Corsi Introduttivi A.A. 2020-2021 - Incontro del 3 settembre 2020 Docente Anna Salvadori
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Dipartimento di Ingegneria
Università degli Studi di Perugia
Corsi Introduttivi A.A. 2020-2021
Incontro del 3 settembre 2020
Docente Anna Salvadori
Argomenti svolti.
Introduzione al corso. La Matematica linguaggio della Scienza e della Tecnologia.
Fenomeni e funzioni lineari: proporzionalità, allineamento, linearità.
Funzioni lineari e lineari traslate. Operazione di composizione fra funzioni lineari traslate.
Inversa di una funzione lineare traslata.
Equazione della retta. Fascio di rette. Condizioni di parallelismo, perpendicolarità.
Equazioni, disequazioni lineari.
Alcuni quesiti svolti e/o proposti. Per lo svolgimento consultare il testo:
P.Brandi - A.Salvadori, Prima di iniziare. Conoscenze e competenze di base per l’Università. Aguaplano-Officina del libro,
Passignano s.T. (PG), (2011) pgg.316
Alcune situazioni della realtà
Veloce … come il vento
l 22 giugno 2018, in occasione del Meeting de Atletismo Madrid, Filippo
Tortu diventa, a vent'anni appena compiuti, il primatista italiano dei 100
metri piani con il tempo di 9"99, battendo il record di Pietro
Mennea che resisteva dal 1979 e divenendo il primo italiano della storia
a scendere sotto i 10" sulla distanza.
Il record mondiale maschile appartiene al giamaicano Usain Bolt con il
tempo di 9"58, stabilito ai campionati del mondo di Berlino 2009.
Fonte: Wikipedia
Il ponte di Bassano ha bisogno di una mano ____
e non solo di vernice. L’ultimo restauro strutturale del ponte risaliva al
1966, dopo la rovinosa piena del 4 novembre di quell’anno.
E si arriva all’altro ieri, quando gli strumenti di monitoraggio hanno
rivelato una situazione non più sostenibile: negli ultimi tre mesi il ponte
si stava abbassando alla velocità di 3 centimetri al mese.
Fonte: Famiglia Cristiana, 11 marzo 2016
Velocità di lettura
Charles Osgood è un famoso conduttore radio-televisivo statunitense.
Il suo programma The Osgood file viene trasmesso da CBS Radio Network tutti i
giorni dal 1971!
Alla televisione ha condotto per oltre 20 anni CBS News Sunday Morning.
Osgoodsostiene di impiegare circa 1 minuto a leggere 15 righe (battute a
interlinea doppia).
3 diverse situazioni 1 solo MODELLO:
spazio s
velocità v
tempo t
Relazione funzionale fra due variabili. Spazio in funzione del tempo:
s s t v t
Modello generale
y kx
Funzione lineare
Proporzionalità diretta
Retta per l'origine
Fotografia Andrea ha scattato alcune foto che vorrebbe stampare.
digitale Dopo averle scaricate sul PC ha fatto alcuni tentativi.
In particolare dopo un primo tentativo, l’ha ridotta (zoom-in) del 30% e
stampata di nuovo.
Il risultato non è stato soddisfacente e così per tornare al file iniziale ha
operato un ingrandimento (zoom-out) del 30% ma, con sua grande sorpresa,
la foto stampata non aveva più le dimensioni dell’originale.
a) Sai dire perché?
b) Di quanto avrebbe dovuto ingrandire la foto per tornare al formato
originale?
Le tre immagini seguenti illustrano la doppia trasformazione
Approccio
grafico
F1 - Foto originale F2 - Foto F1 ridotta del 30% F3 - Foto F2 ingrandita del 30%
Confronto
Approccio
formale
Zoom-in
x y 0,70 x
Zoom-out
x y 1,30 x
Composizione Componendo (in sequenza) le due trasformazioni
r i
r 0,70 i 1,30 r
r 0,70 i 1,30 r 1,30 0,70
i i 1,30 0,70 0,91
Come si vede bene dal grafico, la dimensione finale è inferiore a quella iniziale
qualunque sia ; infatti il grafico di i (retta continua) si trova al di sotto della
bisettrice (retta tratteggiata).
Inoltre la differenza i aumenta al crescere della dimensione iniziale .
Composizione di due funzioni (lineari) Comp0oComposizione di due funzioni lineari
Acqua e L’acqua, congelando, aumenta di 1/11 il proprio volume.
ghiaccio Di quanto diminuisce il volume del ghiaccio quando, fondendo, ritorna
acqua?
[Fonte: Gare di Matematica Città di Terni, 2003]
Da acqua a
ghiaccio
1 12
g 1 a a
11 11
Da ghiaccio a g a ???
ad acqua
Relazione inversa
11 1
a g 1 g
12 12
Funzione inversa di una funzione lineare
Cambio Marco e Stefania, prossimi alla partenza per una vacanza a San
euro/rublo Pietroburgo, si recano in banca per cambiare la valuta.
