligate.
Mentre il giocatore N, che inizia a muovere per secondo, dispone di 4 strategie possibili:
B11B21 = il nero muove di 1 in risposta alla prima mossa di 1 del bianco, oppure muove di 1
in risposta alla prima mossa di 2 del bianco;
3 B11B22 = il nero muove di 1 in risposta alla prima mossa di 1 del bianco, oppure muove di 2
in risposta alla prima mossa di 2 del bianco;
B12B21 = il nero muove di 2 in risposta alla prima mossa di 1 del bianco, oppure muove di 1
in risposta alla prima mossa di 2 del bianco;
B12B22 = il nero muove di 2 in risposta alla prima mossa di 1 del bianco, oppure muove di 2
in risposta alla prima mossa di 2 del bianco.
La situazione può venir schematizzata nella seguente matrice:
B / N B11B21 B11B22 B12B21 B12B22
i1 (1,-1) (1,-1) (-1,1) (-1,1)
i2 (0,0) (1,-1) (0,0) (1,-1)
dove le funzioni di utilità assegnano 1 come valore per la vittoria, -1 per la sconfitta e 0 per il
pareggio per entrambi i giocatori. L’analisi, secondo il criterio del maxmin dei valori di vincita del
bianco che gioca per primo, porta ad individuare come strategia ottimale (nel senso della strategia
che “garantisce il risultato massimo, ottimizzando, fra i minimi di riga, individuati, per prudenza,
come guadagni probabili, data la razionalità delle scelte dell’avversario”) la seconda strategia i2 per
il primo giocatore, mentre il secondo giocatore sarà obbligato ad adottare la prima (B11B21) o la
terza strategia (B12B21), del tutto equivalenti in risposta alla scelta del primo, pena una perdita
maggiore. Con tali scelte la partita si conclude inevitabilmente in patta.
Il gioco è stato tratto dal testo divulgativo: K. Filinis, Teoria dei giochi e strategia politica,
Editori Riuniti, Roma 1971, dove la matrice viene ridotta ad una matrice 2x2, portando le strategie
del nero ad una forma semplificata in cui “il nero sceglie la sua mossa conoscendo quella del
bianco”:
r1 = il nero muove di 1 in risposta alla prima mossa del bianco, le mosse successive (muove
di 1 o salta) sono obbligate;
r2 = il nero muove di 2 in risposta alla prima mossa del bianco, le mosse successive (muove
di 1 o salta) sono obbligate.
Questa versione espositiva semplificata è poi quella utilizzata nell’attività di laboratorio ed è
presente nell’ipertesto realizzato. In tal caso la matrice diventa:
B / N r1 r2
i1 1 -1
i2 0 1
dove, essendo il gioco a somma nulla, viene riportato solo il valore 1, -1, 0 di vincita del primo
giocatore, essendo calcolabile automaticamente come opposto il valore di vincita del secondo
giocatore. Il criterio del maxmin porta ad individuare la medesima soluzione in relazione alla
strategia i2 per il bianco che inizia e r1 per il nero che gioca per secondo.
La seguente modifica delle regole del gioco lo trasforma in un esempio di situazione a scelta
contemporanea:
Il primo giocatore muove per primo, ma, anziché spostare la sua pedina sulla scacchiera,
scrive la sua mossa su un foglio.
Il secondo giocatore deve così scegliere ignorando la prima mossa del primo giocatore.
Non appena questi ha giocato, il primo giocatore svela la sua prima mossa, la trasferisce
sulla scacchiera e gioca quindi per la seconda volta.
4 Il gioco continua nel modo consueto.
Nel gioco così modificato, ogni giocatore sceglie la sua strategia senza conoscere quella
dell’avversario.
La matrice ridotta del gioco rimane sempre la stessa. Non può però essere risolto il problema di
determinare la strategia ottimale analizzando soltanto le strategie del primo giocatore (criterio
maxmin) e le conseguenti risposte “sensate” del secondo giocatore che opererà secondo un analogo
criterio minimax (il valore di guadagno è opposto a quello del primo giocatore, che viene indicato in
matrice, e pertanto la strategia ottimale del nero è quella che “garantisce il risultato minimo fra i
massimi di colonna”).
