INSEGNAMENTO DI TECNICA DEI TRASPORTI TERRESTRI, MARITTIMI E AEREI - Università di Pisa

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INSEGNAMENTO DI TECNICA DEI TRASPORTI TERRESTRI, MARITTIMI E AEREI - Università di Pisa
Scuola di Ingegneria - Università di Pisa
Corso di Laurea Magistrale in “Ingegneria delle Infrastrutture Civili e
                          dell’Ambiente”
                     Anno Accademico: 2020/21
  INSEGNAMENTO DI TECNICA DEI TRASPORTI
       TERRESTRI, MARITTIMI E AEREI
                        Docente: Marino Lupi

       MECCANICA DELLA LOCOMOZIONE
     - GLI ORGANI DI ROTOLAMENTO – L’ADERENZA
    - RESISTENZE AL MOTO NEI VEICOLI TERRESTRI
INSEGNAMENTO DI TECNICA DEI TRASPORTI TERRESTRI, MARITTIMI E AEREI - Università di Pisa
Funzioni delle ruote:
  - supportare il peso del veicolo.
  - fornire sforzi longitudinali di trazione e di frenatura.
  - fornire adeguate forze trasversali per il controllo
  della traiettoria del veicolo:

                    - Guida libera: la stabilità in curva è assicurata
                    dall’aderenza trasversale: caso del pneumatico
                    stradale.
                    - Guida vincolata: la stabilità in curva è assicurata
                    dall’azione della via sulla ruota (in particolare sul
                    bordino della ruota): caso della ruota ferroviaria.

Lupi M.,"Tecnica dei Trasporti Terrestri, Marittimi e Aerei", Scuola di Ingegneria, Univ. di Pisa, A.A. 2020-21.
INSEGNAMENTO DI TECNICA DEI TRASPORTI TERRESTRI, MARITTIMI E AEREI - Università di Pisa
Ruota ferroviaria
   Le ruote ferroviarie possono essere:
      - Monoblocco (un solo pezzo
      fuso)               La ruota ferroviaria ha
                          una forma troncoconica

   - Biblocco: parte
   esterna, cerchione, +
   parte interna, corpo,
   unite attraverso
   procedimento di
   “calettamento”.

 Nel caso della biblocco, una volta consumato, posso cambiare solo
                                                                                                          3
 il cerchione
Lupi                 (però Terrestri,
     M.,"Tecnica dei Trasporti ho il pericolo       delScuola
                                      Marittimi e Aerei", cosiddetto      “scalettamento”).
                                                              di Ingegneria, Univ. di Pisa, A.A. 2020-21.
Sala montata = asse ferroviario         +            2 ruote
               (detto anche                 (“calettate” sull’asse)
               “assile”)
                                                Fusello: parte
                                                esterna dell’asse.
                                                Su i fuselli
                                                appoggia, tramite
                                                le sospensioni, la
                                                cassa del veicolo
                                                ferroviario.
Bordino: elemento di guida laterale, su cui agisce l’”azione” della via
(rotaia).
Fonte : Orlandi, Meccanica dei                                            2s= scartamento di
 trasporti, Pitagora, 1990.
                                                                           binario: distanza fra gli
                                                                           intradossi delle rotaie
                                                                           misurata 14 mm sotto il
                                                                           piano di rotolamento
                                                                           2c= scartamento di
                                                                           bordino: distanza fra gli
                                                                           estradossi dei bordini
                                                                           misurata 10 mm sotto il
                                                                           piano di rotolamento
                                                       scartamento
                                                        “europeo”
                                                                                                   +5 mm
                                                             2s=1435 mm
                                                                                                     - 2 mm
   2c =1416 mm                    ± 9 mm                  2s – 2c ≈ 19mm
Scartamenti diversi in Europa: Spagna e Portogallo: 1676 mm (però la
nuova rete ad alta velocità spagnola ha scartamento “europeo”);                                                  5
Lupi M.,"Tecnica dei Trasporti Terrestri, Marittimi e Aerei", Scuola di Ingegneria, Univ. di Pisa, A.A. 2020-21.
Finlandia e Russia: 1524 mm.
Le ruote ferroviarie hanno una forma troncoconica per evitare
(limitare) gli strisciamenti. e : spostamento trasversale dell’asse
                                  ferroviario in curva
                              ro : raggio mediano della ruota
                                       Raggi di rotolamento:
Locomozione,Patron, Bologna, 1980.
Fonte: Stagni E., Meccanica della

                                               1
                                     r1 = r0 −    e ruota interna
                                               20
                                                1
                                     r2 = r0 +    e ruota esterna
                                               20
                                     Curva di Raggio planimetrico R in
                                     asse: la ruota esterna fa una curva di
                                     raggio (R+s); la ruota interna fa una
                                     curva di raggio (R-s). Le ruote fanno
                                     però lo stesso numero di giri (sala
                                     montata: le ruote sono collegate
                                     rigidamente fra loro).
Percorso ruota esterna
                                                     (R + s)ϕ = 2π nr2
                                                       in assenza di scorrimenti

                                                  Percorso ruota interna:
                                                      (R − s)ϕ = 2π nr1
                                                     in assenza di scorrimenti
ϕ : angolo al centro dell’arco di circonferenza percorso.
 n:   numero di giri dell’asse ferroviario.

 ( R + s ) r2            (R + s ) r0 + e tgα
          =                     =
 ( R − s ) r1            (R − s ) r0 − e tgα
(R + s ) (r0 − e tgα ) = (R − s ) (r0 + e tgα )       dopo passaggi

                                                     2Re tgα = 2 sr0
2 sr0
R=
     2e tgα
emax = 25 mm infatti: 2 emax ≈ 19 +      30 ≈ 50mm

                             2 s − 2 c allargamento massimo nelle curve strette

           2 sr0     1,5 × 0,5
Rmin =             ≈           = 300 m     Valore minimo del raggio per
         2emax tgα    50 1
                                              il quale non si hanno
                     1000 20                  strisciamenti
 (2s=1435mm ∼ 1,5 m)

In realtà la forma troncoconica limita gli strisciamenti, ma non li
elimina.                allargamento in curva
 FS suggeriscono     
                     
                      30mm
                     
                                     300 m      485 m               R
Sede ferroviaria

                         scartamento

                                  intervia
              (linea 2,12 mt V
Apparecchi di deviazione
Dispositivi di armamento che consentono di variare la direzione del
moto (consentono la formazione di itinerari).
                                      L
                                                                                    controrotaia sx
                                           tallone/cerniera
                                                                                                     traversa limite (212)
              controago sx
             sx
       ago             tirante aghi
             dx
                                                                                             cuore
           controago dx                                                                                    α
                                                R

   tgα            R [m]            L [m]         V [Km/h]
 0,1200            170              25              30                               controrotaia dx
 0,0740            400              39              60
 0,0550           1.200             69              100
 0,0340           3.000             109             160
 0,0150           4.000            208              200
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Rotaia “Vignole”
    Forma tipo doppio t perché resiste meglio agli sforzi di flessione.

