(TOY) MONTECARLO - MATTEO DURANTI
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(Toy) MonteCarlo
Matteo Duranti
matteo.duranti@pg.infn.it
(cfr. https://space.umd.edu/dch/p405s06/sullivan_geometry_factor.pdf)
Esercitazione finale
L'esercitazione finale, tipicamente è un (Toy-)MonteCarlo:
• https://www.fisgeo.unipg.it/~duranti/Sito//MetodiComputazionali-
2018_2019-files_files/EsercitazioneFinale.pdf
• https://www.fisgeo.unipg.it/~duranti/Sito//MetodiComputazionali-
2017_2018-files_files/Esercitazione_finale.pdf
• https://www.fisgeo.unipg.it/~duranti/Sito//MetodiComputazionali-
2019_2020-files_files/EsercitazioneFinale.pdf
Esempio realistico
Vogliamo simulare uno "spettrometro magnetico" sottoposto a particelle cariche
⊗
B
q, m, {px, py, pz}
magnete:
il campo (uniforme) curva le
particelle cariche
rivelatori al silicio: rivelatori al silicio:
tracciano le particelle incidenti tracciano le particelle incidenti
Generatore Quanti eventi generiamo? Cosa utilizziamo per generare? …
Generatore
Quanti eventi generiamo? Cosa utilizziamo per generare? …
• generator random:
tran =NULL;
Generatore
Quanti eventi generiamo? Cosa utilizziamo per generare? …
• generator random:
tran =NULL;
• definiamo le variabili che ci servono:
Generatore
Quanti eventi generiamo? Cosa utilizziamo per generare? …
• generator random:
tran =NULL;
• definiamo le variabili che ci servono:
• loop sugli eventi
Generatore
Come arrivano le particelle incidenti lo spettrometro?
Fascio di particelle: Isotropicamente:
beam
pipe
⊗ ⊗
B B
Fascio di particelle
Beam pipe:
3.3 Setup sperimentale con fasci di ioni 49
103 Entries 5403588 103 Entries 5403588
Entries
Entries
350
300 120
100
3.3 Setup
250 sperimentale con fasci di ioni 49
200 80
150 60
103 103
“spot size”:
Entries 5403588 Entries 5403588
Entries
Entries
350
100 40
300 120
50 20
• ~ 1 mm di larghezza
250 100
0 0 8 9 10 11 12 13
7.5 8 8.5 9 9.5
200 X (mm) 80 Y (mm)
(esempio) 150 60
100
Figura 3.15: Profili orizzontale (sinistra)
40 e verticale (destra) del fascio.
20
• idealmente gaussiano
50
0 8 9 10 11 12 0 13
7.5
za della funzione 8 8.5
gaussiana 9 9.5 per descrivere
utilizzata queste distribuzioni definisce la
X (mm) Y (mm)
divergenza del fascio.
Figura 3.15: Profili orizzontale (sinistra) e verticale (destra) del fascio.
3 3
10 Entries 5403588 10 Entries 5403588
Entries
120
Entries
180 Constant 9.176e+04 ± 55 Constant 7.252e+04 ± 41
za della funzione gaussianaMean
160 utilizzata per descrivere
0.3976± 0.0038
100
queste distribuzioni
Mean definisce
0.06978 ± 0.00482 la
"divergenza":
Sigma
divergenza del fascio.
140 8.46 ± 0.00 Sigma 10.12 ± 0.00
120 80
100
60
• ~ 10 μrad
80
60 103 Entries 5403588
40 103 Entries 5403588
Entries
120
Entries
40
180 Constant 9.176e+04 ± 55 Constant 7.252e+04 ± 41
20
20
160
• idealmente gaussiana
Mean 0.3976± 0.0038 Mean 0.06978 ± 0.00482
100
Sigma 8.46 ± 0.00 Sigma 10.12 ± 0.00
0
140 20 10 0 10 20 20 10 00 10 20
120 Incidence Angle (μ rad) 80
Incidence Angle (μ rad)
100
60
80
Figura 3.16:
60
Distribuzioni dell’angolo di incidenza 40
del fascio al cristallo nel piano orizzontale
(sinistra)
40
e verticale (destra). La divergenza del fascio viene definita dalla larghezza della funzione
gaussiana 20
20 utilizzata per descrivere tali distribuzioni. I picchi nelle distribuzioni sono dovuti alla
risoluzione
0 dei rivelatori. 0
20 10 0 10 20 20 10 0 10 20Generatore
Come arrivano le particelle incidenti lo spettrometro?
Fascio di particelle: Isotropicamente:
⊗
BGenerazione isotropa Flusso isotropo, Φ: Isotropo significa che Il numero di particelle che attraversano un elemento di area, Ω ref. Sullivan, NIM 95 (1971) 5-11
Generatore
Come arrivano le particelle incidenti lo spettrometro?
Fascio di particelle: Isotropicamente:Propagazione
Una volta generate le particelle le dobbiamo far propagare:
⊗
B
q, m, {px, py, pz}Propagazione
Una volta generate le particelle le dobbiamo far propagare:
⊗
B
q, m, {px, py, pz}
Fuori dal campo Fuori dal campo
magnetico magneticoPropagazione
Una volta generate le particelle le dobbiamo far propagare:
⊗
B
q, m, {px, py, pz}
Fuori dal campo Nel campo magnetico Fuori dal campo
magnetico magneticoPropagazione Come si propagano le particelle? Fuori dal campo magnetico:
Propagazione Come si propagano le particelle? Fuori dal campo Nel campo magnetico: magnetico:
Propagazione
Come si propagano le particelle?
