Fisica - Corso di laurea Fisica - Fondamenti di Fisica Computazionale: A.A. 2019-20, Docente: Claudio Melis - UniCa
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Fondamenti di Fisica Computazionale: A.A. 2019-20, Docente: Claudio Melis
Fisica
Corso di laurea
1 Fisica
Fondamenti di Fisica Computazionale: A.A. 2019-20, Docente: Claudio Melis
B.1 - Equazioni Differenziali Ordinarie
Orbite dei Pianeti
• La figura mostra un ipotetico sistema solare con un
pianeta che nominiamo Terra in orbita attorno al Sole
Terra
• L’unica forza in gioco è l’attrazione gravitazionale
che, secondo la legge di Newton è:
GMm
FG =
r2 Sole
• dove M ed m sono le masse del sole della terra, r è la loro distanza, G la costante di
gravitazione universale
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2 Fisica
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B.1 - Equazioni Differenziali Ordinarie
Orbite dei Pianeti
• Assumiamo che la massa del sole sia
sufficientemente grande da poterne trascurare il
moto. Terra
• Il nostro obiettivo è calcolare la posizione della terra
in funzione del tempo utilizzando la seconda legge di
Newton:
d 2 x FG,x
=
dt 2 ME
• dove FG,x ed FG,y sono le Sole
componenti x e y della forza
gravitazionale.
d 2y FG,y
=
dt 2 ME
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3 Fisica
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B.1 - Equazioni Differenziali Ordinarie
Orbite dei Pianeti
• Analizzando la figura risulta quindi:
GMm GMm Terra
FG,x = − 2 cosθ = − 3 x
r r
GMm GMm
FG,x = − 2 sinθ = − 3 y
r r
Sole
• Anche in questo caso abbiamo a che fare con le equazioni dif-
ferenziali ordinarie, come nel caso dell’oscillatore.
• La novità è che trattandosi di un sistema a due dimensioni, ne
dovremo risolvere due contemporaneamente, una per
componente.
x = rcos(θ) , y = rsin(θ)
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B.1 - Equazioni Differenziali Ordinarie
Orbite dei Pianeti
• Scegliamo il sistema di unità di misura.
• L’opzione piu’ immediata è quella del Sistema Internazionale. Tuttavia la scelta dei metri e
dei secondi rende la scala del problema difficilmente gestibile.
• Per esempio, il raggio della terra è di circa 1.5x1011 m, perciò’ un grafico che mostra
l’orbita terrestre dovrebbe avere dei label dell’ordine di 1011.
• Per questo motivo è molto piu’ conveniente scegliere le unità astronomiche AU definite come
la distanza media Sole-Terra =1.496x1011 m.
• Inoltre è conveniente misurare il tempo in anni=3.2x107 s.
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B.1 - Equazioni Differenziali Ordinarie
Orbite dei Pianeti
• abbiamo due metodi: Cromer e Verlet, commentando uno dei due possiamo provarne
l’accuratezza e l’affidabilità;
• poiché il sistema è bidimensionale abbiamo due componenti per la posizione (x, y), la
velocità (vx, vy), e l’accelerazione (Fx, Fy), ognuna delle quali si calcola allo stesso
modo di quello previsto dallo schema di integrazione;
• calcoliamo il raggio a partire dalle coordinate (x, y) appena calcolate, perché esso è
richiesto per il calcolo dell’accelerazione;
• al posto della forma var1=var0+..., con due variabili, denominate con 0 e 1, che
indicavano la variabile allo tempo n e n + 1, usiamo la forma var+=... che aggiunge al
valore già contenuto nella variabile il nuovo valore; questo ci permette di non dover
aggiornare la variabile 0 con quella 1 dopo averla calcolata (var0=var1);
• anche qui salviamo la posizione e la velocità in appositi arrays. Affinchè il programma sia
completo ci servono le definizioni delle costanti usate dentro il ciclo e delle condizioni
iniziali,
Corso di laurea
6 Fisicadt2 ME dt2 ME Vediamo di seguito il corpo principale del p
Fondamenti di Fisica Computazionale:
GME MS A.A.