                                                             ≈

Lupi M.,"Tecnica dei Trasporti Terrestri, Marittimi e Aerei", Scuola di Ingegneria, Univ. di Pisa, A.A. 2020-21.
Sovrastruttura ferroviaria
      E’ costituita dalle rotaie + traverse + organi di attacco
      (armamento) + massicciata (“ballast”) .

    Le traverse sono “annegate” nella massicciata.

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Funzioni della massicciata

 1) Distribuire i carichi: in modo che le tensioni non superino la
 portanza del terreno del rilevato.

  ≈ 22 t f (peso per asse
           delle locomotive
           elettriche                                                                      ≈ 45°

           moderne)

  2) Mantenere la geometria del binario: a tal fine le traverse sono
  “annegate” nel ballast.

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3) Fornire un appoggio elastico per il binario: la massicciata è
formata da materiale quasi monogranualre ( 3 ÷ 6 cm ) in modo
tale che vi siano molti vuoti.
4) Mantenere asciutte le traverse (quando erano in legno).
Le traverse hanno la funzione di collegare fra loro le rotaie,
mantenendo lo scartamento di binario. Esse inoltre hanno la
funzione di “distribuire”, alla massicciata in cui sono affogate, le
forze “provenienti” dai veicoli.
Le traverse, una volta, erano in

                                                                   Fonte: Malavasi, in Cantarella, 2001
legno: ottimo materiale elastico e
leggero,60 ÷ 80 KgF     , ma facile a
deteriorarsi a causa dell’acqua.
Inoltre per potere durare circa 20
anni, generalmente, le traverse
dovevano essere trattato con
                                                              14
procedimenti tossici e inquinanti.
Le traverse in legno sono in disuso sulle linee FS (rimango,
attualmente, solo su linee, o binari, scarsamente utilizzati).
Da qualche decennio ormai sulle linee FS vengono utilizzate traverse in
cemento armato precompresso: resistono molto di più nel tempo, ma
sono più pesanti, 220-350 KgF ,essendo più pesanti sono più costose da
trasportare (rispetto a quelle in legno).

Inoltre l’utilizzo di traverse in cemento armato precompresso, (insieme
al primo attacco “indiretto” fra traversa e rotaia) ha permesso la
realizzazione di lunghe rotaie saldate (rotaie saldate da stazione a
stazione).

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In passato le escursioni termiche delle rotaie si “trasformavano” in
deformazioni, e quindi vi era bisogno di una luce, fra un tratto di rotaia
ed il successivo, che costituiva una ”discontinuità” nell’appoggio.

Con le lunghe rotaie saldate non si ha discontinuità nell’appoggio. Le
escursioni termiche si “trasformano” in tensioni. Si ha bisogno però
che le rotaie siano saldamente ancorate alla massicciata: traverse in
cemento armato precompresso + attacco rotaie-traverse adeguato.

L’interasse fra due traverse parallele è mediamente 0,60 m.

Lupi M.,"Tecnica dei Trasporti Terrestri, Marittimi e Aerei", Scuola di Ingegneria, Univ. di Pisa, A.A. 2020-21.
Inoltre per realizzare
 una maggiore
 aderenza le rotaie
 sono montate inclinate
 sul piano di appoggio
 di 1/20: in modo da
 avere una maggiore
 superficie di contatto
 fra rotaia e ruota
 ferroviaria
 (ricordiamo che la
 ruota ferroviaria ha
 una forma
 troncoconica con
 inclinazione 1/20).

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Tipologia di attacchi rotaia- traversa
    Posa diretta – Attacco diretto        Posa diretta: fra rotaia e
                                          traversa si ha un contatto
                                          diretto

                                           Posa indiretta: fra rotaia e
                                           traversa è interposta una
                                           “piastra”.

Attacco diretto: anche se            Posa indiretta – Attacco diretto
esiste una piastra
interposta fra rotaia e
traversa, la rotaia è
collegata, tramite gli
organi di attacco (caviglie
in figura), direttamente
                                                                   18
alla traversa.
Posa indiretta – Attacco indiretto
                                                                        Nell’attacco indiretto esiste
                                                                        sempre una piastra interposta
                                                                        fra rotaia e traversa (la posa
                                                                        è sempre indiretta).

 La rotaia è fissata, tramite degli organi di attacco (chiavarde in
 figura), alla piastra interposta fra rotaia e traversa la quale è a sua
 volta collegata con la traversa con organi di attacco distinti dai
 precedenti (caviglie in figura).

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Primo tipo di
    attacco indiretto
    (“rigido”)

                                                   Attacco
                                    Attacco
                                                   Pandrol
                                    indiretto
                                                   (è un
                                    elastico
                                                   attacco
                                                   diretto
                                                   elastico)

In questi due casi l’inclinazione del
piano di posa è realizzata direttamente
   Lupi M., "Tecnica ed Economia dei Trasporti",
sulla
    Fac.traversina
         Ingegneria Univ. di Pisa, A.A. 2011-12
Lupi M.,"Tecnica dei Trasporti Terrestri, Marittimi e Aerei", Scuola di Ingegneria, Univ. di Pisa, A.A. 2020-21.
(attacco diretto)

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Attacco Norfast
                                                                                 (attacco indiretto)

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Ruota stradale
Ha le stesse funzioni di quella ferroviaria. In aggiunta ha la
funzione di diminuire le “asperità” della via.
Nel pneumatico stradale si individuano tre
parti:
- Carcassa
- Battistrada
- Fianchi

                                                                 24
Fonte: Stagni E., Meccanica della Locomozione,Patron, Bologna,
                                                                           1980, pag.56.
                            Ruota stradale = pneumatico +
                            disco (cerchio).
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Carcassa: è formata dalla sovrapposizione di tele impregnate di
gomma; all’inizio le tele erano di cotone, poi sono stati utilizzati
materiali sintetici.

Pneumatico di struttura
“convenzionale” (cord):
orditura “incrociata”delle
tele.
 Pneumatico con struttura
 radiale. Orditura delle tele di
 tipo radiale, da tallone a
 tallone, + cintura
 stabilizzatrice, ad orditura
 incrociata, in corrispondenza
 del battistrada (il tallone è la
 parte terminale della carcassa
 del pneumatico).
Pneumatico radiale
  Pneumatico cord: resistenza                                Resistenza dei fianchi < resistenza
  costante in tutte le direzioni                             battistrada (rinforzato dalla cintura
                                                             stabilizzatrice)
                                                             Area di impronta maggiore (il
                                                             pneumatico si “appoggia” di
                                                             più sulla via): maggiore
                                                             aderenza.

