Spazio e geometria Intuizione spaziale e geometria dalla scuola dell'infanzia alla scuola primaria

Spazio e geometria

Intuizione spaziale
e geometria dalla
scuola dell’infanzia
alla scuola primaria

Misconcezioni e geometria (Sbaragli,
2005)

Misconcezioni e geometria (Sbaragli,
2005)

Misconcezioni e geometria (Sbaragli,
2005)

I concetti figurali…
   Condividono con i concetti
   Le proprietà di astrattezza, generalità, perfezione, stabilità
   Il fatto che le loro caratteristiche sono interamente
    determinate dalla definizione e dai postulati della teoria
    formale in cui sono inseriti
   Condividono con le immagini mentali
   Le proprietà spaziali (forma, posizione, grandezza)
   Differiscono dai disegni perché
   Un disegno è un modello materiale e concreto, un concetto
    figurale è un oggetto mentale astratto
   Un disegno è specifico, un concetto figurale è sempre
    generale
   Un disegno ha proprietà sensoriali non spaziali (ad es. il
    colore), in un concetto figurale si astrae da queste proprietà.

E’ piu grande il punto A o il punto B?
Classe   Non        Punto   Uguali
         risponde   B
                                     A
II P     68%        6%      7%

III      40%        45,7%   2%
P
IV P     12,3%      50,9%   27,3
                            %

VP       20%        40%     28,8
                            %
                                     B
IM       20%        20%     45,4%

Ci sono più punti in AB o in CD?
Gli allievi che rispondono
   “In CD” sono sviati dal
   fatto che un punto, pur
   essendo
   concettualmente            AB
   un’entità adimensionale,
   acquista nella sua
   rappresentazione
   figurale una realtà
   bidimensionale (è visto    CD
   come una “piccolissima
   macchia”)

Obiettivi per l’apprendimento della
geometria
   Senso spaziale
    - Può essere definito come l’intuizione
    sulle figure e sulle relazioni tra di esse
    - Capacità di visualizzare oggetti,
    compiere trasformazioni mentali su di
    essi, individuare forme geometriche in
    natura e nell’arte
   Contenuti geometrici
    - Figure e proprietà
    - Trasformazioni
    - Localizzazione
    - Visualizzazione

La gerarchia dei van Hiele
0. Visualizzazione
Gli alunni riconoscono le figure in base alle loro caratteristiche
      visuospaziali globali: figure “a punta”, “grasse” ecc.
1. Analisi
Gli alunni riconoscono le figure in base alle loro proprietà: cosa rende un
      rettangolo un rettangolo?
2. Deduzione informale
Gli alunni riconoscono le figure in base alla loro definizioni. Iniziano a
      percepire la necessità di dimostrazioni.
3. Deduzione
Gli alunni si sanno muovere all’interno di un sistema assiomatico
      deduttivo per la geometria
4. Rigore
Gli alunni sanno confrontare tra loro e ragionare su diversi sistemi
      assiomatici deduttivi per la geometria

Caratteristiche dei livelli
1.   I livelli sono sequenziali
2.   I livelli non dipendono dall’età
     (diversamente dagli stadi
     piagetiani)
3.   L’avanzamento dipende dalle
     attività di insegnamento-
     apprendimento (diversamente dagli
     stadi piagetiani)
4.   Uno degli obiettivi dell’educazione
     matematica nella scuola primaria è
     preparare l’avanzamento dai livelli
     0 e 1 al livello 2.

Quali attività per ciascun livello?
   Attività appropriate per il livello 0:
    - Classificazione di figure, riconoscimento di proprietà
    comuni. L’accento deve passare da proprietà non
    geometriche (la figura è “grassa”, “verde” ecc.) a
    proprietà geometriche
    - Devono includere molti esempi diversi in modo da non
    focalizzare l’attenzione su caratteristiche irrilevanti.
   Attività appropriate per il livello 1:
    - Si concentrano più sulle proprietà delle figure che
    sulla loro identificazione
    - applicano i concetti a intere classi di figure (es. tutti i
    rettangoli, tutti i prismi) piuttosto che a singoli esempi;
    analizzano classi di figure per determinare nuove
    proprietà.