GME MS 2019-20, Docente:
da un ciclo Claudio
for che contiene Melis
uno dei metodi d
Fx = cos q, F = sin precedenza
q e lo esegue iterativamente:
y
r2 r2
for istep in range(Nstep):
Anche in questo caso abbiamo a che fare con le equazioni Fx=-GM*x/r dif-
**3
B.1 - Equazioni
ferenziali ordinarie, come nel caso Differenziali
dell’oscillatore.Ordinarie
La novità
Fy=-GM*èy/r che
**3
trattandosi di un sistema a due dimensioni, ne dovremo risolvere due
#Eulero-Cromer
contemporaneamente, una per componente. #vx+=tau*Fx
Orbite dei Pianeti
Vediamo di seguito il corpo principale del programma,#vy+=tau constituito*Fy
#x+=tau*vx
• Vediamo di seguito il corpo principale del programma, costituito
da un ciclo for che contiene uno dei metodi di integrazione davisti
un ciclo
in for che contiene
#y+=tau * vy
uno dei metodi di integrazione visti
precedenza e lo esegue iterativamente: in precedenza e lo esegue iterativamente:
#r=sqrt(x**2+y**2)
for istep in range(Nstep): #velocity-Verlet
x+=vx*tau+0.5*Fx*tau**2
Fx=-GM*x/r**3
y+=vy*tau+0.5*Fy*tau**2
Fy=-GM*y/r**3 r=sqrt(x**2+y**2)
F1x=-GM*x/r**3
F1y=-GM*y/r**3
#Eulero-Cromer
vx+=0.5*tau*(Fx+F1x)
#vx+=tau*Fx vy+=0.5*tau*(Fy+F1y)
#vy+=tau*Fy
x_arr[istep+1]=x
#x+=tau*vx y_arr[istep+1]=y
#y+=tau*vy vx_arr[istep+1]=vx
#r=sqrt(x**2+y**2) vy_arr[istep+1]=vy
Spieghiamo i punti di novità rispetto a quan
#velocity-Verlet Corso di laurea
7 Fisica 1D:Fondamenti di Fisica Computazionale: A.A. 2019-20, Docente: Claudio Melis
B.1 - Equazioni Differenziali Ordinarie
Orbite dei Pianeti
• . Affinché il programma sia completo ci servono le definizioni delle costanti usate dentro il
ciclo e delle condizioni iniziali, vediamole di seguito:
• Nel nostro caso il raggio dell’orbita è di 1 AU
• La scelta della velocità iniziale è cruciale: una velocità iniziale troppo bassa genererà
orbite ellittiche schiacciate lungo l’asse x, una velocità troppo alta genererà orbite
ellittiche schiacciate lungo l’asse y
• Nel nostro caso il raggio dell’orbita è di 1 AU
• Il valore ottimale può’ essere stimato considerando che la terra compie un giro completo
(2π) dell’orbita in un anno. Quindi la velocità sarà 2πr/1 Anno= 2π
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8 FisicaFondamenti di Fisica Computazionale: A.A. 2019-20, Docente: Claudio Melis
B.1 - Equazioni Differenziali Ordinarie
Orbite dei Pianeti
• Pel calcolare l’accelerazione dobbiamo calcolare il prodotto G x M:
• Essendo la forza gravitazionale una forza centripeta risulta:
GMm mv 2 GMm 2πr
= = mv 2 v=
r2 r r T
2 2 dal momento che le unità di
4π r lunghezza sono in UA ed il tempo è GM = 4π 2
GM = espresso in anni solari
T2
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9 Fisicala posizione ( x, y), la velocità (v x , vy ), e l’accelerazione ( Fx , Fy ),
ognuna delle quali si calcola allo stesso modo di quello previsto
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dallo schema di integrazione;
Claudio Melis
• calcoliamo il raggio a partire dalle coordinate ( x, y) appena calco-
late, perchè esso è richiesto per il calcolo dell’accelerazione;
• al posto della forma var1=var0+..., con due variabili, denomi-
B.1 - Equazioni Differenziali Ordinarie
nate con 0 e 1, che indicavano la variabile allo tempo n e n + 1,
usiamo la forma var+=... che aggiunge al valore gia conte-
nuto nella variabile il nuovo valore; questo ci permette di non
Orbite dei Pianeti
dover aggiornare la variabile 0 con quella 1 dopo averla calcolata
(var0=var1);
• .•Affinché il programma
anche qui salviamo siae completo
la posizione la velocità in ci servono
appositi arrays.le definizioni delle costanti usate
Affinchè il
dentro il programma
ciclo e delle sia completo
condizioni ci servono le definizioni
iniziali, vediamole delledi seguito:
costanti usate dentro il ciclo e delle condizioni iniziali, vediamole di
seguito:
#Costanti moto
GM = 4*pi**2 # G*M in unita astronomiche (UA) • Notiamo come si siano usate le unità
m=5.9722E+24 # massa terra (kg) astronomiche: quindi le lunghezze
espresse in termini di distanza media
#Posizioni e velocit\‘a iniziali in UA, al perielio
x=0.98
Terra-Sole e il tempo in anni. Queste
y=0.0 unità sono più adatte al sistema che
r=sqrt(x**2+y**2) stiamo trattando
vx=0.0
vy=2*pi
# Nstep*tau \‘e il tempo totale in anni
Nstep=1000 # Numero di passi temporali
tau=0.001 # lunghezza singolo passo temporale
#arrays posizione e velocit\‘a Corso di laurea
10 FisicaFondamenti di Fisica Computazionale: A.A. 2019-20, Docente: Claudio Melis
#Costanti moto
GM = 4*pi**2 # G*M in unita astronomiche (UA)
m=5.9722E+24 # massa terra (kg)
#Posizioni e velocit\‘a iniziali in UA, al perielio
x=0.98 B.1 - Equazioni Differenziali Ordinarie
y=0.0
r=sqrt(x**2+y**2)
vx=0.0 Orbite dei Pianeti
vy=2*pi
# Nstep*tau \‘e il tempo totale in anni
Nstep=1000 # Numero di passi temporali
tau=0.001 # lunghezza singolo passo temporale
#arrays posizione e velocit\‘a
• Notiamo come si siano usate le unità
x_arr=zeros(Nstep+1)
y_arr=zeros(Nstep+1) astronomiche: quindi le lunghezze
vx_arr=zeros(Nstep+1) espresse in termini di distanza media
vy_arr=zeros(Nstep+1) Terra-Sole e il tempo in anni. Queste
unità sono più adatte al sistema che
#Salvataggio delle condizioni iniziali
x_arr[0]=x
stiamo trattando
y_arr[0]=y
vx_arr[0]=vx
vy_arr[0]=vy
Notiamo come si siano usate le unità astronomiche: quindi le
lunghezze espresse in termini di distanza media Terra-Sole e il tempo
in anni. Queste unità sono più adatte al sistema che stiamo trattando
Corso di laurea
11 FisicaFondamenti di Fisica Computazionale: A.A. 2019-20, Docente: Claudio fonda
Melis
B.1 - Equazioni Differenziali Ordinarie
fondamenti di fisica computazionale 71
e ci permettono di ridurre il numero di iterazioni da compiere, qu
il tempo di attesa Orbite e il costo dei computazionale.
Pianeti
i ridurre il numero di iterazioni da compiere, quindi
Le condizioni
• Le condizioni
e il singola iniziali
iniziali proposte
costo computazionale. proposte
sono relative sono
al pianeta Terra.
orbita (Nstep*tau=1 anni) quasi circolare.
relative
Ci aspettiamo al
quindipianeta
di osservare Terr
una
aspettiamo
iniziali proposte sonoquindirelative aldi osservare
pianeta Terra. Ciuna singola orbita (Nstep tau=
• Facciamo il grafico al solito modo, poi eguagliamo la scala dei due assi in maniera che l’orbita * non
i di osservare una singola orbita (Nstep*tau=1 an-
venga distorta:
ni) quasi
. Facciamo circolare.
il grafico Facciamo
al solito modo, il grafico al solito modo, poi eguagl
poi eguagliamo
ssi in maniera che l’orbita non venga distorta:
la scala dei due assi in maniera che l’orbita non venga distorta:
arr)
plot(x_arr,y_arr)
stra axis(’equal’)
il grafico atteso.
orbite di altri pianeti basterà impostare la posizione
li come fatto per la Terra, regolare il numero di step,
La Fig. 3.4 mostra il grafico
ente il programma e infine fare il grafico. Potremo
atteso.
Per generare
edere all’utente le orbite
di inserire questi di altri
parametri, come pianeti
Figura basterà
3.4: Orbita impostare
la posiz terrestre, quasi
o per l’oscillatore: circolare.
e la velocità iniziali come fatto per la Terra, regolare il numero di
Corso
zione iniziale perieli\‘o) di laurea
12 Fisicani) quasi circolare. Facciamo il grafico al solito modo, poi eguagliamo
laFondamenti
scala dei duediassi
Fisica Computazionale:
in maniera che l’orbita A.A. 2019-20,
non venga Docente: Claudio Melis
distorta:
plot(x_arr,y_arr)
axis(’equal’)
B.1 - Equazioni Differenziali Ordinarie
La Fig. 3.4 mostra il grafico atteso.