 Il pneumatico cord oggi è in
 disuso
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Modo di indicare le misure di un pneumatico: l’altezza del
                                                              pneumatico è indicata in percentuale rispetto alla larghezza. La
                                                              corda (larghezza del pneumatico) è indicata in cm o mm. Il diametro
                                                              di calettamento è indicato in pollici.
                                                                                                                 Pneumatico radiale
       http://www.oponeo.it/articoli/data-di-fabbricazione-dello-
                                    pneumatici,(gennaio 2014)
pneumatico-e-altre-marcature-sugli-pneumatici,(gennaio
Fonte: http://www.oponeo.it/articoli/data

                                                                                                                     Codice di
                                                                                                                     velocità max di
                                                                                                                     impiego (H:
                                                                    Larghezza del pneumatico: 195 mm                 210 km/h)
                                                                    Altezza del pneumatico: 0,65· 195 = 127 mm
                                                                    Diametro di calettamento in pollici = 15 · 2,54= 38,1 cm
                    Lupi M.,"Tecnica dei Trasporti Terrestri, Marittimi e Aerei", Scuola di Ingegneria, Univ. di Pisa, A.A. 2020-21.
Attualmente c’è la tendenza a realizzare pneumatici sempre più
 “bassi”.

     I pneumatici attuali
     sono senza camera
     d’aria (“tubeless”).
     Sono più semplici e
     più sicuri.

Lupi M.,"Tecnica dei Trasporti Terrestri, Marittimi e Aerei", Scuola di Ingegneria, Univ. di Pisa, A.A. 2020-21.
ADERENZA

                                                              Fonte: Ferrari P., Giannini F., Geometria e Progetto di
Caso di coppia di
ruote motrici.

                                                              Strade,, ISEDI. , 1991
  M = M m − M r (momento motore al “netto” del momento resistente)
  R: - resistenza al rotolamento sulle ruote portanti
     - resistenza dell’aria
     - eventuale resistenza dovuta alla pendenza
                                             dv
     - eventuale resistenza di inerzia ( M e      )
                                             dt
 P : peso sull’asse motore.
A: forza di aderenza, azione della via sulla ruote, agisce in C (nel
  caso di ruote motrici ha la direzione del moto).

    A < Fa                 Valore limite della forza di aderenza

  L’insieme delle due ruote si comporta come un corpo vincolato
  in O e C.
 Se si applica, all’asse motore, un momento motore M m gradatamente
 crescente. Si possono verificare tre casi ( M = M m − M r ) :

     1° caso

           M     M                                     La ruote rimangono in equilibrio
2° caso                 R ≤ Fa

                          Aumentando M m viene prima superato il vincolo in O

                              M                       La ruote avanzano, ruotando intorno
                           R<   ≤ Fa                  a C (punto di istantanea rotazione) che
                              r
                                                      cambia continuamente. Ho un moto di
                                                      rotolamento ed il veicolo avanza.

     3° caso             R > Fa

                         Aumentando M m viene prima superato il vincolo in C
                          M                       Le ruote “slittano” (girano intorno ad
                            > Fa
                          r                       O senza avanzare).
Lupi M.,"Tecnica dei Trasporti Terrestri, Marittimi e Aerei", Scuola di Ingegneria, Univ. di Pisa, A.A. 2020-21.
Quanto visto mette in evidenza che, affinché si abbia il moto, è
 importante che l’aderenza A (il suo limite Fa ) sia grande (in

                                                                                                                   Fonte: Ferrari P., Giannini F., Geometria e Progetto di
 particolare è strettamente necessario che sia superiore alle resistenze).
   Caso di ruote
                                                                          r
   portanti
 T : sforzo di trazione,

                                                                                                                   Strade,, ISEDI. , 1991
 agente sull’asse
 trasmesso dalle ruote
 motrici attraverso il
 telaio del veicolo.
                                                                                                  Mr
  A : forza di aderenza
  (in questo caso ha                                              Condizione per avere moto di
                                                  Mr
  direzione contraria al                                 ≤ Fa rotolamento (praticamente
  moto).                                            r
                                                                  sempre verificata dato il basso
                                                                  valore di M                   ).
Lupi M.,"Tecnica dei Trasporti Terrestri, Marittimi e Aerei", Scuola di Ingegneria, Univ.rdi Pisa, A.A. 2020-21.
Caso di ruote frenate (aggiungo un forte
momento, frenante, al momento resistente)

                                                                    Fonte: Ferrari P., Giannini F., Geometria e Progetto di
Per non avere il blocco delle
                                                 r
ruote deve risultare:                                          dv
  Mr + M f                                                Me
            ≤ Fa                                               dt
      r

                                                                    Strade,, ISEDI. , 1991
  “pattinamento”: la ruota avanza
  strisciando.
 Se si bloccano le ruote ho un aumento dello spazio di frenatura in
 quanto invece di avere Fa (forza di aderenza) ho F ′ forza di attrito
 radente che è minore.
  Inoltre: - caso stradale ho il pericolo di sbandamento (la
            direzione intersezione piano di rotazione della ruota con
            la superficie stradale non è più la direzione di minima
            resistenza).
             - caso ferroviario ho il danneggiamento del cerchione  34
             della ruote.
Quanto detto mette in evidenza l’importanza che, nei rapporti fra
 via e veicolo, assume la reazione A, detta aderenza, ed il suo limite
 Fa (detto, molto spesso, anche esso semplicemente “aderenza”) , sia
 per assicurare il moto di traslazione del veicolo, sia per garantire la
 sicurezza durante la fase di frenatura .
                                              Peso aderente
                                                  Fa = f a Pa
       Coefficiente di aderenza
 Nel caso di ruote motrici la maggior parte del peso grava sull’asse
 motore. Spesso:
       2
  Pa ≈ P (per esempio nel caso di un autobus)
       3
  Nel caso di fase di frenatura tutte le ruote di un veicolo frenano e
  perciò: Pa =P (dell’intero veicolo, per esempio treno).

Lupi M.,"Tecnica dei Trasporti Terrestri, Marittimi e Aerei", Scuola di Ingegneria, Univ. di Pisa, A.A. 2020-21.
Fonte Vicuna G., Organizzazione e Tecnica
                                                               Ferroviaria, CIFI, 1968.
                                                 2’B0’+2’B0’

4 assi motori   8 motori elettrici
                                                   1’D’1’

E 428 “Aerodinamico” (1934):ultima
locomotiva elettrica FS con assi portanti    1’c0’ c0’1’

                                            (A1A) (A1A)

                                                                                                           36
Locomotive elettriche moderne

                                            B’ B’
4 assi motori , 4 motori elettrici

 E 444 “Tartaruga” (1970- 74):          B0’ B0’

 solo assi motori
                                            C0 ’ C0 ’

                                                           37
Fonte: Piro e Vicuna., Il Materiale Rotabile
Motore, CIFI, 2000.

                                               E 402B (Anni ‘90): solo assi motori
                                                                                         B’ B’

                                               4 assi     2 motori elettrici
                                                                                     B0’ B0’
                                               motori

                                                                                      C0 ’ C0 ’

                                                                                                  38
Il coefficiente di aderenza si può misurare sperimentalmente: andando
 a misurare la forza limite quando la ruota si sta bloccando .