Ottengono un tasso di cambio €/ di 84,73 .
Una volta in Russia, hanno costantemente la necessità di valutare il
costo dei loro acquisti confrontandolo con quello in euro, ma
l'operazione si presenta non del tutto agevole.
Il cambio €/ è descritto da una relazione lineare in cui il tasso di cambio è la costante di
proporzionalità o coefficiente angolare
rublo(euro) r e 84,73 e
Conversione
euro/rublo
Di conseguenza, il cambio /€ è descritto dalla relazione inversa
Conversione
rublo/euro euro( rublo) e r
La funzione e r è invertibile, determiniamo l'espressione della funzione inversa
1
Funzione r 84,73 e e r
inversa 84,73
Righelli di I righelli dei programmi di elaborazione dei testi (word processing) e
word quelli dei programmi di manipolazione grafica digitale possono essere
processing "settati" in centimetri o in pollici (inch).
Poiché
1cm 2,54 inch
sovrapponendo i due righelli si può facilmente verificare che i due sistemi di
riferimento hanno stessa origine, ma unità di misura diverse
Le formule di conversione sono quindi le due funzioni lineari
1
inch 2,54 cm oppure cm inch
2,54
Modello generale
y kx
Funzione lineare
Proporzionalità diretta
Retta per l'origine
La composizione di funzioni lineari è una funzione lineare
L'inversa di una funzione lineare è lineare
Affrontiamo una situazione un po' diversa
Imbianchino Il Sig. Rossi vorrebbe “rinfrescare” le pareti della sua villetta con
fai da te l’aiuto di un amico. Si reca in un negozio di “bricolage” per
acquistare l’occorrente e scopre che 1 kg di idropittura permette di
tinteggiare circa 5m2 di parete (due “mani”).
Al Sig. Rossi sarebbe utile conoscere la relazione che esprime la
quantità di idropittura (kg) in funzione della superficie ( m 2 ) da
tinteggiare.
Dalla tabella
Costruzione
del modello Superficie ( m )
2
Idropittura ( kg )
5 1
1 0.2
otteniamo la funzione
v x 0.2 x
che descrive la quantità v x di idropittura in funzione della superficie x da
dipingere.
Imbianchino Alla Sig. Rossi interessa di più la relazione che esprime la spesa
fai da te (euro) in funzione della superficie ( m 2 ) da tinteggiare.
Si tenga conto che l’attrezzatura necessaria per dipingere e ripulire i
pennelli costa circa 35 € e che il prezzo dell’idropittura è di 4 € al
chilo.
Spesa totale spesa attrezzatura spesa vernice
2
Prezzo Costo (€) Idropittura (kg) Superficie (m )
idropittura in 4 1 5
funzione della 0.2 1
superficie
La funzione
Spesaidropittura s 0.8 s
che descrive il costo della idropittura in
funzione della superficie da dipingere.
Spesa totale Aggiungiamo alla spesa per la vernice
quella delle attrezzature (spesa fissa)
Spesatotale s 0.8 s 35
Modello generale
y kxq
Funzione lineare traslata
Retta non necessariamente per l'origine
La composizione di funzioni lineari traslate è una
funzione lineare traslata
L'inversa di una funzione lineare traslata è lineare
traslata
Scale Celsius e Kelvin
La temperatura di un oggetto può essere espressa sia in gradi Celsius o centigradi
( 0 C ), che nella scala assoluta Kelvin ( K ) .
- la temperatura del ghiaccio fondente
nella scala Celsius corrisponde all'origine ( 0 0C )
nella scala Kelvin 273,15K
- la temperatura dell'acqua bollente, in condizioni standard di pressione nella
scala Celsius a 100 0C secondo la scala Kelvin è 373,15K .
La formula di passaggio dal riferimento centigrado al riferimento Kelvin è espressa
dalla seguente funzione lineare
K C 237,15
le due scale hanno la stessa unità di misura, ma diversa origine.
Scale Celsius e Fahrenheit
Confronto fra le scale termometriche
Celsius ( 0 C ) e Fahrenheit ( 0 F ).
Come è noto risulta:
- temperatura del ghiaccio fondente
0 0C 32 0 F
- temperatura dell'acqua bollente
100 0C 212 0 F
Assunta una formula di conversione lineare del tipo
F F C mC q
determiniamo il valore dei parametri m e q .
Dalla temperatura del giaccio fondente si deduce
F 0 32 q
F 100 212 m 100 32
da cui
212 32
m 1,8 .
100
In definitiva
F 32
F F C 1,8 C 32 C C F
1,8 1,8
le due scale hanno origine ed unità di misura diverse.Ricerca dispersi
Per effettuare la ricerca di persone disperse in aree remote gli operatori del gruppo
“Search and rescue” negli Stati Uniti agiscono in questo modo:
i singoli componenti di ciascun team setacciano l’area interessata muovendosi
lungo tragitti rettilinei, paralleli ed equidistanti.