B/N r1 r2 min
i1 1 -1 -1
i2 0 1 0
max 1 1
Infatti il maxmin è 0 mentre il minimax è 1. A questo punto il bianco, supponendo che anche il
nero scelga con razionalità e prudenza, potrebbe essere tentato di fare altre scelte e così pure il nero,
aprendo una serie circolare di modifiche alla progettazione delle scelte. Non esiste quindi un “punto
di sella” e si devono ricercare le strategie miste ottimali degli avversari.
Il metodo proposto agli studenti è stato dato inizialmente come puro algoritmo numerico e
successivamente giustificato:
Il bianco in ogni riga ai numeri della prima colonna sottrae i numeri della seconda colonna e
scrive a lato il risultato, poi scambia i risultati e ne considera i valori assoluti. Tali valori forniscono
le frequenze assolute con cui dovrà operare la prima e la seconda scelta. Il nero farà lo stesso con i
numeri delle colonne.
Nero
Bianco r1 r2 r1 - r2 |r1 - r2| scambio
i1 1 -1 2 2 1 freq (i1) per B 1
i2 0 1 -1 1 2 freq (i2) per B 2
i1 - i2 1 -2
|i1 - i2| 1 2
scambio 2 1
freq (r1) per N 2
freq (r2) per N 1
Il valore atteso del gioco, calcolato come media ponderata con le frequenze ottenute su una
qualsiasi riga o colonna, se si opera ad esempio sulla prima colonna di guadagni gi1 (con 1 i 2)
risulta:
g11 fr (i1) g 21 fr (i 2) 11 0 2 1
0.3333
fr (i1) fr (i 2) 1 2 3
5Che cosa succede se si giocano diverse partite utilizzando come strategia mista per il giocatore
bianco la strategia mista ottimale o invece giocando secondo strategie miste diverse?
Una delle simulazioni predisposte ha consentito agli studenti di esplorare tale situazione. Il file
Excel (simulazione gioco 2x2 strategia mista), che realizza la simulazione, è diviso in due fogli:
il primo foglio (gioco) permette di testare un qualsiasi gioco 2x2, inserendone la matrice:
se c’è punto di sella, viene individuata subito la soluzione, altrimenti consente di simulare
una successione di partite scegliendo le strategie di gioco;
il secondo foglio (soluzioni) effettua i calcoli necessari, secondo l’algoritmo numerico
studiato, per determinare la soluzione del gioco, cioè per individuare le strategie ottimali di
entrambi i giocatori. Queste strategie ottimali possono quindi essere confrontate con le
risultanze ottenute procedendo nella simulazione del gioco.
All’inizio del primo foglio (gioco) è stata costruita una matrice in cui si possono inserire i valori
delle vincite e delle perdite riferite al primo giocatore (A nel foglio elettronico). Il confronto tra i
due valori maxmin e minimax permette di evidenziare la presenza o meno di un punto di sella. Se
c’è punto di sella viene individuata subito la soluzione. Se non c’è punto di sella il gioco non ha una
soluzione intuitiva immediata e può essere interessante realizzare una simulazione statistica,
giocando una serie di partite ripetute. Questo è proprio il caso che si realizza se lo studente inserisce
come matrice di gioco quella relativa alla dama unidimensionale.
Lo studente comincia a giocare nelle vesti del primo giocatore A (bianco nella dama) contro il
secondo giocatore B (nero nella dama), gestito quest’ultimo dal foglio elettronico. Prima di tutto lo
studente decide come giocherà l’avversario B. Le opzioni sono le seguenti:
far giocare B con la sua strategia mista ottimale (che non è necessariamente nota, a meno
che lo studente non vada a curiosare nel foglio soluzioni);
oppure scegliere la frequenza con cui il giocatore B usa le sue strategie.
Utilizzando la seconda opzione, è necessario inserire la frequenza assoluta della strategia 1 su
un totale a piacere. Un generatore di numeri casuali, opportunamente costruito, fornisce, ad ogni
partita, una scelta coerente con la strategia mista, ottimale o no che sia, dell’avversario B. Poi viene
chiesto allo studente di introdurre la frequenza assoluta della sua strategia 1 (come giocatore A) su
un totale, anche questo a piacere. Grazie ad un secondo generatore di numeri casuali viene stabilita,
di volta in volta, quale strategia usare.