                                                                                                                   Locomozione,Patron, Bologna, 1980.
                                                                                                                   Fonte: Stagni E., Meccanica della
 Caso ferroviario

                                                             ÷

                   principalmente
      f a è f (velocità, natura e condizioni delle superfici a contatto)
                                                             Caso stradale: 0,6 ÷ 0,8 ed oltre
   Ordine di grandezza
    (a bassa velocità)                                      Caso ferroviario: 0,20 ÷ 0,35
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Alcune osservazioni sul fenomeno dell’aderenza
 In realtà ho sempre una percentuale di scorrimento s
  Ruota motrice: “la
                                                     n πD − L        L
  ruota gira di più di                            s=          = 1−
  quanto avanzi”.                                      n πD        n πD

    Ruota frenata: “la
    ruota avanza di più                                  L − n πD      n πD
                                                  s=              = 1−
    di quanto giri”.                                        L            L

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La curva 1 è valida nel caso di
                                                ruota con battistrada marcato su
                                                strada rugosa. Ed anche nel caso
                                                ferroviario di ruota di acciaio su
                                                rotaia in acciaio.Però s0 è
                                                molto diverso nei due casi.
                                                Caso stradale: 0,15 ≤ s0 ≤ 0,20
                                                Caso ferroviario: 0,02 ≤ s0 ≤ 0,03

                                          1
                                                       Fa              Coefficiente
                                                  fa =                 di aderenza:
                                                       Pa
Fonte: Stagni, 1980                                                    curva 1
   La curva 2 è valida nel caso di ruota con battistrada liscio su
   pavimentazione scivolosa (si perde quasi subito l’andamento lineare).
                                   F2'
                            fa =                Curva 2 (si assume questo come
                                   Pa                      coefficiente di aderenza)
                F2
Valori pratici per il coefficiente di aderenza
  Caso ferroviario: formula di Müller (1927)
           f a , V =0                     0,20 (0,25) rotaie umide
   fa =                   f a , V =0
        1 + 0,01 V                         0,35 (0,33) rotaie asciutte
  km/h
                                                                                   Nel caso
                                           E’ la formula di Müller “estrapolata”
                                                                                   ferroviario
                                                                                   l’utilizzo del
                                                                                   getto di sabbia
                                                                                   permette di
                                                                                   aumentare il
                                                                                   coefficiente di
                                                                                   aderenza ( in
                                                                                   particolare in
                                                                                   fase di trazione).
Fonte: Kaller R. e Allenbach J., Traction Electrique, Presses Politechniques et
Universitaries Romandes, Lausanne, 1995.
Caso stradale (a bassa velocità ≈ 20 km/h) valori indicativi.
 f a = 0,8 − 0,9 per superficie “rugosa, asciutta e pulita”
 f a = 0,7 − 0,8  per superfici “rugosa, bagnata e pulita”
f a = 0,30 − 0,5  per superfici "bagnate sporche" ( prima pioggia)
f a = 0,1 − 0,2                   per superfici “unte” o ghiacciate

                                                                        Curve
                                                                        sperimentali,
                                                                        coefficiente di
                                                                        aderenza e di
                                                                        attrito radente
                                                                        in funzione
                                                                        della velocità

Fonte: Stagni E., Meccanica della Locomozione, Patron, Bologna, 1980.
Formula di Lamm e Herring               Ottenuta attraverso una regressione
                                          su numerosi dati sperimentali.
                        V 2               V
       f a = 0,214 ⋅ (     ) − 0,640 ⋅ (     ) + 0,615    V in km/h
                       100               100

          yi = β1 xi1 + β 2 xi 2 + β 3 xi 3
                 =1
 Valida per superfici "bagnate sporche" ( prima pioggia). Dà valori
 simili alla curva 3 (Bouly) della slide precedente. La condizione di
 superficie "bagnata sporca" è quella che normalmente viene assunta
 in fase di progetto.

Lupi M.,"Tecnica dei Trasporti Terrestri, Marittimi e Aerei", Scuola di Ingegneria, Univ. di Pisa, A.A. 2020-21.
RESISTENZE AL MOTO NEI VEICOLI
                    TERRESTRI
Affinché un veicolo si possa spostare per un tratto l è necessario
compiere un lavoro L:
                                         Resistenze al moto
                                           L = R ⋅l
                                                            Al rotolamento.
       Resistenze ordinarie
       (in rettilineo ed                                     Dell’aria (del mezzo fluido in
       orizzontale)                                          cui si muove il veicolo).

                                                                 Dovute alla pendenza.
    Resistenze accidentali
                                                                 Dovute alla curve.
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Resistenze al rotolamento

                                                            M r = Pδ

                                                             • Ruota ferma: il
                                                             diagramma       delle
                                                             pressioni di contatto
                                                             è simmetrico.
                                                            • Ruota in moto: il
                                                            diagramma          delle
                                                            pressioni di contatto
                                                            non è simmetrico; si ha
                                                            una eccentricità δ .
Fonte : Orlandi, Meccanica dei Trasporti, Pitagora, 1990.

Si ha, di conseguenza, un momento resistente, Mr= H δ (=P δ), che si
oppone al moto.
Inoltre:

  • Una ruota durante il moto varia continuamente la sua
  configurazione; i materiali che si deformano non sono
  perfettamente elastici: l’energia spesa per la deformazione
  viene solo in parte restituita. Si ha dissipazione di energia e
  quindi resistenza al moto.
    • Nell’area di contatto fra ruota e via vi sono sempre degli
    scorrimenti relativi come, per esempio, è stato osservato
    precedentemente a proposito del fenomeno dell’aderenza: questi
    provocano dissipazioni di energia e quindi resistenze al moto.