Per generare le orbite di altri pianeti
Orbite basterà
dei impostare la posizione
Pianeti
e lagenerare
• Per velocitàleiniziali
orbite dicome fatto per
altri pianeti la Terra,
basterà regolare
impostare il numero
la posizione di step, iniziali come fatto
e la velocità
eseguire
per nuovamente
la Terra, il programma
regolare il numero e infinenuovamente
di step, eseguire fare il grafico. Potremo
il programma e infine fare il grafico.
per comodità
• Potremo chiedere
per comodità all’utente
chiedere all’utentedidiinserire questi
inserire questi parametri,
parametri, comecome
abbiamo visto per 3.4: Or
Figura
l’oscillatore:
abbiamo gia visto per l’oscillatore: circolare.
x=input(’Posizione iniziale perieli\‘o)
vy=input(’Velocit\‘a iniziale perieli\‘o)
Nstep=input(’Numero di passi’)
Eseguendo
• Eseguendo il programma
il programma più
più volte, volte, lasciando
lasciando la prima
la prima finestra delfinestra del inseriamo i
grafico aperta,
grafico
seguenti aperta,
paremetri:inseriamo i seguenti
Nstep=1000, x = 0.98, vyparemetri:
=2π, 2π+1, 2Nstep=1000, x =
π+0.5, 2π-0.5, 2π-1
• 0.98, vy =
Lasciamo 2pi,
fisso 2pi + 1,di2pi
il numero +e0.5,
passi 2pi 0.5,
la posizione 2pi e 1;
iniziale quindi lalasciamo
cambiamo velocità iniziale lungo y.
fisso il numero di passi e la posizione iniziale e cambiamo la velocità
iniziale lungo y. Il grafico che si ottiene è mostrato in Fig. 3.5.
Come osserviamo, le due orbite più grandi della blu (terrestre)
Corso di laurea
13 Fisica
non si chiudono per via del fatto che Nstep=1000 non è sufficiente.’equal’)
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g. 3.4 mostra il grafico atteso.
enerare le orbite di altri pianeti basterà impostare la posizione
ocità iniziali come fatto
B.1per la Terra, regolare
- Equazioni il numero di step,Ordinarie
Differenziali
e nuovamente il programma e infine fare il grafico. Potremo
modità chiedere all’utente di inserire questi parametri, come Figura 3.4: Orbita terrestre, quasi
o gia visto per l’oscillatore: Orbite dei Pianeti circolare.
ut(’Posizione iniziale perieli\‘o)
put(’Velocit\‘a iniziale perieli\‘o)
=input(’Numero di passi’)
• Le due
uendo orbite più grandi
il programma dellalasciando
più volte, blu (terrestre) non finestra
la prima si del
chiudono per via del fatto che Nstep=1000 non è
aperta, inseriamo i seguenti paremetri: Nstep=1000, x =
sufficiente.
= 2pi, 2pi + 1, 2pi + 0.5, 2pi 0.5, 2pi 1; quindi lasciamo
• Viceversa
numero le orbite
di passi più piccole
e la posizione della blu
iniziale sono piu lunghe
e cambiamo di
la velocità
un singolo giro.
lungo y. Il grafico che si ottiene è mostrato in Fig. 3.5.
e osserviamo, le due orbite più grandi della blu (terrestre)
hiudono per via del fatto che Nstep=1000 non è sufficiente.
sa le orbite più piccole della blu sono piu lunghe di un singolo
Figura 3.5: Orbite ottenute variando
la velocità iniziale rispetto a quella
olessimo calcolare altre quantità legate al moto del pianeta in terrestre di 2p
ttorno al sole, come ad esempio il raggio, l’angolo q tra raggio
x, velocità angolare, energia cinetica e potenziale, 14il metodo
Corso di laurea Fisicavy=input(’Velocit\‘a iniziale perieli\‘o)
Nstep=input(’Numero di passi’)
Fondamenti di Fisica Computazionale: A.A. 2019-20, Docente: Claudio Melis
Eseguendo il programma più volte, lasciando la prima finestra del
grafico aperta, inseriamo i seguenti paremetri: Nstep=1000, x =
0.98, vy = 2pi, 2pi + 1, 2pi + 0.5, 2pi 0.5, 2pi 1; quindi lasciamo
B.1 - Equazioni Differenziali Ordinarie
fisso il numero di passi e la posizione iniziale e cambiamo la velocità
iniziale lungo y. Il grafico che si ottiene è mostrato in Fig. 3.5.
Come osserviamo, le due orbite più grandi della blu (terrestre)
non si chiudono per via del fatto che Nstep=1000 non è sufficiente.
