Fondamenti della matematica - Nona lezione

Fondamenti della
 matematica
 Nona lezione

Tre relazioni fondamentali

 • Congruenza
 • Equivalenza
 • Similitudine

Premessa
• Uguaglianza: In matematica l'uguaglianza è una cosiddetta
 nozione primitiva, ovvero una nozione che non viene definita;
 Dal punto di vista della teoria degli insiemi, due insiemi sono
 uguali se contengono esattamente gli stessi elementi. Ne
 segue che due figure geometriche (triangoli, segmenti,
 poliedri, ecc...) sono uguali se sono esattamente la stessa
 figura (ovvero se sono lo stesso insieme di punti).

• Congruenza: La congruenza è una relazione un po' più debole
 dell'uguaglianza: due figure geometriche sono congruenti se
 esiste una isometria che porta una figura nell'altra.
 Ovviamente se due figure geometriche sono uguali, allora in
 particolare sono congruenti.

Congruenza
Due figure F e F’ sono congruenti se esiste una
isometria che trasforma F in F’, cioè
 = ′

Nella sistemazione assiomatica di Hilbert la
congruenza è un concetto primitivo, definito
implicitamente dagli assiomi

Assiomi di congruenza
1) Se A, B sono due punti di una retta ed inoltre A' è
 un punto sulla stessa retta oppure su un'altra retta
 ′, si può sempre trovare un punto B', da una data
 parte della retta ′ rispetto ad A', tale che il
 segmento AB sia congruente al segmento A'B'. In
 simboli: AB ≡ A'B'.
2) La relazione di congruenza tra segmenti è transitiva,
 cioè se A′B′ e A′′B′′ sono congruenti ad AB,
 allora A′B′ ≡ A′′B′′.

3) Siano AB e BC segmenti su una retta r privi di punti
 interni comuni, e siano A′B′ e B′C′ segmenti su una
 retta r′ privi di punti interni comuni.
 Se AB ≡ A′B′ e BC ≡ B′C′, allora AC ≡ A′C′.

4)Sia ABC un angolo e B'C' una semiretta, esistono e sono
uniche due semirette B'D e B'E, tali che l'angolo DB'C' è
congruente all'angolo ABC et l'angolo EB'C' è congruente
all'angolo ABC.

5)La relazione di congruenza tra angoli è transitiva,
 cioè se A′B′C′ e A′′B′′C′′ sono congruenti ad ABC,
 allora A′B′C′ ≡ A′′B′′C′′.

6)(Primo dei criteri di congruenza dei triangoli)
 Se per due triangoli ABC e A′B′C′ si ha
 che AB ≡ A′B′, AC ≡ A′C′, e l'angolo BAC ≡
 all'angolo B′A′C′, allora tutto il triangolo ABC ≡ al
 triangolo A′B′C′.

Dagli assiomi si evince che la relazione di congruenza
tra segmenti e tra angoli gode delle proprietà riflessiva,
simmetrica e transitiva.
La congruenza divide quindi l’insieme di tutti i segmenti
in classi di equivalenza di segmenti congruenti; cosa
caratterizza ogni classe? La lunghezza.
 Analogamente anche gli angoli vengono divise in classi
di equivalenza: le ampiezze.
L’operazione di confronto ci permette quindi di
‘estrarre’ dal segmento una sua qualità, la lunghezza,
dall’angolo l’ampiezza e apre la strada all’operazione di
misura.

Esempio 1
• Segmento: è l’ente geometrico

• Lunghezza di un segmento: è la classe dei
 segmenti totalmente sovrapponibili tra loro
 (e quindi tra loro congruenti)

• Misura della lunghezza di un segmento: è il
 numero che risulta dalla misurazione.

ESEMPIO 2

• Angolo: Ente geometrico

• Ampiezza di un angolo: è la classe degli
 angoli tra loro congruenti

• Misura dell’ampiezza di un angolo : è il
 numero che risulta dalla misurazione.

La misura
Misurare: stabilire il rapporto esistente fra una grandezza
e un'altra omogenea, presa come unità di misura.

Grandezze omogenee: per definire rigorosamente una
grandezza, occorre che nell’insieme considerato - ad
esempio l’insieme dei segmenti - esista una relazione
di ordine totale che permetta
di confrontare qualunque coppia di elementi, e inoltre
che esista un’operazione di somma (associativa e
commutativa) compatibile con la relazione d’ordine. In
questo caso si può allora dire che l’insieme è formato
da grandezze omogenee, ed è possibile dare un nome
alla classe di grandezze considerate: nel caso di
segmenti si parlerà di lunghezza.