Quindi lo studente può cominciare a giocare una serie di partite. Un interruttore permette, se
lasciato a 1, di continuare a giocare e, se viene portato a 0, di azzerare i conti per permettere,
riportando l’interruttore a 1, di ricominciare un’altra serie di partite. Per giocare, cumulando i
risultati, evitando riferimenti circolari, si utilizza il ricalcolo automatico del foglio elettronico
impostato nella modalità di iterazione.
Vengono comunicati, alla fine della singola partita, i risultati: la vincita (del giocatore A), il
guadagno cumulato nella serie di partite, il guadagno medio, il numero di partite giocate, il numero
di volte che sono state usate le due strategie e le rispettive frequenze. Il valore del guadagno medio
può essere immediatamente confrontato con il valore atteso, che compare nella cella sottostante e
che proviene dal foglio soluzioni.
Utilizzando la strategia ottimale, gli studenti hanno riscontrato che il guadagno medio delle
partite si avvicina di molto al valore del gioco. Viceversa, utilizzando altre strategie il guadagno
6medio è sempre inferiore. Nella figura seguente si visualizza come situazione finale di simulazione,
ad esempio, il guadagno medio ottenuto in 2314 partite consecutive di dama unidimensionale in cui
il bianco (lo studente come giocatore A) gioca la propria strategia ottimale contro la strategia
ottimale del nero (il PC come giocatore B)
In fogli elettronici di questo tipo, una volta che, successivamente alla fase di esplorazione, se ne
analizza con gli studenti la struttura di programmazione, si evidenzia la presenza esplicita della
struttura di selezione nella scelta casuale di strategie pure compatibili con le strategie miste scelte,
ma anche nella gestione dei contatori e nel calcolo dei guadagni cumulati.
Più complessa l’evidenziazione delle altre due strutture fondamentali, nella programmazione, di
sequenza e ciclo, a causa della caratteristica di inserimento “non lineare ma diffuso nel piano del
foglio” in cui tutte le celle vengono ricalcolate apparentemente in simultanea, ma in realtà le
precedenze sono programmate dalle varie formule che gestiscono i valori delle celle.
L’organizzazione di programmazione è quindi meno semplice rispetto ad un ambiente di
programmazione classico, in cui la sequenza di esecuzione è più trasparente nel listato man mano
elaborato, anche se la resa comunicativa, una volta costruito il foglio, è più semplice e vicina alla
progettazione matematica iniziale. Per questo i vari fogli elettronici sono stati prima usati per la fase
di esplorazione e scoperta e poi analizzati come struttura di costruzione. Ciò è servito anche per
motivare poi gli studenti ad affrontare, nel secondo anno di laboratorio, la stesura di programmi in
ambienti a loro usuali di programmazione, facendosi carico, una volta compresa l’organizzazione
dei vari algoritmi, di una struttura certamente più lineare, ma forse anche più onerosa nella cura
sintattica di definizione delle procedure. Nell’ipertesto può essere vista a riguardo la sezione
dedicata alla risoluzione dei giochi in TurboPascal.
Un esempio di gioco fuori schema: star nim
All’interno di un percorso didattico, che esplicita e analizza nel dettaglio algoritmi generali che
risolvono intere classi di giochi, può essere però interessante lasciare aperta la strada alla ricerca di
procedure ad hoc per alcuni giochi particolari, soprattutto quando il percorso di risoluzione nasce da
7una rilettura della situazione “in gioco” da un punto di vista diverso da quello di definizione
iniziale.
Questo è il caso del seguente gioco, a scelta sequenziale:
Star nim
Regole di gioco:
Si pone un gettone su ognuno dei nove punti della stella.
I giocatori A e B muovono togliendo a turno o un gettone o due gettoni che siano uniti da un
segmento di retta.
Chi prende l'ultimo gettone ha vinto.
Quale è la strategia vincente sulla stella? In questo caso la soluzione del gioco può essere
agevolmente trovata, cambiando totalmente registro rappresentativo, attraverso una trasformazione
topologica, che, ad esempio nell’ambiente Cabri, può essere visualizzata attraverso la modalità di
trascinamento di punti.