Fuori dal campo Nel campo magnetico:
magnetico:
Necessaria la risoluzione di un sistema di
equazioni differenziali
à durante il corso vedremo sistemi
numerici per la risoluzione di ODE
(Ordinary Differential Equations)Generatore (energia/momento)
Che energia hanno le particelle?
Monocromatico: Spettro:
Φ ~ E-γ33. Passage of particles through matter 447
m free electrons is adequately described by
Interazioni
copper, the error thus introduced into dE/dx is greater than 6% at
Come interagiscono le particelle conForil 2γm
rivelatore?
al cross section [2], 100 GeV. 2 2
e ≫ M , Wmax = M c β γ.
2πre2 me c2 z 2 (1 − β 2 W/Wmax ) At energies of order 100 GeV, the maximum 4-momentum transfer
= , (33.1) to the electron can exceed 1 GeV/c, where hadronic structure
⊗
β2 W2
effects significantly modify the cross sections. This problem has been
imum energy transfer possible in a single investigated by J.D. Jackson [9], who concluded that for hadrons (but
electrons are not free. B W must be finite and not for large nuclei) corrections to dE/dx are negligible below energies
bulk structure. For electrons bound in atoms where radiative effects dominate. While the cross section for rare hard
eorie” to obtain the differential cross section collisions is modified, the average stopping power, dominated by many
W ; β) dσ (W, β) softer collisions, is almost unchanged.
= R B(W ) . (33.2)
W dW 33.2.3. Stopping power at intermediate energies :
ounted Nelforcaso
by the correction
di un rivelatorefactor B(W ).
al silicio The mean rate of energy loss by moderately relativistic charged
dσB /dW can be seen in Figs. 5 and 6 of heavy particles is well-described by the “Bethe equation,”
(abbastanza sottile da non "
dE
#
Z 1
$
1 2m c 2β2γ 2W δ(βγ)
%
disintegrare la particelle) − = Kz 2
ln
e max 2
−β − .
s only to some energy above which atomic
la perdita di energia per unità dx A β2 2 I2 2
. The free-electron cross section (Eq. (33.1)) (33.5)
e crossdisection
materiale
to Wattraversato è data dalla
max . At high energies σB < <
It describes the mean rate of energy loss in the region 0.1 ∼ βγ ∼ 1000
formula
olarization di Bethe-Bloch
of the medium, and this “density for intermediate-Z materials with an accuracy of a few percent.
33.2.5, must also be included. Less important This is the mass stopping power ; with the symbol definitions and
below. values given in Table 33.1, the units are MeV g−1 cm2 . As can be seen
collisions with energy loss between W and from Fig. 33.2, ⟨−dE/dx⟩ defined in this way is about the same for
distance δx is Ne δx (dσ/dW )dW , where most materials, decreasing slowly with Z. The linear stopping power,
ll contributions. It is convenient to define the in MeV/cm, is ⟨−dE/dx⟩ ρ, where ρ is the density in g/cm3 .
Wmax is defined in Sec. 33.2.2. At the lower limit the projec-
j dσ(W ; β)
!
= Ne δx W dW , (33.3) tile velocity becomes comparable to atomic electron “velocities”
dW
(Sec. 33.2.6), and at the upper limit radiative effects begin to
number of collisions in δx, M1 is the mean be important (Sec. 33.6). Both limits are Z dependent. A minor
2Interazioni
Come interagiscono le particelle con il rivelatore?
⊗
B
Nel caso di un rivelatore al silicio In generale questo valore
(abbastanza sottile da non dipende da:
disintegrare la particelle) • tipo particella incidente
la perdita di energia per unità • energia particella incidente
di materiale attraversato è data dalla • materiale atttraversato
formula di Bethe-BlochInterazioni
Come interagiscono le particelle con il rivelatore?
⊗
B
Nel caso di un rivelatore al silicio In generale questo valore
(abbastanza sottile da non dipende da:
disintegrare la particelle) • tipo particella incidente
la perdita di energia per unità • energia particella incidente
di materiale attraversato è data dalla • materiale atttraversato
formula di Bethe-Bloch
Se il rivelatore è molto sottile (< mm) il valore dato dalla Bethe-Bloch ci
fornisce solamente il valore medio (*) di una variabile casuale distribuita
secondo una Landau
Double_t TRandom::Landau(Double_t mean = 0,
Double_t sigma = 1)
* la media (in realtà valore più probabile) è ~ 80 coppie
elettrone-lacuna/μm e l’energia per creare una coppia è 3.6 eVInterazioni
Come interagiscono le particelle con il rivelatore?
⊗
BInterazioni
Come interagiscono le particelle con il rivelatore?
⊗
B
La traiettoria delle particelle è deflessa dalla collisioni
Coulombiane con gli atomi del materiale attraversato
E la deviazione standard della
distribuzione degli
angoli di deflessione è:
della particella frazione (in unità di
lunghezza di radiazione) di
Ad esempio in 2mm incidente
materiale attraversato
di silicio la
distribuzione
degli angoli:Interazioni
Come interagiscono le particelle con il rivelatore?
⊗
BE ogni altro effetto abbia senso simulare… • le particelle emettono radiazione (sincrotrone, etc…)? • le particelle decadono durante il moto? • …
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