Attività di livello 0: tipi di figure
   Ogni alunno sceglie una figura a
    caso e dice qualcosa su di essa
   Ogni alunno sceglie due figure a
    caso e osserva una somiglianza e
    una differenza
   Il gruppo sceglie una figura a caso
    e la piazza al centro del tavolo; poi
    trova le figure che hanno in comune
    con essa una specifica proprietà
    (es. un lato curvo e un lato diritto)
   Data una proprietà, gli alunni
    disegnano una loro figura con
    quella proprietà
   Un gruppo inventa una “proprietà
    segreta” e disegna cinque figure
    con quella proprietà. Gli altri
    indovinano la regola

Attività di livello 0: la figura segreta
   A un bambino viene consegnata una busta
    con una “figura segreta”, uguale a una delle
    figure in un insieme prefissato
   Gli altri gli fanno domande “sì-no” sulla figura
    segreta e cercano di indovinare quale sia,
    restringendo le possibilità all’interno
    dell’insieme

Attività di livello 0: Geopiano
   Preparare delle carte con
    figure che possono essere
    riprodotte sul geopiano
   Gli alunni realizzano sul
    geopiano degli
    ingrandimenti di tali figure
    e copiano il risultato sulla
    carta quadrettata
   Gli alunni copiano una
    figura da una carta e la
    scompongono sul geopiano
   Vengono proposte agli
    alunni una serie di “sfide”

Attività di livello 1: Caccia alla proprietà

Attività di livello 1: Classifichiamo i
triangoli
   Preparare un insieme di carte con disegnati dei triangoli di
    ogni tipo
   Gli alunni devono suddividerli in tre gruppi disgiunti ed
    esaustivi
   Poi preparano una descrizione di ciascun gruppo
   Infine, rimettono insieme i triangoli e li tripartiscono
    secondo un diverso criterio

Attività di livello 1: Classifichiamo i
quadrilateri
             l an diag      simm
             a goli onali   etrie
             ti
parallelog
rammi

rettangoli

rombi

quadrati

Attività di livello 1: Localizzazione

 Posizioni
 nascoste

  Gioco delle
  coordinate

Attività di livello 2
“Lista definitoria
minima”
Vero-falso
Il Teorema di Pitagora
“induttivo”
“Dimostrazioni senza
parole”

Simmetria assiale
Sulla carta millimetrata, i bambini
disegnano un segmento
Poi, da un lato del segmento, fanno
un disegno che tocca il segmento
stesso in qualche modo
Successivamente ne creano
l’immagine speculare
La correttezza dell’immagine può
essere controllata attraverso lo
specchio

Localizzazione: traslazioni
Far disegnare una figura su carta
quadrettata, sulla quale è fissato un
sistema di assi cartesiani
Far aggiungere 6 alle prime
coordinate di ciascun vertice e
ridisegnare la figura
Poi far aggiungere 9 alla seconda
coordinata e poi +6 alla prima, +9 alla
seconda
Chiedere anche sottrazioni

Cos’è cambiato in ciascun caso?
Cosa significa cambiare l’ascissa? E
l’ordinata?

Localizzazione: simmetrie assiali
Far disegnare un pentagono su carta
quadrettata
Riflettere la figura nel secondo quadrante
usando l’asse delle y come asse di
simmetria
Ripetere nel terzo e quarto quadrante,
usando gli assi delle x e poi di nuovo
delle y come assi di simmetria
DOMANDE:
Che relazione c’è tra la terza e la quarta
figura?
In che altro modo si sarebbe potuta
ottenere la quarta figura?
Come sono correlate le coordinate delle
quattro figure?
Cosa si può dire sui segmenti che
collegano vertici corrispondenti in figure
simmetriche?

Localizzazione: omotetie
Disegnare un quadrilatero
Moltiplicare la coordinata di
ciascun vertice per due, poi
farle dividere per due
Far congiungere l’origine
degli assi cartesiani con i
vertici corrispondenti delle
varie figure
…cosa notano i bambini?

Localizzazione: dilazioni
Una dilazione non è un’omotetia
(la forma cambia!)
Se aggiungo 10 alla x e moltiplico
la y per 3 la figura mi esce distorta

Cosa significa misurare un oggetto?
1.   Decidere la caratteristica che dev’essere
     misurata
2.   Selezionare un’unità di misura appropriata
3.   Confrontare l’unità con la caratteristica in
     questione

Obiettivi per l’apprendimento della
misura
1.   Capire la caratteristica che dev’essere
     misurata
2.   Capire il concetto di unità di misura e il loro
     uso
3.   Capire l’uso degli strumenti di misura

Unità arbitrarie o convenzionali?
Vantaggi delle unità arbitrarie:    Vantaggi delle unità
                                       convenzionali:
1.   Facilitano la focalizzazione
     sulla caratteristica da        1.   La conoscenza delle
     misurare                            unità convenzionali è un
2.   Coi bambini più piccoli,            valido obiettivo dei
     permettono di usare solo            programmi che
     numeri di grandezza                 dev’essere affrontato
     ragionevole                    2.   Una volta che i concetti
3.   Danno un’ottima                     della misura sono ben
     giustificazione alle misure         sviluppati, usare unità
     convenzionali!                      convenzionali è semplice
                                         come usare unità
4.   Sono divertenti…
                                         arbitrarie