Orbite dei Pianeti
Viceversa le orbite più piccole della blu sono piu lunghe di un singolo
giro. Figura 3.5: Orbite ottenute variando
la velocità iniziale rispetto a quella
• Se volessimo
Vogliamo calcolarealtre
calcolare altre quantità
quantità legate al moto
legate al del
motopianeta
delinpianeta indiorbita
terrestre 2p attorno al sole, come ad
orbita attorno
esempio al sole, come
il raggio, l’angolo θ
ad esempiotrail raggio,
raggio l’angolo q tra raggio
e asse x, velocità angolare, energia cinetica e
e asse x, velocità angolare, energia cinetica e potenziale, il metodo
potenziale
è sempre lo stesso: aggiungiamo un array per la grandezza scelta,
• impostiamo la prima
Aggiungiamo un arraycomponente
per lain grandezza
base alle condizioni
scelta,iniziali e
impostiamo la prima componente in base
poi scriviamo ad ogni iterazione il nuovo valore nelle componenti
alle condizioni iniziali e poi scriviamo ad ogni iterazione il nuovo valore nelle componenti
successive, come di seguito mostrato per l’angolo θ:
successive, come di seguito mostrato per l’angolo q:
...
theta_arr=zeros(Nstep+1)
theta_arr[0]=arctan2(y,x)
... • La funzione arctan2(y,x) ci permette di
for istep in range(Nstep): calcolare l’angolo compreso tra raggio e
... asse x in base alle coordinate (x, y) della
theta_arr[istep+1]=arctan2(y,x) posizione del pianeta.
time_arr=linspace(0,Nstep*tau,Nstep+1)
plot(time_arr,theta_arr)
La funzione arctan2(y,x) ci permette di calcolare l’angolo com-
Corso di laurea Fisica
preso tra raggio e asse x in base alle coordinate ( x, y) della15
posizioneFondamenti di Fisica Computazionale: A.A. 2019-20, Docente: Claudio Melis
B.1 - Equazioni Differenziali Ordinarie
Orbite dei Pianeti
• Il grafico per il caso della terra e per il caso di maggiore eccentricità dell’orbita (ottenuto con
vy = 2π-1) è mostrato in Figura 72 francesco ricci, vincenzo fio
• L’angolo cresce linearmente nel caso di orbita
circolare, come nel caso approssimato della ca
terra. m
• I salti che si vedono son dovuti al fatto che la
funzione artan2() restituisce solo angoli ca
compresi tra -π e π. ch
• Quando l’orbita è ellitica, la velocità del pianeta Q
non è piu costante per cui l’angolo varia piu pe
velocemente in corrispondenza del afelio.
Figura 3.6: Raggio dell’orbita terrestre
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16 Fisica e di una più eccentrica in funzione delFondamenti di Fisica Computazionale: A.A. 2019-20, Docente: Claudio Melis
B.1 - Equazioni Differenziali Ordinarie
Orbite dei Pianeti
• Calcoliamo ora l’e energia cinetica e potenziale
• Aggiungiamo un array per le grandezze scelte, impostiamo la prima componente in base
alle condizioni iniziali e poi scriviamo ad ogni iterazione il nuovo valore nelle componenti
successive, come di seguito mostrato per l’energia cinetica e potenziale:
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17 FisicaFondamenti di Fisica Computazionale: A.A. 2019-20, Docente: Claudio Melis
B.1 - Equazioni Differenziali Ordinarie
Orbite dei Pianeti
• Calcoliamo ora l’e energia cinetica e potenziale
• Aggiungiamo un array per le grandezze scelte, impostiamo la prima componente in base
alle condizioni iniziali e poi scriviamo ad ogni iterazione il nuovo valore nelle componenti
successive, come di seguito mostrato per l’energia cinetica e potenziale:
• Come previsto l’energia cinetica e
potenziale variano in maniera da
conservare l’energia totale
• L’algoritmo di Verlet con i parametri che
abbiamo selezionato conserva in modo
ottimale l’energia totale del sistema.
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18 FisicaFondamenti di Fisica Computazionale: A.A. 2019-20, Docente: Claudio Melis
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Orbite dei Pianeti
• La terza legge di Keplero afferma che:
«I quadrati dei tempi che i pianeti impiegano a percorrere le loro orbite sono proporzionali al
cubo delle loro distanze medie dal Sole.»
• Per un'orbita circolare la formula si riduce a
k = GMm
2
T 4π μ 2
= K dove K=
r3 k μ= massa ridotta del sistema
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