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Inoltre nel caso ferroviario esiste una resistenza dovuta al moto di
serpeggio

                          Fonte:      Malavasi, in Cantarella (a cura di) , “Introduzione alla Tecnica dei
                          Trasporti e del Traffico con elementi di Economia dei Trasporti”, UTET, Torino., 2001

Serpeggio: movimento oscillatorio originato da eventuali spostamenti
trasversali della sala che innescano (per la conicità dei cerchioni)
traiettorie curve che tendono a portare il centro della sala verso il
centro del binario. La sala, una volta centrata, tende a proseguire il suo
moto provocando uno spostamento trasversale in senso opposto al
precedente e innescando, in questo modo, un moto oscillatorio.
 Comunque esistono particolari ammortizzatori che mirano ad
 annullare il movimento di serpeggio (in particolare li hanno i veicoli
 ad alta velocità).
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Inoltre nel caso ferroviario
                                                                            non è trascurabile, rispetto
                                                                            alla coppia cinematica
                                                                            ruota-rotaia, la resistenza
                                                                            della coppia fusello-
                                                                            cuscinetto

                                                                                                                   Fonte: Stagni E., Meccanica
                                                                                                                   della Locomozione,Patron,
                                                                                                                   Bologna, 1980.
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Resistenza al rotolamento (caso di veicoli stradali)

Formule (pratiche) per la determinazione delle resistenze
specifiche al rotolamento.

 rr = 7,6 + 0,056 V                 ( N / kN )                     Formula SAE (“Society of
                                                                   Automotive Engineers”).
                                       Km/h
rr = 10 ÷ 12 + ( 4 ÷ 4,5) 10 −4 V 2                     ( N / kN )          Formula quadratica.

   rr = 10 + 0,0625 V                 ( N / kN )                  II formula lineare (fornisce però
                                                                  valori superiori a quella SAE e
                                                                  più vicini a quella
                                                                  “quadratica”).
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Resistenze specifiche al rotolamento a velocità di 50, 100 e 130
km/h.

             r (50) = 7,6 + 0,056 ⋅ 50 = 10,4 ( N / kN )
   A)        r (100) = 7,6 + 0,056 ⋅100 = 13,2 ( N / kN )                                    Formula SAE
            r (130) = 7,6 + 0,056 ⋅130 = 14,9 ( N / kN )

               r (50) = 11 + 4,25 ⋅10 −4 (50) 2 = 12,06 (+16%)

   B)         r (100) = 11 + 4,25 ⋅10 −4 (100) 2 = 15,25(+15,5%) Formula
                                                                 “quadratica”
             r (130) = 11 + 4,25 ⋅10 −4 (130) 2 = 18,18 (+22%)

                 r (50) = 10 + 0,0625 ⋅ 50 = 13,125                                II formula lineare (dà
    C)          r (100) = 10 + 0,0625 ⋅100 = 16,25                                 risultati simili più alla
                r (130) = 10 + 0,0625 ⋅130 = 18,125                                formula quadratica
                                                                                   che non alla SAE)
Lupi M.,"Tecnica dei Trasporti Terrestri, Marittimi e Aerei", Scuola di Ingegneria, Univ. di Pisa, A.A. 2020-21.
Autovettura: resistenza al rotolamento:
                                                                                         700
   tara=11KN, 4 persone= 4x700N                                     Ptot = 11 + 4            = 13,8 KN
                                                                                        1000
                          A)                                              B)                     C)
       R (50) = 13,8 ⋅ 10,4 ≈ 144 N                                     166 N                        181N
      R (100) = 13,8 ⋅ 13.2 ≈ 182 N                                      210 N                       224 N
      R (130) = 13,8 ⋅ 14.9 ≈ 206 N                                      251N                        250 N

    Autobus (12m) resistenza al rotolamento:
                                                                                        700
    Tara: 110 KN; 80 passeggeri                                Ptot = 110 + 80              = 166 KN
                                                                                       1000
 R (50) = 166 ⋅ 10,4 = 1726 N                                           A) ( Comunque
 R (50) = 166 ⋅ 12,06 = 2002 N                                          B) normalmente a pieno
 R (50) = 166 ⋅ 13,125 = 2179 N                                            carico si considera, per
                                                                        C)
                                                                           un 12 metri, un peso di
                                                                           19 t)
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Resistenza dell’aria (del mezzo)
 Cause:      - Sovrappressione sulla superficie frontale del veicolo.
              - Depressione sulla superficie posteriore del veicolo.
               - Attrito dei filetti fluidi lungo le superfici laterali e lungo
               il sottocassa del veicolo.
      1
 Ra = Crδ S vr2 Formula cosiddetta “francese” ( Ra in N ).
      2
 Ra = C xδ S vr2       Formula cosiddetta “inglese ” (attenzione: il
                       coefficiente di forma è la metà del precedente)
    Cr : coefficiente di forma.
    vr : in m/sec, è la velocità relativa fra veicolo e mezzo (aria).
                                                                            3
    δ : è la densità dell’aria e vale normalmente : 1,226 Kg m / m .
                2
    S : in m è la superficie frontale ( proiezione su un piano
                                           normale alla direzione del moto,
                                           della superficie del veicolo
                       S
                                           investita dall’aria).
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Resistenza dell’aria – caso dei veicoli stradali
                         Cr                      S (m 2 )
Autovetture          0,30 ÷ 0,40                1,5 ÷ 2,2
               autovetture moderne 0,30 ÷036

Autobus                0,50 ÷ 0,60               6,5 ÷ 8
Autocarri             0,60 ÷ 0,80                7 ÷ 10
                                           m2
 Ra = 0,0473 Cr S Vr2
                                     km / h
  N
 Esempio autovettura: S=1,7; Cr = 0,33
  Resistenza dell’aria                     Resistenza al rotolamento
Ra = 0,0473 ⋅ 0,33 ⋅ 1,7 ⋅ 50 2 = 66 N Rr (50) = 144 N     Rr (50) = 166 N
Ra = 0,0473 ⋅ 0,33 ⋅1,7 ⋅100 2 = 265 N Rr (100) = 182 N        Rr (100) = 210 N
Ra = 0,0473 ⋅ 0,33 ⋅ 1,7 ⋅ 1302 = 448N Rr (130) = 206 N         Rr (130) = 251N
                                                            Formula quadratica
                                                  SAE
Resistenza al rotolamento dei veicoli ferroviari

                                            ordine di grandezza ≈ 2 N/KN (a bassa velocità)
                                                                   120 ÷ 130
                                              rr = (0,65 ÷ 0,70) +           + 0,009V                       [N / kN ]
                                                                       p
                                                                   p: peso per asse [KN] V: velocità [Km/h]

                            Esempio: E 402B + 15 carrozze (Intercity pesante)
Materiale Rotabile Motore. CIFI, Roma.
Fonte:Piro G. e Vicuna G (2000) Il

                                         Locomotiva E402B                         Carrozza UIC-Z1 di 2a classe
                                           870                                          500
                                               = 217,5 [KN ]                          ≈     = 125 [KN ]
                                            4                                            4
                    Lupi M. :"Trasporti Ferroviari, Marittimi e Aerei" - Univ. Pisa, Polo Sistemi Logistici di Livorno - A.A.2019-20   55
Il peso di una carrozza è indicato sulla fiancata della carrozza stessa

Tara                                                     Peso totale

                                                   Indicazione del peso
                             Posti a sedere        sulla fiancata di una
                                                   carrozza.