La stella in alto a sinistra, nella figura, diventa topologicamente equivalente alla circonferenza
in basso a destra.
8Il giocatore B vince sempre, scegliendo tramite la circonferenza equivalente ottenuta:
In apertura infatti:
se il giocatore A prende un gettone dalla circonferenza, allora B prende i due gettoni
diametralmente opposti.
se invece A prende 2 gettoni contigui, allora B prende il gettone diametralmente opposto.
Restano così, in ogni caso, 2 insiemi separati di 3 gettoni.
Alle mosse successive se A sceglie 1 o 2 gettoni su uno dei 2 insiemi, allora B prenderà dall'altro
insieme il gettone o i gettoni corrispondenti.
Verso un percorso dimostrativo: una rilettura geometrica del metodo di
risoluzione dei giochi 2x2
L’algoritmo numerico, di valenza generale per la determinazione delle strategie miste ottimali
per i giochi 2x2, presentato per la risoluzione del gioco della dama unidimensionale, può essere così
visualizzato:
A questo algoritmo è stato affiancato, nel lavoro di discussione con gli studenti, un possibile
algoritmo equivalente di tipo geometrico:
Se il primo giocatore A adotta una strategia mista s = x s1 + (1 – x) s2, allora il valore di
gioco per A, data la strategia pura s1 del secondo giocatore B, risulta:
e1 = x (1) + (1 – x) (0) = x
mentre il medesimo valore, data la strategia pura s2 di B, risulta invece:
e2 = x (–1) + (1 – x) (1) = 1 – 2x
dove x e 1 – x sono le frequenze relative (o le probabilità) di scelta tra s1 e s2 di A.
9Con l’uso della geometria analitica della retta è quindi possibile proporre, in un contesto
geometrico, la seguente costruzione nel piano cartesiano (x, e):
Così si perviene ad individuare un valore maxmin come intersezione di due rette che descrivono
i valori di gioco, in strategia mista per il giocatore A (primo giocatore in figura), al variare della
strategia dell’avversario.
La giustificazione dell’algoritmo geometrico
Premessa: Data una qualsiasi matrice g (di dimensione n x m) dei guadagni si ha che
max min g min max g
i k ik k i ik
cioè il massimo tra i minimi valori di ciascuna riga è minore o uguale al minimo tra i massimi valori
di ciascuna colonna.
Dim.: Infatti
min g gik max g i, k
k ik i ik
dove la prima disuguaglianza vale anche, per qualsiasi i, nel caso particolare k = k* relativo alla
strategia k*, del secondo giocatore B, per la quale in corrispondenza di un opportuno i* si ha
g min max g i, k
i*k * k i ik
quindi
min g g i*k * min max g i, k
k ik k i ik
10e, essendo ciò vero per qualsiasi riga i, è vero anche per la riga in cui si ha il valore massimo di
min g ottenendo infine
k ik
max min g g i*k * min max g i, k .
i k ik k i ik
Se si esamina ora il caso di un gioco 2x2, dove la matrice g dei guadagni sia la seguente:
è possibile dimostrare che l’esistenza di un punto di sella deterministico è equivalente all’esistenza
per ciascuno dei due giocatori di una strategia dominante.
Dim.: Se esiste il punto di sella supponiamo (non è restrittivo se, in caso diverso, si scambiano
righe o colonne) che il valore del gioco sia g11. Poiché coincide con il maxmin, g11 è il minimo di
riga, cioè g11 g12, ma, coincidendo pure con il minmax, risulta essere anche il massimo di
colonna cioè g21 g11. Quindi g21 g11 g12.
Per g22 si presentano tre possibilità:
g21 g22 g12
in questo caso
g11 g12 g11 g 21
e
g 21 g 22 g12 g 22
la strategia (colonna) 1 del giocatore B, minimizzante, domina la strategia (colonna) 2
la strategia (riga) 1 del giocatore A, massimizzante, domina la strategia (riga) 2
g22 g12
in questo caso
g11 g12
g 21 g11 g12 g 22
la strategia (colonna) 1 del giocatore B, minimizzante, domina la strategia (colonna) 2
11 g22 g21
in questo caso
g11 g 21
g12 g 22
la strategia (riga) 1 del giocatore A, massimizzante, domina la strategia (riga) 2.