L’esperienza ha dimostrato che la possibilità di trovare il disperso è correlata alla
distanza fra due tragitti adiacenti.
Nella tabella è riportata la percentuale (approssimata) dei successi R relativi ad un
tipo di territorio, in relazione a differenti distanze fra due tragitti.
Determinare la relazione funzionale fra d ed R .
d (metri) 20 40 60 80 100
R (%) 90 80 70 60 50
Punti allineati, quindi modello lineare traslato
Per determinare l’equazione della retta R R(d ) osserviamo che un punto (d , R) appartiene alla
retta se e solo se
R1 R 90 R
0.5 0.5
d1 d 20 d
da cui si deduce
R(d ) 0.5 d 100
Come si vede, la percentuale di ritrovamenti è funzione decrescente della distanza d fra due tragitti.
Secondo il modello, se la distanza raggiunge o supera 200 m , la probabilità di trovare dei dispersi è nulla.Noleggio auto
Una compagnia di noleggio auto in USA offre una tariffa mensile che prevede una
quota fissa ed una quota in funzione delle miglia percorse.
Julia a maggio ha speso 380 $ per aver percorso 480 miglia e a giugno 460 $ per
un tragitto di 800 miglia.
Determinare la funzione che descrive la tariffa dell'auto noleggio.
In base al modello costruito, prevedere quanto verrebbe a pagare di noleggio se
Julia percorresse 1500 miglia in un mese.
Svolgimento. Riportiamo i dati in una tabella
Lunghezza percorso Spesa
(miglia) ($)
480 380
800 460
E poi in un diagramma cartesiano (immagine a lato)
Ipotizzando un costo lineare in funzione della lunghezza del
percorso, determiniamo l'equazione della retta per i due punti in
tabella
x 480 y 380 1
y x x 260
800 480 460 380 4
Dal modello si deduce che la quota fissa è 260 $
e la tariffa prevede un quarto di dollaro a miglio.
Se Julia prevede di percorrere 1500 miglia in un mese, la cifra che
dovrà sborsare è
1500
y 1500 260 635 $
4Foreste Una buona notizia … In Costarica le foreste stanno ricrescendo
in lentamente, ma in maniera costante. [Fonte: Venerdì di Repubblica,
crescita 2.4.2008]
Leggendo questa notizia, sorge spontanea la domanda: quando è
iniziato il fenomeno?
1983 2000 2005
Costruzione Le percentuali di crescita sono riferite ad un anno-zero in cui la ricrescita è iniziata; per
del modello comprendere appieno il fenomeno è necessario stimare questo anno di riferimento.
Siamo in grado di farlo?
Analisi della anno Crescita %
situazione x 0
1983 26
Approccio
2000 45
grafico
2005 52
Risposta al Congiungendo i punti con una linea retta (vedi immagine Fig. 4), possiamo stimare l’anno
quesito
risoluzione per
zero intono al 1960.
via grafica
Fig. 3 Fig. 4
Tasso di ri-crescita
26 45 19 45 52 7
1983 2000 17 2000 2005 5
Consideriamo, ad esempio, la media
1 19 7
1,25
2 17 5
Per i nostri scopi li assumiamo allineati, prendendo come costante di proporzionalità fra le
classi la media delle due costanti:
c t 1,25 t 1983 26
A seguito di tali assunzioni, deve risultare
26
c t 0 t
Equazione
risolvente 1983 1962
1,25
In conclusione, l’anno zero (oggetto del quesito) è il 1962.Modello generale
y kxq
Funzione lineare traslata
Retta non necessariamente per l'origine
La composizione di funzioni lineari traslate è una funzione
lineare traslata
L'inversa di una funzione lineare traslata è lineare traslata
Pressione sottomarina
Sulla superficie dell'oceano, la pressione dell'acqua è pari a quella atmosferica: 15 lb / in 2
(libbre per pollice quadro). Sotto la superficie, la pressione dell'acqua cresce di 4,34
lb / in 2 ogni 10 ft (piedi) di profondità.
Dopo aver costruito un modello che descriva la pressione dell'acqua in funzione della
profondità, stimare a quale profondità la pressione raggiunge 100 lb / in 2 .
Cina La Cina nel 2009 ha investito 35 miliardi di
Libretto euro in energia pulita, contro i 51 degli Usa,
verde ma nel 2010 ha consumato il sorpasso: 58
miliardi contro 49.
Entro il 2050 potrebbe raggiungere mille
gigawatt di potenza eolica, pari al 17%
dell'energia autoprodotta, per 750.000 nuovi
posti di lavoro.
Fonte: La Repubblica, 24.11.2012
a) Stabilire se in futuro gli investimenti in energia pulita della Cina arriveranno
a doppiare quelli degli Stati Uniti.
b) Stimare la differenza degli investimenti Cina - Stati Uniti nel 2020Puoi anche leggere