Approssimazione e stime
Sottolineare il carattere approssimato del processo di misura:
     tutte le misure sono a meno di un errore. Usare unità più
     piccole, riduce l’errore ma non lo elimina
     (matematicamente, non esiste l’unità “più piccola di tutte”!)
Stimare una misura prima di effettuarla è importante:
1.   Aiuta i bambini a concentrarsi sulla caratteristica da
     misurare;
2.   Aiuta la motivazione (i bambini, o i gruppi, faranno a gara a
     chi ci va più vicino!)
3.   Aiuta a familiarizzarsi con le unità convenzionali (se si deve
     stimare l’altezza di una porta in metri, occorre pensare bene
     a quanto sia lungo un metro)

Misurare lunghezze
                                    Più lungo, più
Alcune unità arbitrarie che si      corto, uguale
   possono usare in classe:
1. Impronte giganti di                 Sentieri curvi
   cartoncino;
2. Strisce di cotone (utili per
   misurare linee curve);          Quanto è lunga
                                   la maestra?
3. Cannucce da bibita (si
   possono facilmente
   tagliare in “sottounità”)             Indovina la
                                         misura
4. Stuzzicadenti, cubetti,
   regoli…
                                  Cambio di unità

Righelli: fate attenzione!
   Molti bambini credono che i numeri sui righelli
    contino le tacche, non gli spazi (unità di misura) tra
    una tacca e l’altra. Questo porta a errori nel processo
    di misura.
   Per accertarsene, dare ai bambini un righello “muto”
    e chieder loro di misurare un oggetto. Hanno capito i
    righelli quei bambini che contano gli spazi tra le
    tacche.
   Per testare la comprensione dei righelli, si può anche
    dare ai bambini un righello rotto privo delle prime
    due unità. Alcuni diranno che è impossibile fare
    misure, perché non c’è punto di inizio. Chi
    comprende i righelli non avrà difficoltà a eseguire la
    misura.

Misurare aree
    All’inizio, è difficile distinguere
     l’area da altre caratteristiche, come
     la lunghezza.
    Secondo Piaget, ancora a 9 anni la
     conservazione dell’area può essere
     problematica

Errori comuni:
Confondere le formule dell’area e del
perimetro
Sbagliare l’altezza di un triangolo (o
altro poligono) con il lato obliquo

Aree: dai rettangoli ad altri quadrilateri

Un parallelogrammo può
essere trasformato in un
rettangolo che ha stessa
base, stessa altezza, stessa
area
…e un triangolo può
sempre essere visto come
metà di un
parallelogrammo!
…lo stesso per un trapezio!

Misurare volumi e capacità
   Volume e capacità sono            Classificazione
    sinonimi che indicano la          di capacità
    quantità di spazio
    occupata da un oggetto (o
    che un contenitore può        Seriazione di
    contenere)                    capacità
   All’inizio, concentrarsi su
    attività con liquidi usando
                                       Confronto di
    bicchieri e contenitori di         scatole
    plastica, imballi di
    polistirolo

Misurare il peso
   Già alla scuola dell’infanzia il
    bambino può effettuare
    confronti di peso tenendo un
    oggetto in ciascuna mano a
    braccia estese e valutando la
    diversa spinta verso il basso
    esercitata
   Successivamente, si può
    passare a usare bilance a piatti e
    bilance a molla, anche artigianali
   Come unità arbitrarie, si
    possono usare cubetti di
    plastica o legno con lo stesso
    peso

Misurare il tempo
   Il tempo è diverso dalle altre
    caratteristiche perché non può essere
    visualizzato; quindi è più difficile per il
    bambino comprendere le unità di tempo e
    il loro uso
   Unità arbitrarie di tempo: oscillazione di
    un pendolo, tacca su una “clessidra ad
    acqua”
   Insegnare a leggere l’orologio è difficile,
    perché non è evidente il nesso col tempo
    che dev’essere misurato

   Un possibile approccio:
    - iniziare con orologi a una lancetta
    - discutere la relazione tra le due lancette
                                                   Quale dura di
    - attività con due orologi
                                                   più?
    - concentrarsi su intervalli di 5 minuti
    - introdurre orologi digitali

Una domenica d’estate, sulla spiaggia
del Poetto…
   A. (7 anni), G. (7 anni) ed E. (5 anni) stanno costruendo un
    castello di sabbia.
   G. improvvisamente esclama:
   “Io e A. siamo nati lo stesso anno e lo stesso mese, ma io
    sono nato l’11 e lui il 12, quindi io sono più grande!”
   E. protesta veementemente:
   “Ma che dici? Il 12 è più grande dell’11, quindi il più grande
    è lui!”
   G. ribatte:
   “No, è più grande chi è nato prima. L’11 viene prima del 12 e
    dunque io sono più grande!”
   A., che sinora se ne è rimasto in silenzio, conclude:
   “Ha ragione G.”