Viceversa se esiste una strategia dominante per almeno uno dei due giocatori la dimostrazione
dell’esistenza di un punto di sella è immediata poiché la matrice si riduce ad una sola riga o ad una
sola colonna. In tal caso esiste un ovvio punto di sella, dato che un giocatore non ha scelta e l’altro
ovviamente ottimizzerà facilmente la sua scelta, scegliendo se è A la strategia con il valore più alto,
se è B la strategia con il valore più basso.
Di conseguenza, nel caso non deterministico, g11 – g12 deve avere segno opposto rispetto a
g21 – g22 e analogamente g11 – g21 deve avere segno opposto rispetto a g12 – g22 per
escludere la presenza di strategie dominanti per i due giocatori.
Pertanto le rette e1 e e2 che esprimono i valori del gioco in strategia mista (rispettivamente dato
s1 di B e dato s2 di B)
sono necessariamente una crescente ed una decrescente.
Ciò comporta l’esistenza della soluzione, individuata dal punto di incontro delle due rette:
I valori, di x e 1 – x , trovati, dato che g11 – g12 ha segno opposto rispetto a g21 – g22:
12 hanno lo stesso denominatore:
g11 – g12 – g21 + g22 = g11 – g12 + (– (g21 – g22))
che risulta dello stesso segno di g11 – g12
hanno numeratori dello stesso segno di g11 – g12
sono numeri compresi tra 0 e 1.
Pertanto tali valori sono accettabili come frequenze relative (o probabilità) complementari.
In tal caso il valore del gioco (maxmin), dal punto di vista del giocatore A, risulta, utilizzando il
valore di x determinato
Se si analizza la situazione dal punto di vista del secondo giocatore le rette eb1 e eb2, che
esprimono le perdite per il giocatore B in strategia mista (rispettivamente dato s1 di A e dato s2 di
A),
sono necessariamente, anche in questo caso, una crescente ed una decrescente.
Ciò comporta ancora l’esistenza della soluzione (minmax), individuata dal punto di incontro
delle due nuove rette:
13I valori, di x e 1 – x , trovati, in questo secondo caso, dato che g11 – g21 ha sempre segno
opposto rispetto a g12 – g22:
hanno lo stesso denominatore, che tra l’altro coincide con quello determinato nelle
soluzioni relative al giocatore A:
g11 – g12 – g21 + g22 = g11 – g21 + (– (g12 – g22))
che risulta dello stesso segno di g11 – g21
hanno numeratori dello stesso segno di g11 – g21
sono numeri compresi tra 0 e 1.
Pertanto sono anch’essi accettabili come frequenze relative (o probabilità) complementari. In tal
caso il valore del gioco, dal punto di vista del giocatore B, risulta, utilizzando il valore di x
determinato
Se si confronta il valore del gioco (minmax) eb1, ora determinato dal punto di vista del
giocatore B, con l’analogo valore (maxmin) e1, prima trovato dal punto di vista del giocatore A, i
due valori risultano uguali:
14Pertanto esiste punto di sella, se si adottano strategie miste, che fornisce un valore di guadagno
di riferimento in termini statistici e probabilistici. Questo valore però non risulta coincidente con
un elemento della matrice del gioco.
Dall’algoritmo geometrico alla spiegazione dell’algoritmo numerico
Riprendendo in esame la matrice dei guadagni
la differenza tra le prime due colonne fornisce la colonna
g11 – g12
g21 – g22
che risulta composta di valori di segno opposto.
Scambiando i valori tra loro e considerandone i moduli si ottengono i valori
| g21 – g22 |
| g11 – g12 |
che risultano positivi e, se si confrontano, sicuramente proporzionali ai valori x e 1 – x (frequenze
relative) soluzioni del problema discusso per via geometrica. Pertanto possono essere assunti
come frequenze assolute, con cui, in una successione di partite, può giocare, alternando le sue
strategie, il giocatore A.
Analogo ragionamento può essere svolto analizzando la differenza tra le due righe. In tal caso
con l’algoritmo si otterranno le frequenze assolute, con cui può giocare, alternando le sue strategie,
il giocatore B.
15Si perviene così ad una giustificazione dell’algoritmo numerico proposto.