                  125
  rr = 0,675 +         + 0,009 ⋅ 50 = 1,70 ( N / kN )
                 217,5
                  125
  rr = 0,675 +         + 0,009 ⋅ 100 = 2,15 ( N / kN )
                 217,5
                  125
  rr = 0,675 +         + 0,009 ⋅ 160 = 2,69 ( N / kN )
                 217,5
125
      rr (50) = 0,675 +     + 0,009 ⋅ 50 = 2,12 ( N / kN )
                        125
                        125
     rr (100) = 0,675 +     + 0,009 100 = 2,58 ( N / kN )
                        125
                        125
     rr (160) = 0,675 +     + 0,009 160 = 3,12 ( N / kN )
                        125

    Rr (50) = 870                ⋅         1,70 + 15 ⋅ 500 ⋅ 2,12 = 17739 N
                          (1479 =8, 3%)                                                            Resistenza al
                              2,15 + 15 ⋅ 500 ⋅ 2,58 = 21220 N 
                                                                                                    rotolamento
   Rr (50) = 870       ⋅                                       
                 (1870 =8,8%)                                                                       E402B + 15
                                                                                                   carrozze
   Rr (50) = 870        ⋅     2,69 + 15 ⋅ 500 ⋅ 3,12 = 25740 N 
                          ( 2340 =9 ,1%)

Lupi M.,"Tecnica dei Trasporti Terrestri, Marittimi e Aerei", Scuola di Ingegneria, Univ. di Pisa, A.A. 2020-21.
Resistenza dell’aria – caso ferroviario
                                               m2
        N           Ra = 0,0473 Cr S Vr2
                                            km / h
                                 Cr                  S (m 2 )
  Locomotive elettriche                                9
                                 0,5
  moderne
  Vecchie locomotive
                                 0,7                   9
  elettriche
  Rotabili “sagomati”         0,40 ÷ 0,45            7−9
(elettromotrici, automotrici)

Vetture passeggeri         N
(“Association of American R = 0,0716 V 2
                                a
Railroads” ).
 (Vetture dietro ad una locomotiva)              km/h
Ra (50) = 0,0473 ⋅ 0,5⋅ 9 ⋅ 50 2 + 15 ⋅ 0,0716 ⋅ 50 2 = 3217 N
                ( 532 =16 , 5%)                                   Resistenza
                                                                 
Ra (100) = 0,0473 ⋅ 0,5⋅ 9 ⋅100 2 + 15 ⋅ 0,0716 ⋅100 2 = 12869 N  aria E402B
             ( 2129 =16 , 5%)                                      + 15
                                                                  carrozze
Ra (160) = 0,0473 ⋅ 0,5⋅ 9 ⋅160 + 15 ⋅ 0,0716 ⋅160 = 32943 N 
                               2                    2

                ( 5449 =16 , 5%)
                                                        0,0473 ⋅ 0,5 ⋅ 9
    RaLocomotiva /(15 ⋅ Racorrozza ) = costante                                  = 0,165
                                                  0,0473 ⋅ 0,5 ⋅ 9 + 15 ⋅ 0,0716
In un treno, dato la lunghezza del mezzo, la resistenza dell’aria è
dovuta soprattutto all’attrito lungo le superfici laterali e lungo il
sottocassa delle carrozze.
Rr (50) = 870 ⋅1,70+ 15 ⋅ 500 ⋅ 2,12 = 17739 N        Resistenza al
              (1479 =8, 3%)
                                                                             rotolamento E402B
Rr (100) = 870 ⋅ 2,15+ 15 ⋅ 500 ⋅ 2,58 = 21220 N                        
               (1870 =8,8%)
                                                                             + 15 carrozze
Rr (160) = 870 ⋅ 2,69+ 15 ⋅ 500 ⋅ 3,12 = 25740 N                             (calcolata
               ( 2340 =9 ,1%)                                                precedentemente)
                                                     Confronto fra il “peso” (percentuale)
                                                     della locomotiva nelle due resistenze
Totalità delle resistenze ordinarie (approccio cosiddetto “analitico”)

      R0 (50) = 3217 + 17379 = 20596 N                                                 Resistenza
                                                                                       totale
      R0 (100) = 12869 + 21220 = 34089 N                                               ordinaria:
      R0 (160) = 32943 + 25740 = 58683N                                                E402B + 15
                                                                          
                                                                                        carrozze

Lupi M.,"Tecnica dei Trasporti Terrestri, Marittimi e Aerei", Scuola di Ingegneria, Univ. di Pisa, A.A. 2020-21.
Formule globali per le resistenze ordinarie

    r = a + bV + cV 2                ( N / KN )                 Formula trinomia

    r = a + bV 2            ( N / KN )                           Formula binomia

 Le formule esprimono le resistenze specifiche: quindi ipotizzano che
 le resistenze siano proporzionali al peso del veicolo. Nel caso della
 resistenza dell’aria, come è stato visto, questo non è in generale vero.

 Sono utilizzate soprattutto nel caso ferroviario: in questo caso la
 resistenza dell’aria è proporzionale alla lunghezza del veicolo (treno)
 e perciò, con buona approssimazione, al peso del veicolo.

Lupi M.,"Tecnica dei Trasporti Terrestri, Marittimi e Aerei", Scuola di Ingegneria, Univ. di Pisa, A.A. 2020-21.
Metodo per determinare, sperimentalmente, le resistenze

    Misuro la corrente assorbita: I.
    C’è una relazione che lega I alla coppia alle ruote C(I)

        C (I )                  Coppia alle ruote
     T=
         R
                                Raggio delle ruote
                                           dv
  Equazione generale del moto: T − R = M e
                                           dt
  Nel caso di moto uniforme: dv = 0  T = R
                              dt
  Misurando T misuro R.