Misurare una grandezza, dunque, comporta due passaggi
che sono due processi di matematizzazione:

1. Si passa da un oggetto a una grandezza ( cioè ad una sua
 qualità);
2. Si passa dalla grandezza alla sua misura, espressa mediante un
 numero.
 Oggetto Grandezza Misura della grandezza
 Astrazione Misurazione
 Si considera una Si sceglie una
 sua qualità unità di misura

«Anche la semplice misurazione di una linea
rappresenta una fusione della geometria e
dell’aritmetica. Per misurare la lunghezza di un
oggetto si applica a questo una certa unità di
lunghezza e si calcola quante volte è possibile
ripetere questa operazione; il primo passo
(applicativo) è di carattere geometrico, il
secondo (calcolo) di carattere aritmetico . Chi
conta i passi nel camminare sta già unendo
queste due operazioni.»
 Aleksander Aleksandrov

È sempre possibile trovare la misura di
 una grandezza?
 Si, se c’è un numero per esprimerla
 Torniamo a Pitagora!

Il problema degli incommensurabili
• Due grandezze omogenee A e B si dicono commensurabili quando
 ammettono una grandezza sottomultipla comune, cioè quando
 esiste una terza grandezza C, omogenea con le prime due, che è
 contenuta un numero intero di volte in ciascuna di esse. Allora se C
 è contenuta in A m volte e in B n volte
 
 =
 
• Due grandezze omogenee si dicono incommensurabili quando non
 ammettono una grandezza sottomultipla comune; cioè quando non
 è possibile determinare una terza grandezza, a queste omogenea,
 che sia contenuta un numero intero di volte in ciascuna di esse.
• Come già visto nella sesta lezione, il problema si presenta nel
 confronto tra la diagonale di un quadrato e il relativo lato: queste
 due grandezze sono commensurabili? Riformuliamo il problema:
 è un numero razionale?

 è irrazionale
Procediamo per assurdo, ipotizzando che 2 sia razionale.
La diagonale di un quadrato di lato è commensurabile con il suo
lato? Perché ciò accada devono esistere due interi ed , tali che:
 
 = ; si assuma che ( , ) = 1.
 
Per il teorema di Pitagora = → 
 = = 
Quindi dobbiamo trovare ed in modo che =
 .
Quindi deve essere pari; perciò si può scrivere = .
Ma allora = → = ; quindi deve essere pari, ma ciò
contraddice l’ipotesi. Quindi 2 è irrazionale.

Perché il rapporto tra due grandezze omogenee possa sempre essere
espresso da un numero, quindi, abbiamo bisogno di operare nei
numeri reali.

Una fondamentale differenza
• La misura in fisica è un’operazione materiale, che
 richiede il confronto tra oggetti reali. Da ciò consegue
 che, se in particolare la grandezza è di tipo continuo,
 la misura è sempre affetta da errore, qualunque sia la
 precisione dello strumento di misura; essa viene
 espressa da un intervallo ( es: 5,0 ± 0,1 ) e, se
 approssimata, è espressa da un numero razionale
• La misura in matematica è un’operazione concettuale,
 ed è quindi espressa sempre esattamente da un
 numero. L’insieme dei numeri reali garantisce tale
 possibilità

«Mentre in fisica è essenziale tenere conto delle
operazioni reali con cui si opera una certa misura, e
quindi in particolare della sensibilità degli strumenti e dei
limiti della percezione, in matematica l’interesse è volto
alla descrizione del procedimento, prescindendo dalle
condizioni concrete in cui esso si realizza. La matematica
costruisce modelli ideali, che si rivelano di grande utilità,
perché su di essi è più agevole riflettere per comprendere
le caratteristiche dei processi reali. In questo modo le
formulazioni astratte della matematica permettono di
realizzare una grande economia di pensiero, con il frutto
di una maggiore chiarezza, almeno per chi non è
disturbato dal simbolismo matematico.»

Da «La misura, osservazioni, commenti, proposte» di
Anna Paola Longo

Equivalenza di figure piane
Due figure piane si dicono equivalenti se hanno la
stessa estensione nel piano.
Valgono i seguenti assiomi
1) Due figure congruenti sono equivalenti.
2) L’equivalenza tra figure piane gode delle proprietà
 riflessiva, simmetrica e transitiva.
3) Somme e differenze di figure equivalenti sono
 equivalenti.
4) Una figura piana limitata non è equivalente a una
 sua parte.

Due figure piane si dicono equiscomponibili se sono composte
da un numero finito di parti rispettivamente isometriche.
Per l’assioma 3, figure equiscomponibili sono equivalenti, ma
non vale il contrario, cioè non tutte le figure equiscomponibili
sono equivalenti.
Quindi:
• Superficie: Ente geometrico a due dimensioni

• Estensione di una superficie: è la classe delle superfici
 equivalenti

• Area: Misura dell'estensione di una superficie piana

Utilizzando l’equiscomponibilità si possono dimostrare
molti teoremi:
1) Dal rettangolo al parallelogramma:
Un parallelogramma è equivalente ad un rettangolo
avente base ed altezza congruenti a base e altezza del
parallelogramma

2) Dal rettangolo al rombo:
Un rombo è equivalente alla metà di un rettangolo
avente base ed altezza congruenti alle diagonali del
rombo

3) Dal rettangolo al triangolo:
Un triangolo è equivalente ad un rettangolo avente base
congruente alla base del triangolo e altezza metà di quella del
triangolo
Oppure:
Un triangolo è equivalente alla metà di un rettangolo avente base
ed altezza congruenti a base e altezza del triangolo.