Informazioni sull'esperienza svolta e sua valutazione
L’attività PLS – Matematica nel Veneto è stata coordinata dal prof. Benedetto Scimemi del
Dipartimento di Matematica dell’Università di Padova. Il polo del Liceo Scientifico “G.B.
Benedetti” era costituito nell’a.s. 2005/06 dai docenti universitari Elio Canestrelli, Enrico Jabara del
Dipartimento di Matematica dell'Università di Venezia e dai docenti del liceo Sarah Baratta, Egle
Bettio, Giorgio Ravagnan. L’attività è proseguita nell’a.s. 2006/2007 senza la presenza di docenti
universitari e gestita dai docenti del liceo Sarah Baratta, Egle Bettio, Roberto Bottazzo, Giorgio
Ravagnan. È stato l’unico polo del Veneto ad affrontare come tema la Teoria dei Giochi.
Il lavoro, in tutti e due gli anni, è stato svolto con un gruppo, diverso ogni anno, di circa una
quindicina di studenti di triennio provenienti da classi diverse, come attività non curricolare, a
partecipazione libera, che si è sviluppata in cinque incontri pomeridiani di tre ore ciascuno. Era
stata privilegiata, nella proposta iniziale, la partecipazione degli studenti di quarta e di quinta
all’attività del primo anno, pensando ad un possibile loro maggior interesse ad un confronto
operativo con insegnanti universitari, in prospettiva di una scelta imminente per la prosecuzione
degli studi. Però l’intervento degli studenti di quinta è stato contenuto, sul piano della continuità di
presenza e della rielaborazione e della produzione di lavori personali, per una serie di motivi
contingenti, ma anche per sovrapposizione di varie attività, di ambito scientifico e non, proposte
all’interno del Liceo per le classi quinte. Pertanto l’anno seguente si è ritenuto opportuno proporre
l’iniziativa alle varie classi del triennio, ma con un’attenzione particolare rivolta alle terze e alle
quarte. Si è cercato anche, di circoscrivere le tematiche e di privilegiare il più possibile l’aspetto
operativo, riuscendo ad ottenere una maggior continuità e incisività di lavoro soprattutto dagli
studenti delle classi terze e quarte, che hanno percepito e creato nell’attività un clima di gioco, non
solo nell’affrontare le tematiche stesse, nel discutere o inventare alcuni giochi, nel costruire alberi
decisionali, ma anche nella individuazione di codifiche, in termine di programmazione, di
procedure risolventi e nell’analisi delle simulazioni con fogli elettronici.
Da questo punto di vista, di coinvolgimento operativo, l’esperienza realizzata, pur segnata dalla
caratteristica di intervento limitato nel tempo e rivolto a piccoli gruppi al di fuori dell’attività
didattica quotidiana in classe, è stata positiva e ha evidenziato l’opportunità sensata di offrire
occasioni di approfondimento, capaci di coinvolgere gli studenti più interessati e curiosi, non
necessariamente solo i più bravi, e di operare un orientamento, con attività concrete in ambito
matematico, non solo negli ultimi anni di studio.
L’esperienza è descritta per esteso nell’ipertesto precedentemente segnalato e reperibile nel sito
del Liceo direttamente all’indirizzo: http://www.liceobenedetti.it/tdg/inizio.html . L’ipertesto è stato
concepito non solo come presentazione del tema e dei lavori realizzati, ma anche come un possibile
strumento per ripercorrere in futuro con altri studenti l’esperienza svolta. La sezione dell’ipertesto
“Cartella dei Materiali” permette infatti, tramite un elenco ragionato, di accedere o scaricare tutti i
file relativi, in genere, alle varie schede informatiche o cartacee che sono state proposte ed usate,
nei laboratori, come materiali di lavoro realizzati per presentare le tematiche e per organizzare il
lavoro con gli studenti. In linea di massima i file sono elencati in ciascuna sezione secondo l’ordine
di utilizzo realmente avvenuto. Alcuni file (ad esempio i programmi in Pascal che risolvono i
giochi 2xn) sono invece dei materiali costruiti assieme agli studenti, così pure sono state redatte
direttamente dagli studenti parti delle sezioni che compongono il percorso espositivo dell’ipertesto.
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