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R(Vi )
         = r (Vi )        resistenza specifica misurata alla velocità Vi
  Ptreno

                                 2
     r (Vi ) = a + bVi + cVi         ( N / KN )

      yi = β1 xi1 + β 2 xi 2 + β 3 xi 3     1 equazione per ogni misura (T
                     =1
                                            misure)

     r (Vi ) = a + bVi 2       ( N / KN )     1 equazione per ogni misura (T
                                              misure)
      yi = β1 xi1 + β 2 xi 2
                     =1
 Modello di regressione lineare: TY×1 = TX
                                         ×K
                                            β+ e
                                              T ×1  K ×1

                                            b = (X ' X ) X ' y
                                                           −1
Estimatore dei minimi quadrati:
r         Nel caso della formula                                                    •
               binomia:               •                          •
                          •                                               •          •
                     •          ••      •
               •          •                                                           r = aˆ + bˆV 2
                   •

                                                  V2
   Stimo l’intercetta ed il coefficiente angolare (con il metodo dei
   minimi quadrati).
  Sono state ottenute le seguenti formule:
                    V 2
      r = 2 + 2,8(     )     Treni viaggiatori, materiale “normale”.
                  100
   
FS  r = 2,5 + 3(
                    V 2
                              Treni merci e locomotive isolate.
                       )
                   100
   
    r = 1,9 + 2,6( V ) 2     Treni viaggiatori, materiale cosiddetto
                    100       “leggero”.
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Più recentemente è stata suggerita la seguente formula (per
    materiale cosiddetto “moderno”)
                                 V 2
   r = (1,25 ÷ 2) + (1,6 ÷ 2,5)(    ) Treni viaggiatori (Vmax = 200 km / h)
                                100

     Per tranvie, metropolitane con sagoma non aerodinamica è stata
     proposta la seguente formula (è un po’ antiquata):

                            V 2
       r = 2,5 + 4 (           )             V< 100km/h (elettromotrici e rimorchi).
                           100

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Formule resistenze ordinarie per treni ad alta velocità

                                                                                                            ETR 500 sperimentale
Fonte : Perticaroli,, Sistemi elettrici per i Trasporti, Casa

                                                                                                            (ETR Y di RFI)
Editrice Ambrosiana, 2001.

                                                                                  V 2
                                                                ra = 1 + 1,25(       )   all’aperto ( N / KN )
                                                                                 100

                                                                                  V 2
                                                                rg = 1 + 2,07(       )   in galleria ( N / KN )
                                                                                 100
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Nel caso dei treni ad alta velocità la tendenza è quella di “tarare” una
 formula per le resistenze al moto per ciascun tipo di treno.

 ● TGV A (SNFC), massa a vuoto 444t, composizione: motrice + 10
 rimorchiate + motrice .
  R = 2920 + 38,4V + 0,663V 2 ( N )
Fonte: La Tecnica professionale, n.10, 2001) .

 ● ICE (DB), massa a vuoto 456 t, composizione: motrice + 6
 rimorchiate + motrice .

    R = 6710 + 32,23V + 0,594(V + 15) 2 ( N )
  Fonte: La Tecnica professionale, n.10, 2001) .

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Carrozza dinamometrica

 Con la carrozza dinamometrica posso misurare le resistenze dei singoli
 (tipi di) veicoli isolati e delle locomotive isolate.

                                      Sforzo al gancio
         G2                                                  dv
                = r (Vi )               Ho sempre T=R perché    =0
        Pvagoni                                              dt
    Posso determinare la resistenza di ciò che viene trainato “dopo la
    carrozza dinamometrica”.

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Posso determinare anche la resistenza dovuta alla sola locomotiva

        C (I )                  Coppia alle ruote                                    dv
     T=                                                                   T=R perché    =0
         R                                                                           dt
                                Raggio delle ruote

                                         Resistenza dovuta alla sola locomotiva
    T (Vi ) − G1
                 = rL (Vi )
     Plocomotiva

Con un approccio di questo tipo è stata calibrata per esempio la formula:
                 V 2
 r = 2 + 5(         )           Carri merci vecchio tipo
                100

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Vediamo, a proposito dei treni merci, delle formule più
recenti
 Resistenza al rotolamento per carri merci e per locomotive (2016)

  R[ N ] = 6,5 ⋅ p + 80 ⋅ n + 0,046 ⋅V ⋅ p + 0,096 ⋅V 2
 • p = peso [t] del carro merci (o della locomotiva)
 • n = numero di assi
 • V = velocità [km/h].
Fonte: F. Szanto, 2016. “Rolling resistance revisited”. Proceedings of the Conference Of Railway Excellence (CORE)
2016, Melbourne, 16-18 May 2016
Resistenza dell’aria per treni “intermodali” (treni che trasportano
contenitori) (2008):
 ● Si utilizza la formula “usuale”: R = 0,0473 ∙ Cr ∙ S ∙ Vr2
 ● Il valore di Cr ∙ S è dato dal prodotto di “Adjusted factor”per “Drag
    area” :                             Per metterla nella formula deve essere
                                          trasformata in m2
• k mi dice la “posizione” della locomotiva o del carro all’interno del
  treno: se k = 1 vuol dire che è “in testa” al treno
• In caso di trazione singola, k = 1 si riferisce alla locomotiva e k = 2 è
  relativo al carro immediatamente successivo alla locomotiva. In caso
  di doppia trazione con due locomotive in testa, k = 1 è relativo alla
  prima locomotiva, k = 2 è relativo alla seconda locomotiva, e k = 3
  al primo carro.
Fonte: Y.C. Lai, C.P.L. Barkan, H. Onal, 2008. “Optimizing the aerodynamic efficiency of intermodal freight trains”.
Transportation Research Part E, vol. 44, pp. 820–834.
Confronto numerico fra approccio “sintetico” ed
“analitico” per il calcolo delle resistenze ordinarie.
                     50 2
 r0 (50) = 2 + 2,8(     ) = 2,7 ( N / KN )
                    100
                     100 2
 r0 (100) = 2 + 2,8(     ) = 4,8 ( N / KN )
                     100
                      160 2
  r0 (160) = 2 + 2,8(     ) = 9,17 ( N / KN )
                      100
                                                Resistenza totali
     R0 (50) = 8370 ⋅ 2,7 = 22599 N 
    R0 (100) = 8370 ⋅ 4,8 = 40176 N 
                                                ordinarie: E402B + 15
                                               carrozze (87+15x50=
   R0 (160) = 8370 ⋅ 9,17 = 76753N             837 t). Approccio
                                               cosiddetto “sintetico”
R0 (50) = 3217 + 17379 = 20596 N                Resistenza totali
                                                ordinarie: E402B + 15
R0 (100) = 12869 + 21220 = 34089 N              carrozze. Approccio
R0 (160) = 32943 + 25740 = 58683N               cosiddetto“analitico”.
                                                                    73
Soprattutto alle alte velocità le cose non tornano molto!
                          50 2
 r0 (50) = 1,625 + 2,05(     ) = 2,14 ( N / KN )
                         100
                         100 2
r0 (100) = 1,625 + 2,05(     ) = 3,675 ( N / KN ) Formula “più moderna”
                         100
                           160 2
  r0 (160) = 1,625 + 2,05(     ) = 6,87 ( N / KN )
                           100
                                                Resistenza totali
     R0 (50) = 8370 ⋅ 2,14 = 17812 N           ordinarie: E402B + 15
   R0 (100) = 8370 ⋅ 3,68 = 30802 N        carrozze (87+15x50= 837
                                           t). Approccio “sintetico”,
   R0 (160) = 8370 ⋅ 6,87 = 57502 N 
                                           con formula “moderna”.
 R0 (50) = 3217 + 17379 = 20596 N            Resistenza totali
                                             ordinarie: E402B + 15
 R0 (100) = 12869 + 21220 = 34089 N          carrozze. Approccio
 R0 (160) = 32943 + 25740 = 58683N                             74
                                             “analitico”.
Resistenze addizionali – resistenza dovuta alla
                                                      pendenza
                                                                             Componente della forza
  Fonte: Ferrari e Giannini, 1991

                                                                             peso parallela al piano
                                                                             della via .