4) Dal parallelogramma al triangolo:
Un triangolo è equivalente alla metà di un
parallelogramma avente base ed altezza congruenti a
base e altezza del triangolo.

5) Dal parallelogramma al trapezio:
Un trapezio è equivalente alla metà di un
parallelogramma avente base congruente alla somma
delle basi del trapezio ed altezza congruente all’altezza
del trapezio.

6) Dal triangolo al trapezio:
Un trapezio è equivalente ad un triangolo avente base
congruente alla somma delle basi del trapezio ed
altezza congruente all’altezza del trapezio.

Principio di Cavalieri
“Due figure piane sono equivalenti se esiste una
retta tale che ogni altra retta parallela ad essa le
interseca secondo segmenti di uguale
lunghezza”.
Possiamo costruire un modello materiale per rendere più concreto il principio
costruendo una figura piana con bastoncini impilati e poi spostando da una
parte i loro estremi con un righello.

RETTANGOLO E PARALLELOGRAMMA

Il rettangolo e il parallelogramma in figura hanno basi congruenti e
altezze congruenti. Ogni retta parallela alle basi taglia le due figure
con segmenti congruenti alle basi stesse. Per le proprietà dei
parallelogrammi, tali segmenti sono congruenti alle basi, perciò
congruenti tra loro.
Le due figure quindi sono equivalenti per il principio di Cavalieri.

TRIANGOLI

I due triangoli in figura hanno basi congruenti e altezze congruenti;
utilizzando la similitudine si può capire che ogni retta parallela alle
basi taglia i due triangoli con segmenti congruenti, perché
proporzionali alle basi stesse con lo stesso rapporto; quindi i due
triangoli sono equivalenti.

Con la teoria dell’equivalenza di figure piane si possono
dimostrare:
Teorema di Pitagora: In ogni triangolo rettangolo il
quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla
somma dei quadrati costruiti sui cateti.

Primo teorema di Euclide: In ogni Secondo teorema di Euclide: In
triangolo rettangolo il quadrato ogni triangolo rettangolo il
costruito su un cateto è equivalente quadrato costruito sull’altezza
al rettangolo avente per dimensioni relativa all’ipotenusa è equivalente
l’ipotenusa e la proiezione del al rettangolo avente per dimensioni
cateto sull’ipotenusa le proiezioni dei cateti
 sull’ipotenusa.

Similitudine
Come abbiamo già visto la similitudine è una trasformazione
geometrica del piano che conserva i rapporti tra le distanze.
Per le proprietà della trasformazione la relazione di similitudine
tra figure geometriche gode delle proprietà riflessiva, simmetrica
e transitiva.
Due poligoni simili hanno:
• angoli corrispondenti congruenti;
• lati corrispondenti in proporzione con rapporto pari al
 rapporto di similitudine;
• rapporto tra le grandezze lineari corrispondenti ( altezze,
 perimetri …) pari al rapporto tra i lati;
• rapporto tra le aree pari al quadrato del rapporto di
 similitudine.

Criteri di similitudine
Due triangoli sono simili se hanno:
• gli angoli corrispondenti congruenti
 oppure
• i lati corrispondenti in proporzione
 oppure
• due lati in proporzione e l’angolo compreso congruente

Due poligoni sono simili se hanno:
• gli angoli corrispondenti congruenti e I lati corrispondenti in
 proporzione

N.B.: I poligoni regolari con lo stesso numero di lati sono
tutti simili tra loro

Similitudine e teoremi di Euclide
Primo teorema di Euclide: In ogni triangolo rettangolo
Digitare l'equazione qui.un cateto è medio proporzionale tra
l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa

 Dalla similitudine dei
 triangoli ABC e AHC si
 deduce:
 : = : 
 2 = ∙ 

Similitudine e teoremi di Euclide
Secondo teorema di Euclide: In ogni triangolo rettangolo
l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra la
proiezioni dei cateti sull’ipotenusa

 Dalla similitudine dei
 triangoli AHB e AHC si
 deduce:
 : = : 
 2 = ∙ 

Esercizi
1) Provare, con un disegno, che un triangolo è
 equivalente alla metà di un rettangolo avente
 dimensioni congruenti alla base e all’altezza del
 rettangolo.
2) Dato un segmento di lunghezza 1, Quanto vale la
 sua sezione aurea? La risoluzione di questo quesito
 permette di determinare il valore del rapporto
 aureo.
3) Dato un triangolo equilatero quali e quante
 trasformazioni applicate ad esso lo trasformano in
 se stesso? (cambiando al più l’ordine dei vertici)