                                    Ri = Psenα ≈ Ptgα   poiché α    è “piccolo”                     ( Ri eP in N )

                                                 i‰
                                        Ri = P                 se tgα = 0,03                 i ‰ = 30
                                               1000

Lupi M.,"Tecnica dei Trasporti Terrestri, Marittimi e Aerei", Scuola di Ingegneria, Univ. di Pisa, A.A. 2020-21.
Ri   i‰
                =                          Resistenza specifica in N/N
             P 1000

                                                                                         i‰
 Resistenza specifica in N/KN                                           ri = 1000           =i‰
                                                                                       1000

  La ri espressa in N/KN è data dal numero che esprime la pendenza
        in per mille.

Se la pendenza della livelletta in percento è: i=1,25% , in per mille
 sarà: i=12,5 ‰  ri = 12,5 N / KN
                                                                      Valore considerato come
  i=15%                             ri = 150 N / KN                  limite per un veicolo da
                                                                      trasporto come un autobus
                                                                      in servizio urbano .
Lupi M.,"Tecnica dei Trasporti Terrestri, Marittimi e Aerei", Scuola di Ingegneria, Univ. di Pisa, A.A. 2020-21.
Resistenze totali ordinarie
   Rordinarie (160) = 8370 ⋅ 6,87 = 57502 N                                  (402B + 15 carrozze
                                                                             (87+15x50= 837 t.
                                                                             Approccio “sintetico”, con
                                                                             formula “moderna”)

      Se ho una livelletta del 18 ‰ :

      R pendenza = 8370 ⋅ 18 = 150660 N
      Le resistenze, dovute alla sola pendenza, su una livelletta del 18 ‰
      sono quasi 3 volte le resistenze ordinarie a 160 km/h.

     Nel caso ferroviario la pendenza della linea influenza fortemente le
     prestazioni del veicolo e determina la massima massa trainabile da
     un mezzo di trazione.
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Resistenze addizionali – resistenza dovuta alle
                        curve
  • Parallelismo delle sale montate

  Non può esserci rotolamento puro per gli assi di uno stesso carrello:
  per poterlo avere dovrei avere una convergenza degli assi verso un
  solo punto, invece i due assi di un carrello sono paralleli fra loro e
  quindi non c’è possibilità di reciproci spostamenti angolari.

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Vx
                                                           Vy
                                                    V

 Di conseguenza la velocità V ha una componete di rotolamento, Vx ,
 secondo l’asse del carrello ed una componente di strisciamento, Vy ,
 normale rispetto al piano della ruota, dovuta all’azione della forza H
 che agisce sul bordino della ruota che obbliga il veicolo a fare la
 curva. La componente di strisciamento Vy comporta un lavoro
 perduto per attrito nella zona di contatto fra cerchione e rotaia (H e
 Vy hanno la stessa direzione)

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• Nell’area di contatto fra bordino e rotaia nasce una forza di attrito,
  (avente la direzione del bordino della ruota) come vedremo parlando
  del fenomeno dello svio. Poiché la velocità relativa fra bordino e
  rotaia nel punto di contatto non è nulla si ha anche per questo
  motivo un lavoro perduto.
  • La ruota esterna, come è stato visto, fa una curva di raggio R + s ,
  quella interna una curva di raggio R − s . C’è l’”effetto
  differenziale”, dovuto alla forma troncoconica, che limita, ma non
  elimina, gli strisciamenti che comportano perdite di energia e quindi
  resistenze al moto.

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Formule pratiche per il calcolo della resistenza in curva
                 nel caso ferroviario
             a
       rc =     ( N / KN )                      Formula di Von Rockl
            R−b

       R : raggio planimetrico, in m, della curva circolare

                Raggio della         a             b
                 curva in m
                  ≥ 350             650           55

                  350-250           650           65

                  250-150           650           30

       750                                             Formula “francese”
rc =       ( N / KN ) per R > 350m
        R
Le FS hanno eseguite proprie sperimentazioni che hanno portato ai
valori di resistenza specifica riportati in tabella.
          1000   900   800   700   600   500   450   400   350   300   250   200   180
 R in m

          0,5    0,6   0,8   1     1,2   1,5   1,7   2,0   2,4   2,8   3,4   4,2   4,5
 N/KN

                                                           Confronto fra i valori
                                                           FS e quelli della
                                                           formula di Von Rockl
Altra formula che è stata proposta è :

      650
 rc =      ( N / KN ) per R > 300m
      R-55

        500
 rc =        ( N / KN ) per R < 300m
        R-55

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Le linee (tratti di linea) di RFI (Rete Ferroviaria Italiana) sono state
  classificate per gradi di prestazione che esprimono le resistenze
  dovute al tracciato (resistenze addizionali) lungo il tratto di linea
  considerato .

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Il grado 12 era utilizzato per le linee principali della rete cosiddetta
“storica”. (Rete storica: linee precedenti alla costruzione della
direttissima Roma – Firenze e alla costruzione delle recenti linee ad
alta velocità: Roma-Napoli, Torino- Milano, Bologna-Milano, Firenze-
Bologna).
Per esempio la linea storica (direttissima) Bologna-Firenze (non la
nuova linea ad alta velocità) fu progettata per grado di prestazione
12. Questo vuoleva dire (in base alla tabella su i gradi di
prestazione) che le resistenze accidentali lungo la linea potevano
essere al massimo pari a 12 N/KN.
Se si progetta una livelletta al 10,8 per mille (1,08%) per la
resistenza in curva “rimane”:
                 N
 12 − 10,8 = 1,2
                KN
Quindi, dalla tabella FS sulle resistenze, non si possono progettare
(se si vuole mantenere il grado 12) curve planimetriche con raggio
inferiore a 600m.
Il Grado di
Prestazione, delle
diverse tratte che
compongono una linea
ferroviaria, è
dichiarato dal Gestore
dell’Infrastruttura,
Rete Ferroviaria
Italiana (RFI), in
prospetti contenuti in
documenti, specifici di
ciascuna linea:
cosiddetti Fascicoli
Circolazione Linee.
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